例談三角函數(shù)與平面向量的復(fù)習(xí)

●林光來(靈溪第二高級中學(xué)浙江蒼南325800)

例談三角函數(shù)與平面向量的復(fù)習(xí)

●林光來(靈溪第二高級中學(xué)浙江蒼南325800)

1 命題分析

縱觀近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題，出現(xiàn)了一些富有時代氣息的三角函數(shù)與平面向量考題，它們形式獨特、背景鮮明、結(jié)構(gòu)新穎，主要考查考生分析問題、解決問題的能力和處理交匯性問題的能力.浙江省數(shù)學(xué)高考試卷中一般有3～5個三角函數(shù)與平面向量的題目，分值約占全卷的10%～20%.三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的考查，以圖像的變換，三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性、最值等作為熱點內(nèi)容，并且往往與三角變換公式相互聯(lián)系，有時也與平面向量、解三角形或不等式內(nèi)容相互交匯.三角恒等變換中公式比較多，包括兩角和與差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式等等，合理運用三角公式是解決三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角恒等變換等問題的關(guān)鍵.在高考題中，突出考查三角公式所涉及的基本運算，重點考查三角函數(shù)名稱、角、關(guān)系式的變換，經(jīng)常會結(jié)合三角形、平面向量等知識進行綜合考查.而解三角形是三角函數(shù)的一個應(yīng)用，《考試說明》中明確提出:“必須掌握正弦定理、余弦定理，并能運用這2個定理解決實際問題”.浙江省數(shù)學(xué)高考試題對正、余弦定理的考查一般集中在求解三角形的邊、角、面積及判斷三角形形狀等方面.

平面向量從命題角度上看，主要圍繞平面向量運算設(shè)計試題，著重考查平面向量的概念、線性運算、坐標運算和數(shù)量積運算，其中，對平面向量的數(shù)量積運算的考查尤為突出.近幾年的浙江省數(shù)學(xué)高考試題，特別強調(diào)幾何背景和代數(shù)性質(zhì)的結(jié)合，命題熱點主要集中在以下3個方面:1)利用平面向量的幾何意義來解決問題;2)利用基向量轉(zhuǎn)化來解決問題;3)利用坐標法來解決有關(guān)問題.平面向量是代數(shù)、平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識的網(wǎng)絡(luò)交織點，因此數(shù)學(xué)高考卷也會在平面向量與三角函數(shù)的交匯處設(shè)計試題.

2 典題剖析

2)求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間.

(2014年福建省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

2)由正弦與余弦的二倍角公式，以及三角函數(shù)的化一公式，將函數(shù)f(x)化簡為

評注該題屬于中等偏易題，主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、正弦與余弦的二倍角公式及三角函數(shù)的化一公式等基礎(chǔ)知識，同時考查了運算求解能力.解決三角函數(shù)問題要重視三角函數(shù)的“三變”:變角、變名、變式.變角即對角的分拆要盡可能化成同名、同角、特殊角;變名即盡可能減少函數(shù)名稱;變式即對式子變形要盡可能有理化、整式化、降低次數(shù)等.在解決求值、化簡、證明問題時，一般是觀察角度、函數(shù)名、所求問題的整體形式中的差異，再選擇適當(dāng)?shù)娜枪竭M行變形.

例2已知向量a=(m，cos2x)，b=(sin2x，n)，設(shè)函數(shù)f(x)=a·b，且y=f(x)的圖像過點和點

1)求m，n的值.

2)將y=f(x)的圖像向左平移φ(其中0＜φ＜π)個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖像.若y=g(x)的圖像上各最高點到點(0，3)距離的最小值為1，求y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

(2014年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

分析1)由題意知

2)由第1)小題知

由題意知

將(0，2)代入y=g(x)，得

評注該題考查了平面向量的數(shù)量積、三角函數(shù)的化簡、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，同時考查了運算求

解能力、推理論證能力.三角函數(shù)公式非常多，使用方式靈活多樣，在三角函數(shù)復(fù)習(xí)中不僅要讓學(xué)生學(xué)會正用、逆用、變形使用公式，還要讓學(xué)生掌握公式及其變形的特點，提高分析問題、解決問題的能力，從而靈活使用公式，正確地進行求解.

例3在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，acosB=bsinA，且a2－b2=bc，試判斷△ABC的形狀(改編題).

分析1要判斷三角形形狀可以從邊的角度進行解決:由acosB=bsinA及正弦定理可得;由a2－b2=bc及余弦定理可得，代入a2－b2=bc并化簡整理得b=c.因此，故△ABC為等腰直角三角形.

分析2判斷三角形形狀也可以從角的角度來考慮:利用正弦定理、余弦定理可得

故△ABC為等腰直角三角形.

評注本題主要考查了正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，同時也考查了運算求解能力.在平時復(fù)習(xí)中要讓學(xué)生在解決問題的過程中熟悉利用正、余弦定理進行“角邊互化”，對所給的邊角關(guān)系式一般要先化為只含邊之間的關(guān)系或只含角之間的關(guān)系，再進行判斷.

圖1

圖2

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第16題)

分析1(利用三角公式)如圖2，設(shè)BC=a，AC=1，AB=c，令∠BAM=α，∠MAC=β.利用兩角和的正切公式可以解得，從而

分析2(利用正弦定理)令A(yù)B=c，AC=b，BC=a.在△ABM中，，即

分析3(坐標法)建立如圖3所示的直角坐標系，令M(1，0)，B(2，0)，A(0，b)，則∠AMC=∠B+∠BAM.利用兩角和的正切公式解得，從而

圖3

圖4

分析4(平面幾何法)如圖4，經(jīng)過點C，M作AB的垂線.設(shè)MF=1，可得CE=2.由于，故AM=3，在Rt△ABC中，CE⊥AB，從而

評注此題主要考查了解三角形的知識，同時考查了學(xué)生的運算能力、推理論證能力和數(shù)形結(jié)合的思想，考查學(xué)生綜合運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決問題的能力.在平時的復(fù)習(xí)中要對一些題目從不同的角度、利用不同的思想方法來解決，有效地提升學(xué)生思維的靈活性、多樣性和層次性.

圖5

圖6

(2009年安徽省數(shù)學(xué)高考理科試題第14題)

分析1(利用正弦定理)如圖6，設(shè)∠AOC=α(其中α∈［0°，120°］)，過點C作CD∥OB交x軸于點D，可得x=|OD|，y=|DC|，∠ODC=60°，∠C=120°－α，由正弦定理可得

再利用α的范圍求得x+y的最大值為2.

分析2(坐標法)建立如圖6所示的直角坐標系，易知A(1，0)，，C(cosα，sinα).由，得

分析3由題意知

設(shè)∠AOC=α(其中α∈［0°，120°］)，則

再利用基本不等式求得x+y的最大值為2.

評注該題是一道以圓為載體、以向量為背景的最值問題，問題設(shè)計多角度、多視角、多層次地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，同時考查了學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).該題素材樸實，形式平淡，而求解過程精彩紛呈、妙趣橫生.解決該題可以從不同的角度出發(fā)，內(nèi)容涉及代數(shù)、平面幾何、三角函數(shù)、解析幾何等知識，蘊藏著數(shù)學(xué)方法.在平時復(fù)習(xí)中應(yīng)注重利用這樣的問題來提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

例6設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點，滿足，且對于邊AB上任一點P，恒有，則( )

A.∠ABC=90° B.∠BAC=90°

C.AB=AC D.AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

圖7

圖8

恒成立，整理后得

恒成立，只需Δ=(t+1)2－4t≤0即可，從而t=1，即AC=BC.

分析2(坐標法)如圖8，建立直角坐標系.設(shè)A(a，0)，B(b，0)，C(0，c)，P(x，0)，則

分析3(利用極化恒等式)取BC的中點O，則

評注該題主要考查了平面向量的數(shù)量積運算、不等式恒成立等知識，同時考查了學(xué)生的運算能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力、數(shù)形結(jié)合思想.本題的解決方法還有很多，除了上面給出的3種方法外，還可以利用基本不等式、基向量進行轉(zhuǎn)化、向量回路法等等.需要考生熟練掌握向量數(shù)量積運算的方法，這正是解決問題的關(guān)鍵.而數(shù)量積的運算一般有3種視角:一是直接利用數(shù)量積的定義;二是利用坐標法轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算;三是利用基底進行轉(zhuǎn)化.

3 精題集萃

A.4 B.3 C.2 D.1

3.已知a，b是單位向量，a·b=0.若向量c滿足|ca－b|=1，則|c|的取值范圍是( )

5.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足b2+c2－a2=bc，，，則b+c的取值范圍是______.

6.已知四邊形ABCD是矩形，AB=2，AD=3，E是線段BC上的動點，F(xiàn)是CD的中點.若∠AEF為鈍角，則線段BE長度的取值范圍是______.

7.如圖9所示，已知圓M:(x－3)2+(y－3)2=4，四邊形ABCD為圓M的內(nèi)接正方形，E為邊AB的中點，當(dāng)正方形ABCD繞圓心M轉(zhuǎn)動，同時點F在邊AD上運動時，則的最大值是______.

圖9

圖10

1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

2)在△ABC中，3個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，2a=b+c，bc=18，求a的值.

9.在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數(shù)列.

1)若a+c=4，求AC邊上中線長的最小值.

10.如圖10所示，A是單位圓與x軸正半軸的交點，點B，P在單位圓上，且，∠AOB=α，∠AOP=θ (其中0＜θ＜π)，，四邊形OAQP的面積為S.

(1)求cosα+sinα;

參考答案