有限群的幾乎τ-嵌入子群

毛月梅，黃建紅

（1.大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同037009；2.中國科技大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230026；3.江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 徐州221116）

有限群的幾乎τ-嵌入子群

毛月梅1，2，黃建紅3*

（1.大同大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，山西 大同037009；2.中國科技大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230026；3.江蘇師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，江蘇 徐州221116）

群G的一個子群H稱為G的幾乎τ-嵌入子群，如果G有一個s-擬正規(guī)子群T使得HT在G中s-擬正規(guī)且H∩T≤HτG，其中HτG是所有含于H的G的τ-擬正規(guī)子群生成的子群.通過研究有限群G的Sylow p-子群（p是|G|的一個素因子）的極大子群的幾乎τ-嵌入性，得到群G的p-超可解性.同時，又通過研究有限群G的極小子群的幾乎τ-嵌入性，得到群G的p-冪零性.

s-擬正規(guī)子群；τ-擬正規(guī)子群；幾乎τ-嵌入子群；p-超可解群；p-冪零性

本文討論的群均是有限群，所用術(shù)語和符號都是標(biāo)準(zhǔn)的，未交待的概念和符號參見文獻(xiàn)［1-2］.

近年來，群論學(xué)者通過研究子群的廣義正規(guī)性來探討群的結(jié)構(gòu)已成為熱點(diǎn).在Kegel［3］提出s-擬正規(guī)的概念之后，張勤海等［4］又提出s-半置換的概念：設(shè)P 是G的任意Sylow p-子群，G的子群H稱為s-半置換的，若（|H|，p）=1，則HP=PH；Li等［5］介紹了弱s-半置換子群的概念，并得到相關(guān)性質(zhì)；Lukyanenko等［6］引入了τ-擬正規(guī)子群的概念：G的子群H稱為在G中τ-擬正規(guī)，只要（|H|，p）=1且（|H|，|PG|）≠1，就有HP=PH；Li等［7］提出了τ-補(bǔ)子群的概念，并通過τ-補(bǔ)子群的性質(zhì)進(jìn)一步研究有限群.最近，Guo等［8］又提出了弱τ-嵌入子群的概念：群G的子群H稱為在G中弱τ-嵌入的，如果G有一個正規(guī)子群T使得HT在G中s-擬正規(guī)且H∩T≤HτG，其中HτG是所有含于H的G的τ-擬正規(guī)子群生成的子群.本文提出幾乎τ-嵌入這一新概念，并利用幾乎τ-嵌入子群得到了關(guān)于p-超可解群和p-冪零群的新判別準(zhǔn)則.

1　預(yù)備知識

定義1 群G的一個子群H稱為G的幾乎τ-嵌入子群，如果G有一個s-擬正規(guī)子群T使得HT在G中s-擬正規(guī)且H∩T≤HτG，其中HτG是所有含于H的G 的τ-擬正規(guī)子群生成的子群.顯然，每個s-擬正規(guī)子群和每個τ-擬正規(guī)子群都是幾乎τ-嵌入子群，但反之不一定成立.

例1 設(shè)G=A5是5次交代群，則A4是G的幾乎τ-嵌入子群，但A4在A5中不是s-擬正規(guī)的.

例2 設(shè)G=S4是4次對稱群，令H=〈（34）〉.那么HA4=S4且1=H∩A4≤HτG，因此H是G的幾乎τ-嵌入子群.但因?yàn)椤矗?23）〉H≠H〈（123）〉，所以H在G中不是τ-擬正規(guī)的.

引理1［8］933設(shè)H是G的一個s-擬正規(guī)子群.

1）H在G中是次正規(guī)的，且H/HG是一個冪零群；

3）若H是一個p-群，則H≤Op（G），且Op（G）≤NG（H）.

引理2 若H≤K≤G，且H在G中τ-擬正規(guī)，則

1）H在K中τ-擬正規(guī)；若H≤Op（G），則H在G 中s-擬正規(guī)；

證明 1）參見文獻(xiàn)［6］239中的引理2.2.

2）令Q∈Sylq（G），其中q||G|滿足p≠q 且（p，|QG|）≠1.因|N|q=|HN|q，且N∩Q∈Sylq（N），故N∩Q=HN∩Q，由文獻(xiàn)［2］2中引理1.2知NQ∩HQ=（N∩H）Q，因此H∩N 在G 中τ-擬正規(guī).

1）若H≤K≤G，則H在K中幾乎τ-嵌入；

2）若H是一個p-群，N≤H或（|H|，|N|）=1，則HN/N 在G/N 中幾乎τ-嵌入；

證明 由條件知，G有一個s-擬正規(guī)子群T使得HT在G中s-擬正規(guī)且H∩T≤HτG.

1）由引理1之2）知T∩K 和H（T∩K）在K 中s-擬正規(guī)，又因H∩（T∩K）≤HτG≤HτK，故H在K中幾乎τ-嵌入.

2）由引理1之2）知TN/N和（H/N）∩（TN/N）=HT/N在G/N中s-擬正規(guī).因（|H|，|N|）=1，故（|NH∩T：T∩N|，|NH∩T：T∩H|）=1，因此NH∩T=（N∩T）（H∩T）.根據(jù)文獻(xiàn)［2］2中引理1.2有HN∩TN=（H∩T）N，故（HN/N）∩（TN/N）=（H∩T）N/N≤HτGN/N≤（HN/N）τ（G/N），即H/N在G/N中幾乎τ-嵌入.

3）令T1=T∩K.由引理1之2）知T1和HT1在G 中s-擬正規(guī)，且H∩T1≤H∩T∩K≤HτG.

引理4［8］935設(shè)p||G|且（|G|，p-1）=1.若G 有一個循環(huán)的Sylow p-子群，則G是p-冪零的.

引理5［9］設(shè)H，K≤G且G≠HK.若?g∈G有HKg=KgH，則H 或K包含于G 的一個真正規(guī)子群中.

2　主要結(jié)果

定理1 設(shè)p||G|且P∈Sylp（G）滿足|P|＞p.若P的每個極大子群在G 中幾乎τ-嵌入，則G是一個p-超可解群.

證明 假設(shè)命題不成立，設(shè)G是極小階反例.令N是G的一個極小正規(guī)子群，P1是P的一個極大子群.由假設(shè)知存在G的一個s-擬正規(guī)子群T使得P1T在G中s-擬正規(guī)，且P1∩T≤（P1）τG.

（a）G不是一個非交換單群，且Op′（G）=1.假定G 是一個非交換單群，則T=G，P1=（P1）τG在G中τ-擬正規(guī).令Q∈Sylq（G）滿足（p，|Q|）=1且（p，|QG|）≠1，顯然QG=G 且G≠P1Q.又?x∈G有P1Qx=QxP1，由引理5知G 中存在真正規(guī)子群，矛盾，故G 不是非交換單群.若Op′（G）≠1，由引理3之2）知G/Op′（G）滿足條件，故G/Op′（G）是p-超可解群，G是一個p-超可解群，矛盾，因此Op′（G）=1.

（b）G不是p-可解群且P不正規(guī)于G.若G是一個p-可解群，則由（a）知N是交換p-群.若|P/N|=p，顯然G/N p-超可解.若|P/N|＞p，由引理3之2）知G/N 滿足條件，則G/N 是p-超可解群.因所有p-超可解群的群類是一個飽和群系，故N是G的唯一極小正規(guī)子群，且N不包含于Φ（G），于是存在G 的極大子群M滿足G=NM且N=Op（G）.又因N 不包含于Φ（P），故存在P的一個極大子群H使得P=NH.由假設(shè)知G有一個s-擬正規(guī)子群K使得HK在G中s-擬正規(guī)且H∩K≤HτG.若K=1，則由引理1之3）知HG，故N≤H，矛盾，因此K＞1.若KG=1，由引理1之1）和（a）知K是一個p-群，由引理1之3）知H≤HK≤Op（G），則N≤KG=KN=K.若KG≠1，顯然N≤K.由引理2之2）知H∩N=HτG∩N 在G 中s-擬正規(guī).若H∩N≠1，則由引理1 之3）得N≤H∩N，這不可能，故H∩N=1，即|N|=p，從而G是p-超可解的，矛盾，因此G不是p-可解群且P不正規(guī)于G.

（c）若P≤H＜G，則H是p-超可解的且G中沒有真包含于P1的極小正規(guī)子群.由引理3之1）知P的每個極大子群在H中幾乎τ-嵌入，由G的極小性知H是p-超可解群.不失一般性，設(shè)N＜P1，由引理3之2）知G/N 滿足條件，則G/N 是p-超可解群，故G是p-超可解群，與（b）矛盾.

（d）|P|＞p2且P 不包含G 的任意p 階正規(guī)子群.假定|P|=p2.由（a）知p||N|.若|N|p= p2，則P≤N，由（b）知N是非交換的.若N＜G，則由（c）知，N是一個p-群，矛盾；因此，由（a）知N=G=N1×N2，其中Ni（i=1，2）是相互同構(gòu)的非交換單群，且|Ni∩P|=p，類似于（a）的討論，這不可能.若|N|=p，易證N 是G 的唯一極小正規(guī)子群，由文獻(xiàn)［10］定理7知G是p-超可解群，矛盾，故|P|＞p2.設(shè)RG 滿足R≤P且|R|=p，由引理3之2）知G/R滿足條件，則G是p-可解的，矛盾，故P不包含G的p階正規(guī)子群.

（e）P的每個極大子群在G 中都不是s-擬正規(guī)的.不失一般性，設(shè)P1在G中s-擬正規(guī)，由引理1之3）易證P1=Op（G）是G的極小正規(guī)子群.若P 循環(huán)，則P1是P 的唯一極大子群.令LP 且|L|=p，有LG，與（d）矛盾，故P 非循環(huán).設(shè)P2是P 的極大子群且P1≠P2，則P=P1P2，由（b）知P2不正規(guī)于G，故G有一個s-擬正規(guī)子群K使得P2K在G中s-擬正規(guī)且P2∩K≤（P2）τG. 若K=1，由引理1之3）知P2G，矛盾，故K≠1.若KG=1，由引理1之1）和3）知P2≤Op（G）= P1，矛盾，故KG≠1.若N≤KG，則P2∩N=（P2）τG∩N在G中τ-擬正規(guī).如果N交換，則由引理2之2）和引理1之3）知P2∩NG，得|P|=p2，矛盾于（d）；若N非交換，則N=N1×N2×…× Nt，其中Ni（i=1，2，…，t）是相互同構(gòu)的非交換單群.若P2∩N≠1，則引理2之1）和2）知Ni∩P2在Ni中τ-擬正規(guī).令Q∈Sylq（Ni）且滿足（p，|Q|）=1，?x∈Ni，有（Ni∩P2）Qx=Qx（Ni∩P2），顯然Ni≠（P2∩Ni）Q，由引理5知矛盾，故P2∩N=1.若|N|p=p，則N是一個非交換單群，易見P≤P2N.若P2N＜G，則由（c）知P2N 是p-超可解的，矛盾.假設(shè)P2N=G，因NP1/N是G/N 的極小正規(guī)子群，有|P1|=p，故|P|=p2，與（d）矛盾.

（f）導(dǎo)出矛盾.由（e）知T≠1.設(shè)TG=1，由引理1之1）和（b）知P1=P1T在G中s-擬正規(guī)，與（e）矛盾，故TG≠1.若N≤TG，則由引理2之2）知P1∩N=（P1）τG∩N在G中τ-擬正規(guī).設(shè)N為非交換群，與（e）類似，可得G=P1N.若R 是G的另一個不同于N的極小正規(guī)子群，則|R|=p，與（d）矛盾，故N 是G 的唯一極小正規(guī)子群.顯然N∩P＜P，所以存在P的一個極大子群P2使得N∩P≤P2.由條件知，存在G的一個s-擬正規(guī)子群K使得P2K在G中s-擬正規(guī)且P2∩K≤（P2）τG，類似于（e）可得KG≠1且N≤KG.再由引理2之2）知N∩P=N∩P2=N∩（P2）τG在G中τ-擬正規(guī)，類似于（e）的討論，有N∩P=N∩P2=1，則N 是一個p′-群且N≤Op′（G），與（a）矛盾，故N是一個交換p-群，由此可得P1∩NG；因N是極小正規(guī)子群，故P1∩N=1或N≤P1，顯然這兩種情況都不可能.定理得證.

定理2 設(shè)p||G|且（p-1，|G|）=1，若G的每個p階或4階循環(huán)子群在G中幾乎τ-嵌入，則G是一個p-冪零群.

證明 設(shè)G是極小階反例.令M是G的一個極大子群，由引理3之1）知M 滿足條件.由G的極小性知M是p-冪零群，故G是極小非p-冪零群.由文獻(xiàn)［11］中引理1.1知G=PQ，其中P是G的正規(guī)Sylow p-子群，Q是G 的Sylow q-子群，P/Φ（P）是G的主因子，且P的冪指數(shù)是p 或4（若P是非交換2-群）.取x∈P＼Φ（P），設(shè)H=〈x〉，則|H|=p或4.由引理3之3）知，G中存在包含于P的s-擬正規(guī)子群T使得HT在G中s-擬正規(guī)且H∩T≤HτG.由引理1之2）知，TΦ（P）/Φ（P）是G/Φ（P）的s-擬正規(guī)子群.因P/Φ（P）是G/Φ（P）的極小正規(guī)子群，由引理1之3）知TΦ（P）/Φ（P）是G/Φ（P）的正規(guī)子群，故T≤Φ（P）或T=P.① 若T≤Φ（P），則HΦ（P）/Φ（P）=H TΦ（P）/Φ（P）在G/Φ（P）中s-擬正規(guī)；②若T=P，則H=HτG在G中s-擬正規(guī)；因此，由引理1之2）知HΦ（P）/Φ（P）在G/Φ（P）中s-擬正規(guī)，由引理1之3）知HΦ（P）/Φ（P）是G/Φ（P）的正規(guī)子群.因P/Φ（P）是G/Φ（P）的極小正規(guī)子群，故P=H.由引理4知G是p-冪零的，矛盾.定理得證.

［1］郭文彬.群類論［M］.北京：科學(xué)出版社，1997：1-255.

［2］DOERK K，HAWKES T.Finite soluble groups［M］.Berlin：Walter de Gruyter，1992：1-890.

［3］KEGEL O H.Sylow-gruppen und subnormalteiler endlicher gruppen［J］.Math Z，1962，78（1）：205-221.

［4］張勤海，王麗芳.s-半置換子群對群構(gòu)造的影響［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報，2005，48（1）：81-88.

［5］LI Yangming，QIAO Shouliang，SU Ning，et al.On weakly s-semipermutable subgroups of finite groups［J］. J Algebra，2012，371：250-261.

［6］LUKYANENKO V O，SKIBA A N.On weaklyτ-quasinormal subgroups of finite groups［J］.Acta Math Hung，2009，125（3）：237-248.

［7］LI Changwen，ZHANG Xuemei，YI Xiaolan.Onτ-supplemented subgroups of finite groups［J］.Miskolc Math Notes，2013，14（3）：997-1008.

［8］CHEN Xiaoyu，GUO Wenbin.On weakly s-embedded and weaklyτ-embedded subgroups［J］.Siberian Math J，2013，54（5）：931-954.

［9］HUPPERT B.Endliche gruppen I［M］.Berlin：Springer，1967：1-478.

［10］BALLESTER-BOLINCHES A，EZQUERRO L M，SKIBA A N.On second maximal subgroups of Sylow subgroups of finite groups［J］.J Pure Appl Algebra，2011，215（1）：705-714.

［11］李先崇，游泰杰.關(guān)于弱-可補(bǔ)子群［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，15（1）：5-8.

On nearly τ-embedded subgroups of finite groups

MAO Yuemei1，2，HUANG Jianhong3*
（1.Sch of Math&Comput Sci，Datong Univ，Datong 037009，China；2.Sch of Math，Univ of Sci&Technol of China，Hefei 230026，China；3.Sch of Math&Stat，Jiangsu Normal Univ，Xuzhou 221116，China）

A subgroup H of a group G is said to be nearlyτ-embedded in G if G has an s-quasinormal subgroup T such that H T is s-quasinormal in G and H∩T≤HτG，where HτGis the subgroup of H generated by all those subgroups of H which areτ-qusinormal in G.In this paper，the p-supersolublity and p-nilpotency of finite group are investigated by studying the nearlyτ-embedded properties of the maximal subgroup and the minimal subgroup of Slyow subgroup of finite group.

s-quasinormal subgroup；τ-quasinormal subgroup；nearlyτ-embedded subgroup；p-supersoluble group；p-nilpotent group

O152.1

A

1007-824X（2015）02-0001-04

（責(zé)任編輯 秋 實(shí)）

2014-11-17.*聯(lián)系人，E-mail：jhh320@126.com.

國家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目（11401264）.

毛月梅，黃建紅.有限群的幾乎τ-嵌入子群［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2015，18（2）：1-4.