變分不等式的近似解與向量優(yōu)化問題的擬近似解的關系

岳瑞雪，李小燕，高 英

(重慶師范大學數學學院，重慶 401331)

在最優(yōu)化理論中，凸性假設被廣泛應用。為了更好地解決現實問題，一些學者對凸函數做了一系列推廣。Mangasarian［1］給出了偽凸函數的概念。Ngai等［2］給出了近似凸函數的概念。Bhatia等［3］和Gupta 等［4］利用 Clarke 次微分對近似凸函數進行了推廣。

Giannessi［5］給出了歐幾里得空間中的向量值變分不等式問題。由于向量值變分不等式問題在許多領域都有重要的應用價值和理論價值，因此，一些學者對向量變分不等式問題作了很多推廣，見文獻［6－9］。變分不等式問題是解決向量優(yōu)化問題的一個有效工具。近年來，一些學者在研究向量優(yōu)化問題時發(fā)現多目標優(yōu)化問題的最優(yōu)性條件可以通過變分不等式進行刻畫，見文獻［5，10－14］。Yang和Zheng［15］研究了一個點是向量變分不等式問題近似解的充分和必要條件。Lee和Lee［16］研究了幾種向量變分不等式問題和非光滑向最優(yōu)問題之間的聯(lián)系。在向量優(yōu)化問題中，在非緊的情況下，有效解(弱有效解)往往不一定存在，近似解在很弱的情況下都可能存在 (Ekelend變分原理)。Loridan［17］介紹了一般多目標優(yōu)化問題的ε－有效解的概念，并研究了ε－有效解的一些性質。Beldiman［18］等給出了多目標優(yōu)化問題(on，ˉε)－擬近似 (弱，真) 有效解的概念。Mishra等［19］研究了向量變分不等式的解和向量優(yōu)化問題局部擬有效解之間的關系。

本文在文獻［19］的基礎上研究了變分不等式問題的近似解與非光滑向量優(yōu)化問題擬近似有效解之間的聯(lián)系。

1 預備知識

設Rn是 n維歐幾里得空間是 Rn的非負象限;〈·，·〉表示歐幾里得內積，‖·‖ 表示歐幾里得范數;X?Rn是非空閉凸集合。

本文給出以下符號:對任意的 x，y∈Rn，有

x=y ? xi=yi，?i=1，…，n

x ＞ y? xi＞ yi，?i=1，…，n

x≧ y ? xi≧ yi，?i=1，…，n

x≥ y ? xiyi，?i=1，…，n，且 x≠ y

定義1［20］函數 f:X→R被稱為在 x∈X附近的Lipschitz函數。如果存在一個正常數K和一個 x的鄰域 N，使得對于任意的 y，z∈N，有|f(y)－f(z)|≤K‖y－z‖。如果對于任意的 x∈X，f:X→R是在 x附近的 Lipschitz函數，則稱函數f是在X上的局部Lipschitz函數。

定義2［20］設f:X→R是在 X上的局部Lipschitz函數。f在 x∈X處沿方向 v∈Rn的 Clarke廣義方向導數記為 fo(x;v)，定義為 fo(x;v)=

定義3［20］設f:X→R是在X上的局部Lipschitz函數。f在 x∈X處的 Clarke廣義次微分記為 ?cf(x)，定義為?cf(x)={ξ∈Rn:fo(x;v)≥〈ξ，v〉，?v∈Rn}。

這些定義和性質可以推廣到局部Lipschitz的向量值函數 f:X→Rp，fi(i=1，…，p)為 f的分量。f在 x∈X處的 Clarke廣義次微分為 ?cf(x)=?cf1(x)×?cf2(x)×… ×?cfp(x)。

定義4［1］集合?≠X?Rn為凸集，如果x+λ(y－x)∈X，x，y∈X，λ∈［0，1］。

定義5［19］設f:X→Rp是在X上的局部Lipschitz函數。f為在y∈X處的擬近似凸函數，若對于任意的 α∈int(Rp+)，存在 δ＞0，使得

稱f為 X上的近似凸函數，若對于任意的 y∈X，f在y∈X處是近似凸函數。

定義6［19］設f:X→Rp是在X上的局部Lipschitz函數。f為在y∈X處的嚴格擬近似凸函數，若對于任意的 α∈int(Rp+)，存在 δ＞0，使得

稱f為X上的嚴格近似凸函數，若對于任意的y∈X，f在 y∈X處是嚴格近似凸函數。

定義7［19］設 f:X→Rp是在 X上的局部Lipschitz函數。f為在 y∈X處的擬近似偽凸函數，如果對于任意的 α∈int(Rp+)，存在 δ＞0，使得?x∈B(y，δ)，

或者

則稱f為X上的擬近似偽凸函數，對于任意的y∈X，f在 y∈X處是擬近似偽凸函數。

為了研究向量優(yōu)化問題的擬近似弱有效解與臨界點之間的關系，給出了擬近似偽凸的定義。

定義8設f:X→Rp是在X上的局部Lipschitz函數。f稱為在y∈X處的擬近似偽凸函數，若對于任意的 α，∈int(Rp+)，存在 δ＞0，使得?x∈B(y，δ)

或者

則稱f為X上的擬近似偽凸函數，對于任意的y∈X，f在 y∈X處是擬近似偽凸函數。

考慮如下的非光滑向量優(yōu)化問題:

其中fi:X→R，i=1，2，…，p是 X 上的局部 Lipschitz函數。

定義 9［18］

1)稱y∈X是(NVOP)的擬近似有效解，如果存在 α∈int(Rp+)∈int()，對于任意的 x∈X，下面不等式不成立:f(x)≤f(y)－α‖x－y‖－。

2)稱y∈X是(NVOP)的擬近似弱有效解，如果存在 α∈int()ˉ∈int()，對于任意的 x∈X，下面不等式不成立:f(x) ＜f(y)－α‖x－y‖ －。

考慮如下的變分不等式問題［19］:

(VVIP)尋找 y∈X，使得對于任意的 x∈X有〈ξ，x－y〉≤0，?ξ∈?cf(y)。

(WVVIP)尋找y∈X，使得對于任意的 x∈X有〈ξ，x－y〉＜0，?ξ∈?cf(y)。

定義10

2 近似向量變分不等式問題與非光滑向量優(yōu)化問題之間的聯(lián)系

文獻［19］研究了變分不等式問題的解與非光滑向量優(yōu)化問題的局部擬 (弱)有效的關系。本節(jié)研究了向量變分不等式問題的近似解與非光滑向量優(yōu)化問題的擬近似解的關系和向量優(yōu)化問題的臨界點與擬近似弱有效解的關系。

定理1設f:X→Rn在y∈X處是近似凸的。若y是(VVIP)的近似解，則y是 (NVOP)的擬近似有效解。

證明若y不是(NVOP)的擬近似有效解，則對于任意的 α，∈int(Rp+)，存在 x∈X，使得 f(x)≤f(y)－α‖x－y‖－。因為 f在 y∈X 處是近似凸的，即對于任意的 α∈int(Rn+)，存在 δ＞0，使得對于任意的 x∈B(y，δ)∩X 有

定理2

1)設y∈X是(NVOP)的擬近似弱有效解，則y是(WVVIP)的近似解。

2)設f:X→Rn在y∈X處是近似凸的。若 y是(WVVIP)的近似解，則y是 (NVOP)的擬近似弱有效解。

證明

1)因為y是(NVOP)的擬近似弱有效解，X是凸集，所以存在 α，∈int(Rp+)，使得對于任意的x∈X，下面不等式不成立:

上式兩邊同時除以 t，然后讓 t↓0取極限，得fo(y，x－y) ＜－，從而有

故y是(AWVVIP)的解。

2)與定理1的證明類似。

定理3設f:X→Rn在y∈X處是嚴格近似凸的。若y是(NVOP)的擬近似弱有效解，則y是(NVOP)的擬近似有效解。

證明:若y不是(NVOP)的擬近似有效解，則對于任意的 α，∈int()，存在 x∈X，使得f(x)≤f(y)－α‖x－y‖－。因為f在y∈X處是嚴格近似凸的，即對于任意的 α∈int()，存在 δ＞0，使得對于任意的 x∈B(y，δ)∩X有

從而y不是(WVVIP)的近似解。又由定理2的1)可知，y∈X不是(NVOP)的擬近似弱有效解，這與條件矛盾，故y是(NVOP)的擬近似有效解。

定義11 稱可行點y∈X是(NVOP)的臨界點，如果存在 λ∈ Rp，λ≥0，使得 λTξ=0，?ξ∈?cf(y)。

定理4設 f:X→Rn在 y∈X處是近似偽凸的，若 y∈X是 (NVOP)的臨界點，則y是(NVOP)的擬近似弱有效解。

證明 若y∈X是 (NVOP)的臨界點，則存在 λ∈Rp，λ≥0，使得 λTξ=0，?ξ∈?cf(y)，從而對于任意的 x∈X，有〈λTξ，x－ y〉=0，?ξ∈?cf(y)，所以，對于任意的 x∈X，有〈ξ，x－ y〉≧0，?ξ∈?cf(y)。又因為f在y∈X處是近似偽凸的，所以對于任意的 α∈int(Rp+)，存在

故y是(NVOP)的擬近似弱有效解。

定理5 若(NVOP)的臨界點是(NVOP)的擬近似弱有效解，則f:X→Rn在 y∈X處是擬近似偽凸的。

證明設(NVOP)的臨界點y是(NVOP)的擬近似弱有效解。若y∈X是(NVOP)的臨界點，則存在 λ∈Rp，λ≥0，使得 λTξ=0，?ξ∈?cf(y)，

從而對于任意的 x∈X，有〈λTξ，x－y〉=0，?ξ∈?cf(y)，即對于任意的 x∈X，有〈ξ，x－y〉≧0，?ξ∈?cf(y)。又因為 y∈X是 (NVOP)的擬近似弱有效解，則存在 α∈int()∈int()，對于任意的x∈X，有f(x)≧f(y)－α‖x－y‖ －αˉ，所以f在臨界點y∈X處是擬近似偽凸的。

［1］Mangasarian O L.Nonlinear Programming［M］.New York:McGraw-Hill，1969.

［2］Ngai H V，Luc D T，Thera M.Approximate convex functions［J］.J.Nonlinear Convex Anal，2000，1:155-176.

［3］Bhatia D，Gupta A，Arora P.Optimality via generalized approximate convexity and quasiefficiency［J］.Optimization Letters，2013，7(1):127-135.

［4］Gupta A，Mehra A，Bhatia D.Approximate convexity in vector optimization［J］.Bull.Aust.Math.Soc，2006，74:207-218.

［5］Giannessi F.Theorems of alternative，quadratic programs and complementarity problems［J］.Variational inequalities and complementarity problems，1980，1:151-186.

［6］Dafermos S.Exchange price equilibrium and variational inequalities［J］.Math.Program，1990，46:391-402.

［7］Giannessi F.On Minty variational principle［M］//New Trends in Mathematical Programming.Dordrecht:Kluwer Academic Publishers，1997.

［8］Kinderlehrer D，Stampacchiya G.An Introduction to Variational Inequality and their Applications［M］.London:Academic Press，1980.

［9］Yang X Q，Goh C J.On vector variational inequalities:application to vector equilibria［J］.Journal of Optimization Theory and Applications.1997，95(2):431-443.

［10］Chen G Y，Craven B D.A vector variational inequality and optimization over an efficient set［J］.Z.Oper.Res，1990，34:1-12.

［11］Kinderlehrer D，Stampacchiya G.An Introduction to Variational Inequality and their Applications［M］.London:Academic Press，1980.

［12］Lee G M，Kim D S，Lee B S，et al.Vector variational inequality as a tool for studying vector optimization problems［J］.Nonlinear Anal，1998，34:745-765.

［13］Mishra S K，Wang S Y.Vector variational like inequalities and nonsmooth vector optimization problems［J］.Nonlinear Anal，2006，64:1939-1945.

［14］Yang X Q.Vector variational inequality and vector pseudolinear optimization［J］.J.Optim.TheoryAppl，1997，95:729-734.

［15］Yang X Q，Zheng X Y.Approximate solutions and optimality conditions of vector variational inequalities in Banach spaces［J］.J.Glob.Optim，2008，40:455-462.

［16］Lee G M，Lee K B.Vector variational inequalities for nondifferentiable convex vector optimization problems［J］.Journal of Global Optimization，2005，32(4):597-612.

［17］Sawaragi and Yoshikazu，Date.Theory of multiobjective optimzation［M］.Japan:Department of Applied Matheatics Konan Uinversity，1985.

［18］Beldiman M，Panaitescu E，Dogaru L.Approximate quasi efficient solutions in multiobjective opti-mization［J］.Bull.Math.Soc.Math.Roumanie Tome，2008，51(99):109-121.

［19］Mishra S K，Upadhyay B B.Some relations between vector variational inequality problems and nonsmooth vector optimization problems using quasi efficiency［J］.Positivity.2013，17:1071-1083.

［20］Clarke F H.Optimization and Nonsmooth Analysis［M］.New York:Wiley-Interscience，1983.