以曲代曲求證一類對稱不等式

●張艷宗劉春苗(元濟高級中學浙江海鹽314300)

以曲代曲求證一類對稱不等式

●張艷宗劉春苗(元濟高級中學浙江海鹽314300)

例1已知x，y，z＞0，且x4+y4+z4=1，求的最小值.

(2000年江蘇省高中數(shù)學競賽試題)

評注此題解法頗多，此處“以曲代曲”雖然沒有“占到任何便宜”，計算量也不小，但指出了此不等式的幾何意義，也恰是本解法的亮點所在.

例2已知0＜a，b，c＜1，且滿足ab+bc+ca=1，求證:

(2004年新加坡數(shù)學奧林匹克競賽試題)

評注將條件適當放縮、改造，創(chuàng)造使用“以曲代曲”有利的外部環(huán)境.

例3已知xi＞0(其中i=1，2，…，5)，且，證明:

(2003年中國西部數(shù)學奧林匹克競賽試題)

分析不等式中條件式及待證式都是關于x1，x2，…，x5的對稱結(jié)構(gòu)，推斷當x1=x2=…=x5=4時不等式等號成立.希望找到一個函數(shù)g(x)，其圖像始終在函數(shù)上方，且在x=4處二者相切.不等式右邊是常數(shù)1，推斷函數(shù)g(x)中含有，且由條件，可預測函數(shù)g(x)中含有λ，即，其中λ為待定系數(shù).由此建立輔助不等式記(其中x＞0)，希望h(x)在x=4時取得最大值0，則，由h'(4)=0，解得

式(3)?(x+1)(x2+4)+15(x2+4)≥20x(x+1)?(x-4)2(x+4)≥0.最后一式顯然成立，即式(3)成立，從而

不等式得證.

評注文獻［2］通過換元，將非線性約束條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件，再構(gòu)造切線證明，過程稍顯繁雜.此處將“切線法”的思想方法遷移，直接構(gòu)造與函數(shù)f(x)相切的曲線g(x).通過幾何畫板作圖易發(fā)現(xiàn)，所構(gòu)造的輔助函數(shù)與函數(shù)在點處相切，且當x＞0時，函數(shù)g(x)的圖像在f(x)圖像的上方.

(2014年庫斯特數(shù)學奧林匹克競賽試題)

證明條件式及待證式都是關于a，b，c的對稱結(jié)構(gòu)，推斷當a=b=c=1時不等式等號成立.由于，則類似例3分析，引進輔助不等式:(其中，λ為待定系數(shù)).記，且h(x)在x=1時取得最大值0，則由h'(1)=0，解得

不等式得證.

評注根據(jù)不等式等號成立的條件，確定函數(shù)f(x)圖像上的切點，便于引進輔助函數(shù)g(x).

不等式條件式及待證式左邊的每一項都是只含一個字母的對稱結(jié)構(gòu)，斷定當a=b=c=d=1時等號成立.從而建立輔助不等式(其中x＞0，λ為待定系數(shù)).記(其中x＞0)，且h(x)在x=1處取得最小值0，則由h'(1)=0，解得

評注獨辟蹊徑，妙用“以曲代曲”，給人以美的享受.

證明為將條件abcd=1轉(zhuǎn)化為每一項只含一個字母的對稱結(jié)構(gòu)，不妨等式2邊取對數(shù)，得lna+ lnb+lnc+lnd=0.觀察不等式，當a=b=c=d=1時，取到等號，引進輔助不等式(其中x＞0，λ為待定系數(shù)).記(其中x＞0)，希望h(x)在x=1處取得最小值0，則由h'(1)=0，解得，即

分析可知方程25x3+5x2-x-1=0僅有1個根x0，且當時，h(x)在上遞減，在(1，+∞)上遞增，且h(x)≥h(1)=0，，即當時，

不等式得證.

評注本題難度較大.首先，通過取對數(shù)，將變量的乘積形式轉(zhuǎn)化為每項只含1個字母的對稱結(jié)構(gòu)，以便利用“以曲代曲”;其次，在構(gòu)造輔助不等式的過程中發(fā)現(xiàn)，輔助不等式對變量的范圍有限制，通過分類討論對變量在不同的范圍分別進行證明.

正如文獻［1］指出，“以曲代曲”是傳統(tǒng)切線法的深化與發(fā)展，在處理這類對稱性不等式問題上發(fā)揮奇效，不但可以優(yōu)化解題思路，而且有利于溝通函數(shù)與不等式等數(shù)學知識之間的相互關系，還有利于尋找不等式中隱藏的幾何意義.希望有興趣的同仁加入到研究的隊伍中來.

［1］張艷宗，徐佳月.以曲代曲證明不等式——切線法的深化與發(fā)展［J］.數(shù)學通訊:下半月，2014(10): 24-27.

［2］張宏.利用切線方程證明不等式［J］.中等數(shù)學，2009(4):6-12.