不等式與數(shù)列

●應(yīng)勤儉(慈溪中學(xué)浙江寧波315300)●苗孟義(三山高級(jí)中學(xué)浙江慈溪315300)

不等式與數(shù)列

●應(yīng)勤儉(慈溪中學(xué)浙江寧波315300)●苗孟義(三山高級(jí)中學(xué)浙江慈溪315300)

1 知識(shí)內(nèi)容

不等式中，判斷不等關(guān)系的方法有:1)利用不等式性質(zhì);2)舉反例.不等式恒成立(或有解)求參數(shù)問題的方法有:1)函數(shù)與方程觀點(diǎn);2)變量分離.解含參一元二次不等式:二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)正(注意是否為0的討論)，求根(含判別式的討論)，討論根的大小，寫出解集.利用基本不等式求最值，要注意“一正二定三等”，創(chuàng)設(shè)一個(gè)適用基本不等式的情境，常用的技巧有:拆項(xiàng)、變常數(shù)、變系數(shù)等.

數(shù)列中，證明等差(等比)數(shù)列的方法有:1)定義法，順?biāo)浦?，任意相?項(xiàng)作差(作商)為常數(shù);2)利用等差(等比)中項(xiàng).不同類型的題目可選擇不同的方法.解決等差、等比數(shù)列的容易題:1)巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量;2)基本量法.求通項(xiàng)問題:1)利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng);2)利用疊加(疊乘)法求通項(xiàng);3)利用待定系數(shù)法、構(gòu)造新數(shù)列法求通項(xiàng).求和問題:1)公式法;2)分組求和;3)錯(cuò)位相減; 4)裂項(xiàng)相消;5)倒序相加.數(shù)列與不等式綜合問題一般有2類:1)不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，利用函數(shù)觀點(diǎn)或者采用變量分離方法解決;2)證明不等式，常用放縮法或構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問題，利用單調(diào)性解決.

2 命題分析

不等式在高考中的考查主要是“解”、“用”、“證”.考查2個(gè)數(shù)的大小比較、一元二次不等式(或含參數(shù)不等式)的解法、利用基本不等式求最值或不等式恒成立求參數(shù)范圍等知識(shí)，且多與集合、函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)交匯命題，常以選擇題、填空題形式呈現(xiàn).追尋不等式與其他重點(diǎn)知識(shí)的新穎、巧妙組合以及與高等數(shù)學(xué)的相互聯(lián)系，挖掘不等式在生活和科研中的應(yīng)用，往往是高考對(duì)不等式考查的一個(gè)創(chuàng)新點(diǎn).

數(shù)列在高考中的考查主要有2種形式:1)以選擇題、填空題的形式考查利用等差(等比)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)解決與項(xiàng)、和有關(guān)的計(jì)算問題;2)以解答題的形式考查，主要是等差(等比)數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式及其性質(zhì)、遞推公式等知識(shí)交匯綜合命題，通過分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求和，結(jié)合不等式解決恒成立求參數(shù)范圍問題和不等關(guān)系的證明問題.考查用數(shù)列知識(shí)分析問題、探究創(chuàng)新的能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.

3 典題剖析

例11)已知實(shí)數(shù)x，y滿足ax＜ay(其中0＜a＜1)，則下列關(guān)系式恒成立的是( )

B.ln(x2+1)＞ln(y2+1)

C.sinx＞siny

D.x3＞y3

3)對(duì)于c＞0，當(dāng)非零實(shí)數(shù)a，b滿足4a2－2ab+4b2－ c=0，且使|2a+b|最大時(shí)，的最小值為______.

分析1)本題以函數(shù)為載體給出不等關(guān)系，由ax＜ay(其中0＜a＜1)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得x＞y，從而x3＞y3.作為選擇題，可用排除法來(lái)解決該題.

2)本題涉及分段函數(shù)的圖像、復(fù)合函數(shù)、求解二次不等式等知識(shí).可以將f(a)看成一個(gè)整體并求出范圍，再代入原條件求解.函數(shù)f(x)的圖像如圖1所示，令t=f(a)，則f(t)≤2，由圖像知t≥－2，從而f(a)≥－2，故

圖1

3)本題涉及三元，可以考慮把c看作常數(shù)，問題就轉(zhuǎn)化為了二元等式條件下的范圍問題.這類問題一般采用基本不等式法、判別式法、消元法(通過代入或三角換元達(dá)到減元的目的)、以及利用對(duì)稱性解決.不管用哪一種方法，本質(zhì)上都是將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題.下面給出其中的2種解法:

解法1(基本不等式法)令t=|2a+b|2=4a2+4ab+ b2，由已知可得c=4a2－2ab+4b2，從而

得最小值為－2.

解法2(判別式法)設(shè)t=2a+b，則b=t－2a，代入4a2－2ab+4b2－c=0中，得

而只有當(dāng)Δ=0時(shí)，等號(hào)成立，即使|2a+b|最大，此時(shí)

下同解法1.

例21)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2S5－13a4+5a8=10，則下列數(shù)中恒為常數(shù)的是( )

A.a8B.S9C.a17D.S17

2)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，，a6+a7=3，則滿足a1+a2+…+an＞a1a2…an的最大正整數(shù)n的值為______.

分析1)把等差數(shù)列基本量代入條件2S5－13a4+ 5a8=10，可得a1+8d=5，即得a9=5.

2)本題考查等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí).估算，有一定的難度，若能想到代入試驗(yàn)，則會(huì)降低難度.由a6+a7=3，，得

當(dāng)n=2，3，4，…，10時(shí)，上式必成立;將n=11代入得211－1＞25，成立;將n=12代入得212－1＞211，成立;將n=13代入得213－1＞218，不成立.故答案為12.

例3已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列.

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

分析本題考查等差數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及裂項(xiàng)求和的方法.易得an=2n－1，從而

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

例4已知數(shù)列{an}滿足a1=x，a2=3x，Sn+1+Sn+ Sn－1=3n2+2(其中n≥2，n∈N*)，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.

1)若數(shù)列{an}為等差數(shù)列.

①求數(shù)列的通項(xiàng)an;

②若數(shù)列{bn}滿足bn=2an，數(shù)列{cn}滿足cn=t2bn+2－tbn+1－bn，試比較數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和Bn與{cn}前n項(xiàng)和Cn的大小.

2)若對(duì)任意n∈N*，an＜an+1恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

分析1)①由遞推關(guān)系可以求出a3=14－9x，于是可利用等差數(shù)列求出x的值，進(jìn)而an=2n－1.

②易知Cn=(16t2－4t－1)Bn，故要比較Cn和Bn的大小，只需確定“Bn的符號(hào)”和“16t2－4t－1與1的大小關(guān)系”問題.前者易知為正，后者作差后判斷符號(hào)即可:

2)本題可由遞推關(guān)系式Sn+1+Sn+Sn－1=3n2+2(其中n≥2，n∈N*)，通過變形得出

于是對(duì)任意n∈N*，an＜an+1恒成立，需且只需a1＜a2＜a3＜a4＜a5，從而可求出x的取值范圍.

2式作差，得an+2+an+1+an=6n+3，從而

再作差，得an+3－an=6(其中n≥2)，因此

由a1＜a2且a3k－1＜a3k＜a3k+1，得

例5已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1=2，其前n項(xiàng)和為Sn，且－a2，Sn，2an+1成等差數(shù)列.

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

2)若數(shù)列{bn}滿足b1=a1－1，(其中n≥2，n∈N*).

①當(dāng)n≥2時(shí)，求bn+1(an－1)－(1+bn)(an+1－1)的值;

分析第1)小題采用“知和求差”運(yùn)用公式an=Sn－Sn－1(其中n≥2)進(jìn)行消“和”，找新的遞推關(guān)系式an+1=2an(其中n≥2)，要注意驗(yàn)證a2=2a1，得到an+1=2an(其中n∈N*).

例6已知數(shù)列{an}滿足a1=1，|an+1－an|=pn(其中n∈N*).

1)若{an}是遞增數(shù)列，且a1，2a2，3a3成等差數(shù)列，求p的值;

分析1)因?yàn)閿?shù)列{an}單調(diào)遞增，且a1=1，所以可以直接去掉絕對(duì)值.先將a2，a3用p表示，利用等差中項(xiàng)，列出關(guān)于p的方程，求p的值.當(dāng)p=0時(shí)，an+1=an，這與{an}是遞增數(shù)列矛盾，故

2)對(duì)數(shù)列的項(xiàng)進(jìn)行奇偶分析，并通過構(gòu)造(a2n+1－a2n)+(a2n－a2n－1)來(lái)分析去掉遞推數(shù)列的絕對(duì)值的符號(hào)，然后歸納出關(guān)于an+1－an的表達(dá)式，進(jìn)而利用累加法求{an}的通項(xiàng)公式.由于{a2n－1}是遞增數(shù)列，因而a2n+1－a2n－1＞0，于是

由式(1)和式(2)知，a2n－a2n－1＞0，從而

又因?yàn)閧a2n}是遞減數(shù)列，同理可得

4 精題集萃

1.若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有( )

3.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為，公比為，其前n項(xiàng)和為Sn，則S3=______;若對(duì)n∈N*恒成立，則B－A 的最小值為______.

4.若數(shù)列{an}滿足:對(duì)任意的n∈N*，只有有限個(gè)正整數(shù)m使得am＜n成立，記這樣的m的個(gè)數(shù)為(an)*，則得到一個(gè)新數(shù)列{(an)*}.例如，若數(shù)列{an}是1，2，3，…，n，…，則數(shù)列{(an)*}是0，1，2，…，n－1，….已知對(duì)任意的n∈N*，an=n2，則(a5)*=______，((an)*)*=______.

5.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足8Sn=a2n+ 4an+3且a2是a1和a7的等比中項(xiàng).

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

6.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn+n=2an(其中n∈N*).

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

參考答案