集合與函數(shù)復(fù)習(xí)要點探析

●沈新權(quán)(嘉興市第一中學(xué)浙江嘉興314050)●楊月榮(嘉善高級中學(xué)浙江嘉善314100)

集合與函數(shù)復(fù)習(xí)要點探析

●沈新權(quán)(嘉興市第一中學(xué)浙江嘉興314050)●楊月榮(嘉善高級中學(xué)浙江嘉善314100)

集合與函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，從歷年浙江省的數(shù)學(xué)高考來看，對集合與函數(shù)的考查相對穩(wěn)定，既有小巧靈活的容易題，也有新穎別致的中等題，更有內(nèi)涵豐富的壓軸題，其中不少問題的解決對考生有較高的能力要求.

1 知識內(nèi)容

根據(jù)2012版的《浙江省普通高中學(xué)科教學(xué)指導(dǎo)意見》，集合與函數(shù)的主要考查內(nèi)容有:

1)理解集合語言的含義，會進行簡單的集合運算;

2)了解4種命題的含義及其相互關(guān)系，理解必要條件、充分條件與充要條件的含義;

3)理解函數(shù)的概念，會求一些簡單的函數(shù)定義域和值域;

4)理解函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，會判斷函數(shù)的奇偶性，會討論和證明函數(shù)的單調(diào)性;

5)理解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，并學(xué)會運用函數(shù)圖像理解、研究函數(shù)的性質(zhì);

6)了解函數(shù)零點的概念，理解并掌握連續(xù)函數(shù)在某個區(qū)間上存在零點的判定方法;

7)認識不同函數(shù)模型的增長差異，并了解函數(shù)模型在解決實際問題中的作用;

8)關(guān)注思想方法的滲透，如數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸等思想方法.

2 命題分析

從歷年的高考試題來看，集合與函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識，在數(shù)學(xué)的其他分支中有著極其廣泛的應(yīng)用，因此集合與函數(shù)一直是高考中的主干題型和熱點內(nèi)容.集合內(nèi)容在高考中主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，命題重點呈現(xiàn)3個方面:1)以函數(shù)的定義域、值域、不等式的解集為背景考查集合之間的交集、并集及補集的基本運算和集合之間的包含關(guān)系;2)以新定義集合以及集合運算為背景考查元素與集合之間的關(guān)系;3)集合與其他知識相交匯，常與函數(shù)、方程、不等式、平面向量、三角等知識相結(jié)合.常用邏輯用語的考查形式多以選擇題為主，命題重點主要有:命題的4種形式及其相互關(guān)系，主要考查命題的4種形式及命題的真假判斷;含有簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假的判斷以及對充分必要條件的考查，主要考查充分必要條件與集合、函數(shù)、方程、數(shù)列、三角函數(shù)、不等式、平面向量、立體幾何中的線面位置關(guān)系相交匯的問題.對于函數(shù)性質(zhì)及基本初等函數(shù)的考查，在2015年的浙江省數(shù)學(xué)高考試卷中，試題形式將在選擇題、填空題以及解答題中都會有所體現(xiàn)，其命題的重點主要有2個方面:1)考查函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)或者是幾個方面的綜合;2)考查交匯性問題，主要是冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)知識塊間的交匯，或與抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)零點、數(shù)列、不等式、三角等知識交匯來考查.

高考中對集合與函數(shù)這些內(nèi)容的考查有涉及的知識豐富、方法多樣的特點，有時候?qū)︻}意的解讀需要考生具有較強的理解能力，是高三學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的重點、難點，也是考生確保取得優(yōu)異成績的突破口.

3 典題剖析

3.1 集合與常用邏輯用語

集合與常用邏輯用語是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是高考必考的內(nèi)容，其中集合語言思想與常用邏輯用語可以滲透到高中數(shù)學(xué)的各個分支，與函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容常常融為一體加以考查.

例1以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質(zhì)的函數(shù)φ(x)組成的集合:對于函數(shù)φ(x)，存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φ(x)的值域包含于區(qū)間［－M，M］.例如，當(dāng)φ1(x)=x3，φ2(x)=sinx時，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.現(xiàn)有如下命題:

①設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，則“f(x)∈A”的充要條件是“任意b∈R，存在a∈D，f(a)=b”;

②函數(shù)f(x)∈B的充要條件是f(x)有最大值和最小值;

③若函數(shù)f(x)，g(x)的定義域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，則f(x)+g(x)?B;

其中的真命題有_______(寫出所有真命題的序號).

分析該題給出4個問題，內(nèi)容豐富，解決問題的途徑多樣.第①問可根據(jù)函數(shù)的定義判斷其正確性;第②問可通過舉反例來判斷其是錯誤的;第③問可通過f(x)的值域為R，g(x)在定義域是有界的，直接得到f(x)+g(x)?B;第④問由對任意x∈R總存在常數(shù)M使得f(x)≤M，故知a=0，從而，于是f(x)∈B.

評注本題是以函數(shù)的有界性為背景，將集合、常用邏輯用語與函數(shù)融為一體的考題，所涉及的知識有函數(shù)的值域、函數(shù)的單調(diào)性等.其中集合的定義為學(xué)生題意的理解上設(shè)置了障礙，考查了學(xué)生的理解能力，通過結(jié)果的判斷考查了學(xué)生的推理論證能力.

例2已知a，b，c為實數(shù)，f(x)=(x+a)(x2+bx+c)，g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).記集合S={x|f(x)=0，x∈R}，T={x|g(x)=0，x∈R}.若|S|，|T|分別為集合元素S，

T的元素個數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是( )

A.|S|=1且|T|=0 B.|S|=1且|T|=1

C.|S|=2且|T|=2 D.|S|=2且|T|=3

分析因為方程x2+bx+c=0與方程cx2+bx+1=0的判別式Δ相等，所以當(dāng)c≠0時2個方程根的個數(shù)是一致的.若方程x2+bx+c=0有不等的非零實根x1，x2，則方程cx2+bx+1=0有不等的非零實根，因此當(dāng)a≠0且方程x2+bx+c=0有不等的非零實根時，有|S|=|T|;若a=0，且Δ＜0，則|S|=1且|T|=0;若a≠0，且Δ＜0，則|S|=1且|T|=1;若a≠0，且Δ=0，則有可能是|S|=2且|T|=2;若|T|=3，則a≠0，且Δ＞0，此時一定有|S|.故選D.

評注該題以三次函數(shù)的零點為背景，將集合的概念與方程相結(jié)合，通過研究方程之間根的關(guān)系來考查集合中元素的個數(shù)，其關(guān)鍵是要注意2個方程x2+bx+c=0與cx2+bx+1=0(其中c≠0)根的一致性.同時，通過a=0和c=0等特殊情況的考慮，充分體現(xiàn)了對集合中元素確定性、互異性和無序性的理解.

3.2 函數(shù)的概念及性質(zhì)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，其核心內(nèi)涵是從非空數(shù)集到非空數(shù)集的映射，不僅是對集合學(xué)習(xí)的鞏固和發(fā)展，更是學(xué)好其他知識的基礎(chǔ)和工具.其中，學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是對函數(shù)概念的理解，尤其是函數(shù)概念中“對應(yīng)法則”的理解;對函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性和對稱性等性質(zhì)的把握.

分析面對此題，學(xué)生或者是由內(nèi)到外求出f(f(a))再解不等式，或者是由外到內(nèi)通過f(f(a))≤2確定f(a)的范圍進而確定a的范圍，亦或是通過f(x)的圖像直觀地呈現(xiàn)f(f(a))與f(a)以及f(a)與a的關(guān)系，從而更簡潔地發(fā)現(xiàn)a的取值范圍.

解法1(由內(nèi)到外)因為

所以當(dāng)a＜0時，有f(f(a))≤2恒成立，而當(dāng)a≥0時，有綜上可知實數(shù)a的取值范圍是

解法2(由外到內(nèi))當(dāng)f(x)≤2時，有x≥－2，即

因此當(dāng)a≥0時，有－a2≥－2，即，當(dāng)a＜0時，有a2+a≥－2恒成立，故實數(shù)a的取值范圍是

圖1

解法3(圖像法)也可以通過函數(shù)圖像直觀地“讀出”a的取值范圍，如圖1所示，當(dāng)f(f(a))≤a時，有f(a)≥－2，當(dāng)f(a)≥－2時，有

評注本題以分段函數(shù)為考查背景，考查學(xué)生對“f(a)，f(f(a))”含義的理解.不同的思維、不同的方法，直接反映了學(xué)生對函數(shù)概念不同深度的掌握，此題與2009年浙江省普通高中數(shù)學(xué)會考卷第39題如出一轍.

例4設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)=x2.若對任意的x∈［a，a+2］，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，則實數(shù)a 的取值范圍是______.

分析本題將奇偶性和單調(diào)性融合在一起加以考查，其中根據(jù)奇偶性知

便于學(xué)生畫出f(x)的圖像，判斷單調(diào)性.

解法1如圖2，要使得f(x+a)≥2f(x)恒成立，必須將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移，知a＞0，因此當(dāng)x∈［a，a+2］時有

即x2－2ax－a2≤0在x∈［a，a+2］上恒成立.故可求得a的取值范圍為

圖2

評注本題作為2012年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題第6題，雖然有一定的難度，但卻將函數(shù)奇偶性和單調(diào)性綜合在一起加以考查，是一道新穎靈巧的考題.其解答過程充分體現(xiàn)了圖形在解決函數(shù)問題中的作用，也考查了學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的深刻理解.

3.3 基本初等函數(shù)

高中數(shù)學(xué)中的基本初等函數(shù)主要包括二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，其學(xué)習(xí)的重點是基本初等函數(shù)的定義、圖像和性質(zhì)，并能運用基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決一些簡單的問題.

例5設(shè)a＞1，若僅有一個常數(shù)c使得對于任意的x∈［a，2a］，都有y∈［a，a2］滿足方程logax+logay=c，這時a的取值的集合為______.

分析方程logax+logay=c是一個不定方程，可視為函數(shù)問題加以分析解決.由已知得，且函數(shù)在 x∈［a，2a］上單調(diào)遞減，從而函數(shù)的值域為，故即

又因為常數(shù)c的值是唯一的，所以2+loga2=3，從而a的取值的集合為{2}.

評注本題考查數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，將已知條件“對于任意的x∈［a，2a］，都有y∈［a，a2］”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)在 x∈［a，2a］上的值域是［a，a2］”，再利用不等式的“夾逼原則”求常數(shù)a的值，充分體現(xiàn)對學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.

例6設(shè)f(x)=x2+(2a+1)x+a2+3a.若f(x)在區(qū)間［m，n］上單調(diào)遞減，且值域為［m，n］，求a的取值范圍.

分析本題以一元二次函數(shù)為研究對象，考查學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的理解，對學(xué)生問題的轉(zhuǎn)化思想和分析解決問題的能力有著很高的要求.由題意知

故問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)

評注本題通過將已知條件轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的零點問題加以處理，讓陌生的問題熟悉化，其解答的策略主要在于對問題的等價轉(zhuǎn)化，這是解決數(shù)學(xué)問題最核心的思想，也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的充分體現(xiàn).

3.4 函數(shù)的應(yīng)用

函數(shù)的應(yīng)用以函數(shù)模型的應(yīng)用為主線，以數(shù)學(xué)思想方法的滲透為主要學(xué)習(xí)意圖，在研究函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系中滲透了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合和化歸等思想，在建立確定性的函數(shù)模型解決問題的過程中滲透了數(shù)學(xué)建模、擬合的思想.因此，在高三復(fù)習(xí)中要貫徹這一教學(xué)意圖，并注意學(xué)生的親身體驗.

例7已知f(x)=|x2－1|+x2+kx.若關(guān)于x的方程f(x)=0在(0，2)上有2個解x1，x2，求k的取值范圍，并證明:

分析本題以含絕對值的一元二次函數(shù)為背景，考查方程有解問題.方程有解問題通?？赊D(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與x軸有交點或轉(zhuǎn)化為2個函數(shù)的圖像有交點來處理，于是有如下解法.

解法1因為

可知函數(shù)f(x)的圖像在(1，2)上與x軸至多1個交點，所以

令函數(shù)f(x)的零點為x1∈(0，1)，x2∈(1，2)，則

解法2由f(x)=0，得

圖3

同時，易得

評注本題通過方程有解問題的研究，考查學(xué)生對函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合和化歸等思想的理解.其中函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合和化歸等思想是貫徹整個高中數(shù)學(xué)始終的，尤其是在函數(shù)問題中體現(xiàn)得最為充分，在高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要特別關(guān)注.

例8某地區(qū)居民生活用電分為高峰和低谷2個時間段進行分時計價.該地區(qū)的電網(wǎng)銷售電價如表1所示:

表1 用電價格表

若某家庭5月份的高峰時間段用電量為200千瓦時，低谷時間段用電量為100千瓦時，則按這種計費方式該家庭本月應(yīng)付的電費為______元(用數(shù)字作答).

分析此題的背景是學(xué)生較為熟悉的“峰谷電”問題，也是很多家庭為節(jié)約開支的用電形式，因此這是一個源自教材的分段函數(shù)模型問題.由于題中給出了具體的數(shù)據(jù)，因此學(xué)生能快速地進入“問題解決”狀態(tài)，知道應(yīng)付的電費應(yīng)分2個部分:高峰部分為50×0.568+150×0.598;低谷部分為50×0.288+50×0.318.2個部分之和為148.4.

評注本題是對數(shù)學(xué)建模思想的考查，考查學(xué)生對題意的理解并能將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來加以處理，充分體現(xiàn)了學(xué)生的數(shù)據(jù)圖表處理能力.而今，計算原理、概率都已納入了IB選修考查內(nèi)容，因此函數(shù)這一應(yīng)用值得關(guān)注.

3.5 函數(shù)的綜合問題

函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點和重點內(nèi)容之一，一般難度較大，考查內(nèi)容和形式靈活多樣，要求考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識的基礎(chǔ)上進一步深化綜合運用知識的能力，掌握基本解題技巧和方法，具備一定的推理轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新能力.

例9在xOy平面上有一點列P1(a1，b1)，P2(a2，b2)，…，Pn(an，bn)，…，對每個自然數(shù)n，點Pn位于函數(shù)(其中0＜a＜10)的圖像上，且點Pn，點(n，0)與點(n+1，0)構(gòu)成一個以Pn為頂點的等腰三角形.

1)求點Pn的縱坐標(biāo)bn的表達式.

2)若對每個自然數(shù)n，以bn，bn+1，bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍.

3)設(shè)cn=lgbn(其中n∈N*)，若a取第2)小題中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列{cn}前多少項的和最大?試說明理由.

分析本題是以函數(shù)圖像上的點列為背景，以平面幾何的性質(zhì)為解題切入口，由點Pn在函數(shù)的圖像上可得.由平面幾何性質(zhì)并結(jié)合數(shù)列{bn}的單調(diào)性知以bn，bn+1，bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn＜bn+1+bn+2，故

根據(jù)第2)小題a的取值范圍可知a=7，從而

易知數(shù)列{cn}為一個遞減的等差數(shù)列，且當(dāng)cn=0時有n=20.8，故數(shù)列{cn}前20項的和最大.

評注本題采用了演繹推理的方法，通過函數(shù)的單調(diào)性來判斷數(shù)列的單調(diào)性，突出了數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系.

例10已知a＞0，b＞0，函數(shù)f(x)=ax－bx2.

1)當(dāng)b＞1時，證明:對任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要條件是

2)當(dāng)0＜b≤1時，討論:對任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要條件.

分析本題是二次函數(shù)與絕對值不等式相結(jié)合的考題，重點考查學(xué)生的代數(shù)推理能力，其求解或證明的方法通常巧妙靈活，但從形入手是最為簡潔、直觀的方法.因為函數(shù)y=f(x)的圖像為開口向下且經(jīng)過原點的拋物線，所以可判斷f(x)在x∈［0，1］上的最大值、最小值均為f(0)，f(1)，三者之一，故|f(x)|≤1對x∈［0，1］恒成立的充要條件為

當(dāng)b＞1時，|f(x)|≤1對x∈［0，1］恒成立的充要條件當(dāng)時，|f(x)|≤1對x∈［0，1］恒成立的充要條件為即

評注不等式恒成立問題的本質(zhì)是對函數(shù)最值的討論，而一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只受到端點值和頂點值的影響.本題的解法牢牢地抓住了這一問題本質(zhì)，將復(fù)雜的分類討論過程變得簡單快捷，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)非同一般的簡潔之美.

4 精題集萃

1.已知a1，b1，c1和a2，b2，c2均為正數(shù)，且不等式a1x2+b1x+c1＞0和a2x2+b2x+c2＞0的解集為A和B，則是“A=B”的( )

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分又不必要條件

2.已知函數(shù)f(x)=|2x－1|，g(x)=x2－(2+3k)x+ 2k+1，若函數(shù)y=g［f(x)］有3個不同的零點，則k的取值范圍是( )

4.如果cos5θ－sin5θ＜7(sin3θ－cos3θ)，θ∈(0，π)，那么θ的取值范圍______.

5.已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈［0，3)時，.若函數(shù)y=f(x)－a在區(qū)間［－3，4］上有10個零點(互不相同)，則實數(shù)a的取值范圍是______.

7.對于c＞0，當(dāng)非零實數(shù)a，b滿足4a2－2ab+4b2－ c=0且使|2a+b|最大時，的最小值為______.

8.設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+x|x－a|，x∈R.

1)若f(x)在R上具有單調(diào)性，求a的取值范圍;

2)當(dāng)a＜0時，求f(x)在［－2，2］上的值域.

9.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(其中a＞0，b∈R)，f(x)=x的2個根為x1，x2.

1)如果0＜x1＜2＜x2＜4，求f(－2)的取值范圍;

2)如果x2－x1=2，且x∈［x1，x2］時，函數(shù)的最大值為M(a)，求M(a)的表達式.

10.已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax(其中a∈R).

1)若不等式f(2x－1)≥1－a對x∈R恒成立，求a的取值范圍;

2)當(dāng)a=2時，設(shè)n∈N*，，求證:

參考答案