分裂節(jié)點(diǎn)法分析虛擬社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的重疊社區(qū)

趙福明，盛桂珍，2

（1.長春工程學(xué)院，長春130021；2.吉林建筑大學(xué)城建學(xué)院，長春130111）

隨著SNS網(wǎng)站的迅速發(fā)展和他們的用戶數(shù)量成倍增加，虛擬社會(huì)的網(wǎng)絡(luò)研究及其應(yīng)用的重要性不容忽視。對于一個(gè)大型的、連接關(guān)系雜亂無章的虛擬社會(huì)網(wǎng)絡(luò)，了解并分析其結(jié)構(gòu)，將其分解成互相獨(dú)立的集群是至關(guān)重要的。特別是，許多應(yīng)用程序需要在理解抽象模型的組織結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，以推斷其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和它的元素之間的關(guān)系。這一研究也是信息流傳播分析、推薦系統(tǒng)、虛擬社會(huì)影響最大化等的研究基礎(chǔ)。

1 社會(huì)網(wǎng)絡(luò)模型的介紹

在虛擬社區(qū)中，一個(gè)成員與多個(gè)主題的子社區(qū)相關(guān)聯(lián)是非常常見的。由于一個(gè)人可以在現(xiàn)實(shí)世界中有多重身份，我們可以合理地假設(shè)：他／她可能分別加入了代表他／她的朋友、工作伙伴、家庭的子社區(qū)，或者他／她根據(jù)自己的多個(gè)興趣參與了不同的組群。由此帶來的問題是：一個(gè)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)里的各個(gè)集群可能或多或少地存在重疊。但是現(xiàn)有的大部分圖聚類文獻(xiàn)均沒有考慮這樣有重疊的社區(qū)。

圖1展示了一個(gè)具有34個(gè)節(jié)點(diǎn)的典型重疊群落模型。在1區(qū)域和3區(qū)域的部分節(jié)點(diǎn)均與2區(qū)域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)有鏈接，但在1區(qū)域與2區(qū)域重疊，而3區(qū)域獨(dú)立于2區(qū)域。即使不經(jīng)過計(jì)算，我們也可以直觀地看出1區(qū)域與2區(qū)域有更為緊密的聯(lián)系，而3區(qū)域與后者的關(guān)聯(lián)相對較弱。

定義1：在對整個(gè)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行劃分之后，2個(gè)子群體含有相同的節(jié)點(diǎn)被稱為重疊社區(qū)；2個(gè)子群不具有相同的節(jié)點(diǎn)，但在這2個(gè)子群中的節(jié)點(diǎn)有連接關(guān)系被稱為分離社區(qū)；2個(gè)子群沒有相同的節(jié)點(diǎn)且它們之間沒有鏈接被稱為無關(guān)社區(qū)。

定義2：在本文中，包括一個(gè)或多個(gè)重疊社區(qū)的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分割的研究被稱為有重疊社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析。

根據(jù)上述2個(gè)定義，在有重疊的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中，并非任意2個(gè)社區(qū)都必須是重疊的，也就是說，本文的研究并不強(qiáng)制2個(gè)子群具有相同的節(jié)點(diǎn)。這與圖1所描述的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相一致。

下面將闡述本文提出的有重疊社會(huì)網(wǎng)絡(luò)模型的意義。首先，對于在重疊范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)來說，它將與2個(gè)或以上不同社區(qū)里的節(jié)點(diǎn)有緊密聯(lián)系。而由于這些被劃分出來的社區(qū)不具有必要的或直接的關(guān)系，這意味著他們可能有不同的特點(diǎn)，例如社區(qū)內(nèi)的成員會(huì)關(guān)注不同的主題或者是有不同的組織成員組成。在圖1中，1區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)28與2區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)1都與重疊區(qū)域中的節(jié)點(diǎn)3相關(guān)聯(lián)，然而節(jié)點(diǎn)28與節(jié)點(diǎn)3并沒有直接的聯(lián)系，暗示著2者可能存在不同的特點(diǎn)，而節(jié)點(diǎn)3將同時(shí)擁有這2種特性。這也就意味著重疊范圍內(nèi)的節(jié)點(diǎn)具有它所在的所有社區(qū)的特點(diǎn)，這與上文中提到的個(gè)體人類在現(xiàn)實(shí)世界中具有多重身份相吻合。其次，有重疊的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分割更有助于社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析的其他研究。對于單一節(jié)點(diǎn)，尤其是處于重疊區(qū)域的節(jié)點(diǎn)，我們可以更全面地了解它的特點(diǎn)及其與其他節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系。對于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)，直觀來講2個(gè)重疊社區(qū)間信息的傳播會(huì)比2個(gè)分離社區(qū)更快更有影響，有重疊的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)研究將有助于我們對整個(gè)虛擬社會(huì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的理解和分析。

本文主要在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上，提出一個(gè)改進(jìn)的數(shù)學(xué)模型及算法，以滿足對社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分割提出的要求：適用于處理大型密集網(wǎng)絡(luò)和海量數(shù)據(jù)，具有合理的運(yùn)行效率，適用于已有的網(wǎng)絡(luò)分割質(zhì)量的評估系統(tǒng)。本文組織如下：第2節(jié)中我們給出分割節(jié)點(diǎn)法的基本模型及基礎(chǔ)理論，以及其在其他數(shù)據(jù)模型中的適用性；第3節(jié)中我們將給出實(shí)驗(yàn)平臺(tái)、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)以幫助讀者了解下一章；第4節(jié)給出我們實(shí)驗(yàn)中的細(xì)節(jié)、復(fù)雜度分析與實(shí)驗(yàn)結(jié)果；在最后一節(jié)中，我們提供了我們工作的潛在價(jià)值。

2 社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析的基本概念

定義3：虛擬社會(huì)中某成員的好友，或在其抽象出來的無向圖中與節(jié)點(diǎn)A有連接關(guān)系的點(diǎn)定義為A的鄰接點(diǎn)。A的鄰接點(diǎn)的集合V＝｛v1，v2…vn｝，我們定義為與A的子社區(qū)。

2.1 有重疊社區(qū)的數(shù)學(xué)模型

在具有現(xiàn)實(shí)意義中的重疊社區(qū)內(nèi)，一個(gè)節(jié)點(diǎn)與其關(guān)聯(lián)的子群的原始數(shù)學(xué)模型如圖2（a）所示。然而，由于重疊區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)連接多個(gè)子社區(qū)，即A同時(shí)連接與其有關(guān)的4個(gè)集群，使得子社區(qū)之間并不相互獨(dú)立，無法直接應(yīng)用圖的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)并實(shí)現(xiàn)遍歷等算法，故這個(gè)模型并不方便做進(jìn)一步的數(shù)據(jù)處理和結(jié)果評估。因此，我們將其轉(zhuǎn)換成圖2（b）的結(jié)構(gòu)，也就是第1節(jié)中提到的分裂節(jié)點(diǎn)法。本文首先將A的鄰接點(diǎn)按它們的連接緊密程度分成幾個(gè)小組，如圖2（a）中成員間具有緊密聯(lián)系的大學(xué)同學(xué)、中學(xué)同學(xué)、同事與家人等。并根據(jù)這個(gè)分組將A賦予不同的編號。例如，對于連接A的高中同學(xué)而言將A標(biāo)為A1，對于大學(xué)同學(xué)標(biāo)為A2，家庭成員標(biāo)為A3，同事標(biāo)為A4。這樣，A1、A2、A3、A4將被視為4個(gè)獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)參與后續(xù)的實(shí)驗(yàn)，而有重疊的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)模型也被轉(zhuǎn)化為普通的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

圖2 現(xiàn)實(shí)中個(gè)體與相關(guān)群體的抽象模型及其變型

2.2 現(xiàn)有的研究成果

根據(jù)各社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的不同特性，研究人員一般選用譜分析方法、Kernighan－Lin算法、層次聚類算法這3種經(jīng)典社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析算法。雖然這些經(jīng)典算法并不能直接應(yīng)用于有重疊的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析，但他們對本文的研究有非常大的參考價(jià)值。

首次嘗試研究有重疊的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)是2005年發(fā)表的［12］，并且他們提出了開放的CFinder算法（http：／／cfinder.org／）。CFinder提供了一個(gè)適用于各種研究領(lǐng)域的快速和有效的圖分割方法，例如應(yīng)用最為廣泛的遺傳網(wǎng)絡(luò)和微陣列數(shù)據(jù)。然而，在分析如本文所選擇的具有上億個(gè)節(jié)點(diǎn)及百億條連接的虛擬社會(huì)網(wǎng)絡(luò)時(shí)，CFinder的運(yùn)行時(shí)間和輸出結(jié)果并不令人滿意。

2.3 經(jīng)典層次聚類算法

上一節(jié)中提到的3種方法在處理網(wǎng)絡(luò)分割時(shí)的思想各不相同，本小節(jié)將詳細(xì)描述本文實(shí)驗(yàn)將要用到的階層式聚類算法，并且為了方便區(qū)分試驗(yàn)組與對照組，后文將稱其為經(jīng)典階層式聚類算法。

這種方法的首要目標(biāo)是度量在給定的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)內(nèi)，任意有連接的節(jié)點(diǎn)（i，j）的相似性Xij，也就是人為的計(jì)算網(wǎng)絡(luò)中所有連接的強(qiáng)弱程度。度量的方法之一是應(yīng)用在各個(gè)圖論領(lǐng)域的歐幾里德距離：

其他的度量方法包括曼哈頓距離、最大傳輸距離和余弦相似度。本文中，我們將選取與余弦相似性類似的Jaccard相似系數(shù)來評價(jià)2個(gè)節(jié)點(diǎn)連接的緊密程度。在取得了兩點(diǎn)的相似性之后，經(jīng)典聚類方法指出根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的不同特點(diǎn)，我們可以用最短距離法或其他方法分離出各集群。在一般情況下，聚合式聚類算法的復(fù)雜度是O（n3）。

在本文中，我們將修改層次聚類方法，以降低其算法的復(fù)雜度，并使其適用于密集矩陣。在分割重復(fù)區(qū)域的節(jié)點(diǎn)時(shí)，我們將使用2.4節(jié)中介紹的功能函數(shù)作為分割算法的結(jié)束條件，而不是用經(jīng)典分層聚類算法中提出的兩集群的平均距離。并且為了與對照組比較，我們將分割過節(jié)點(diǎn)的數(shù)據(jù)與未處理的數(shù)據(jù)通過相同的程序處理，再利用功能函數(shù)評價(jià)網(wǎng)絡(luò)劃分的結(jié)果。

2.4 對分裂結(jié)果的評估

上一節(jié)提到的功能函數(shù)是數(shù)據(jù)挖掘領(lǐng)域中普遍承認(rèn)的一種對網(wǎng)絡(luò)劃分的結(jié)果進(jìn)行評價(jià)的方法：

式中：m為網(wǎng)絡(luò)中原有的連接數(shù)；k為整個(gè)網(wǎng)絡(luò)劃分的集群的個(gè)數(shù)；li為第i個(gè)集群中的連接數(shù)，要求與該連接有關(guān)的2個(gè)節(jié)點(diǎn)都在第i個(gè)集群中；di為第i個(gè)集群中的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

功能函數(shù)衡量了分割得到的子社區(qū)與相對應(yīng)的隨機(jī)社區(qū)在連接程度上的差異。隨機(jī)社區(qū)在這里定義為與得到的第i個(gè)子社區(qū)有相同的節(jié)點(diǎn)數(shù)，但是節(jié)點(diǎn)之間有隨機(jī)鏈接。對于分割完成的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的Q值，如果大于0，這意味著分割的子社區(qū)有著比其隨機(jī)社區(qū)節(jié)點(diǎn)之間更緊密的聯(lián)系。反之，如果Q小于0，這意味著社區(qū)節(jié)點(diǎn)之間的連接比較松散，分割的結(jié)果并不理想。

雖然重疊的社區(qū)抽象模型是不同于一般的圖結(jié)構(gòu)，但我們將節(jié)點(diǎn)如圖2（b）那樣分割成互相獨(dú)立的節(jié)點(diǎn)。因此，該函數(shù)仍可直接用于對本文算法的評估。

基于上述對功能函數(shù)的分析，我們可以定性地討論有重疊的社區(qū)研究的優(yōu)勢。對比節(jié)點(diǎn)只能屬于一個(gè)集群和節(jié)點(diǎn)可以出現(xiàn)在多個(gè)集群的數(shù)學(xué)模型，以下2種情況最有可能發(fā)生。其中一種是2個(gè)或2個(gè)以上的團(tuán)體由于中間節(jié)點(diǎn)的連接而不能在社區(qū)劃分的過程中被分離開。另一種是這個(gè)節(jié)點(diǎn)不會(huì)出現(xiàn)在所有與它有關(guān)的群體中。在這2種情況下，非重疊社會(huì)模型的功能函數(shù)中的di都將比又重疊的高，進(jìn)而使得功能函數(shù)的結(jié)果降低。當(dāng)然，第1種情況的發(fā)生對功能函數(shù)的結(jié)果影響更大一些。即使是在分裂節(jié)點(diǎn)后會(huì)使節(jié)點(diǎn)的數(shù)量增加，其影響力相比上文中的變化仍是微不足道的。4.3節(jié)2組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果對比將證明上述分析。

3 實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備及數(shù)據(jù)獲得

本節(jié)將介紹實(shí)驗(yàn)的技術(shù)平臺(tái)及數(shù)據(jù)特點(diǎn)，并將簡單介紹數(shù)據(jù)預(yù)處理的方法及其必要性。

3.1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

本文主系統(tǒng)，包括網(wǎng)絡(luò)機(jī)器人、節(jié)點(diǎn)相似度計(jì)算、節(jié)點(diǎn)分割與結(jié)果評估等，均由Java程序開發(fā)。主要是因?yàn)镴ava有豐富的處理網(wǎng)頁內(nèi)容和連接數(shù)據(jù)庫庫函數(shù)，并且非常適合于編寫嵌套次數(shù)較多的循環(huán)函數(shù)。對于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，已有的一些社會(huì)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，如美國橄欖球俱樂部成員關(guān)系網(wǎng)絡(luò)，和網(wǎng)絡(luò)上的虛擬社會(huì)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，如“臉書”上的好友關(guān)系，都是可用的。在本文的實(shí)驗(yàn)中，我們利用Http Client和HTMLParser從互聯(lián)網(wǎng)上獲得實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。另一個(gè)非常有用的工具是ODBC，是用于訪問數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)（DBMS）的標(biāo)準(zhǔn)軟件接口。

3.2 所選社會(huì)網(wǎng)絡(luò)的特性

我們選擇www.renren.com進(jìn)行我們的研究主要是基于以下3個(gè)原因。1）它是一個(gè)實(shí)名的大學(xué)生交友網(wǎng)站，因此，我們不僅可以通過函數(shù)評估實(shí)驗(yàn)結(jié)果，也可以通過對現(xiàn)實(shí)中的成員關(guān)系的調(diào)研來評估。2）renren.com用戶的連接圖是一個(gè)典型的稠密矩陣。我們有2 095個(gè)成員節(jié)點(diǎn)和63 819個(gè)好友關(guān)系，雖然成員的ID僅有8～9位數(shù)字，但是數(shù)據(jù)占用75.3Mb的存儲(chǔ)空間。在我們所研究的部分虛擬網(wǎng)絡(luò)中，一個(gè)成員的好友數(shù)超過23人，就意味著其關(guān)系矩陣將是一個(gè)相對密集的大型矩陣。稀疏矩陣的特點(diǎn)是邊數(shù)E≈節(jié)點(diǎn)數(shù)，N≈2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最短路徑長度L。與稀疏矩陣相比，該矩陣具有邊數(shù)E?節(jié)點(diǎn)數(shù)N，以及2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最短路徑長度L?邊數(shù)E的特點(diǎn)。因此，我們在下文中會(huì)重點(diǎn)討論算法復(fù)雜度的問題。最后因?yàn)樵摼W(wǎng)絡(luò)中2個(gè)成員的好友關(guān)系是對等的，并沒有指向性，所以該社會(huì)網(wǎng)絡(luò)抽象模型是一個(gè)無向圖，并且其關(guān)系矩陣是對稱矩陣。這將大大簡化實(shí)驗(yàn)需要考慮的問題，但是本文所提出的分割節(jié)點(diǎn)法同時(shí)適用于有向網(wǎng)絡(luò)的分析。

定義4：實(shí)驗(yàn)中，數(shù)據(jù)準(zhǔn)備的過程中獲取過其所有好友關(guān)系的節(jié)點(diǎn)被稱為準(zhǔn)備好節(jié)點(diǎn)。若某節(jié)點(diǎn)的所有鄰接點(diǎn)都是準(zhǔn)備好節(jié)點(diǎn)，則這個(gè)節(jié)點(diǎn)稱為一級節(jié)點(diǎn)。除一級節(jié)點(diǎn)之外的準(zhǔn)備好節(jié)點(diǎn)稱為二級節(jié)點(diǎn)。

在本次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)中，我們選擇10個(gè)一級節(jié)點(diǎn)，他們將是第4節(jié)實(shí)驗(yàn)過程中的論述重點(diǎn)。

4 實(shí)驗(yàn)過程

本節(jié)將給出實(shí)驗(yàn)過程及實(shí)現(xiàn)算法中的具體細(xì)節(jié)，并將重點(diǎn)分析節(jié)點(diǎn)相似度的計(jì)算方法、節(jié)點(diǎn)分裂數(shù)目、循環(huán)算法的邊界條件等。

4.1 實(shí)驗(yàn)步驟

圖3中，實(shí)線所標(biāo)示的是分裂節(jié)點(diǎn)算法的實(shí)驗(yàn)流程，虛線是經(jīng)典階層式聚類算法實(shí)驗(yàn)步驟。經(jīng)典階層式聚類算法采用傳統(tǒng)的無重疊的社會(huì)網(wǎng)絡(luò)模型進(jìn)行分析，并將作為本次實(shí)驗(yàn)的對照實(shí)驗(yàn)，以輔助對分裂算法的評估。評估將根據(jù)上文中提到的，以功能函數(shù)和基于事實(shí)的兩種方法進(jìn)行。

圖3 實(shí)驗(yàn)流程圖

4.2 根據(jù)相似度分裂一級節(jié)點(diǎn)

在本次實(shí)驗(yàn)中，將采用最常用的相似度算法之一，Jaccard相似度度量2個(gè)節(jié)點(diǎn)的緊密程度：

上述相似度計(jì)算公式最大的優(yōu)勢是相對較低的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度。對于單一節(jié)點(diǎn)算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度分別是O（n）和O（1），對于整個(gè)網(wǎng)絡(luò)是O（n2）和O（n）。

除了采用較簡單的相似度計(jì)算方法，將數(shù)據(jù)放在內(nèi)存中，也可以在很大程度上提高計(jì)算速度。根據(jù)上述計(jì)算結(jié)果，我們刪除圖中最小相似度值的2個(gè)節(jié)點(diǎn)的連接，也就是刪除虛擬社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中關(guān)系最不緊密的好友關(guān)系。

圖4顯示刪除某一個(gè)一級節(jié)點(diǎn)的子社區(qū)中最低相似度的邊，并將這個(gè)子社區(qū)分割為分立社區(qū)時(shí)，作用在其子社區(qū)上的功能函數(shù)的趨勢圖。

定義5：我們定義圖4顯示刪除一級節(jié)點(diǎn)A的子社區(qū)中最低相似度的邊并將這個(gè)子社區(qū)分割為分立社區(qū)時(shí)，作用在其子社區(qū)上的功能函數(shù)的曲線為A的Q曲線。

圖4 1號節(jié)點(diǎn)的Q曲線

在大多數(shù)的一級節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)的Q曲線上與圖4類似。整體來看該曲線像二次曲線那樣上升和下降的過程，并有峰值。但與二次曲線不同的是，Q曲線并不是單調(diào)上升或下降的。在其上升或下降的過程中，也會(huì)出現(xiàn)很多小峰尖，一般出現(xiàn)在新的分立社區(qū)性成的時(shí)候。在這個(gè)實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)Q曲線達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)我們停止刪除邊的循環(huán)算法，如圖2所示。由于Q曲線并不是單調(diào)上升或下降的，故在循環(huán)程序運(yùn)行到圖中所示的功能函數(shù)最大值的時(shí)候，并不能直接判斷是否已經(jīng)到達(dá)最大值，我們需要繼續(xù)運(yùn)行程序，直到Q曲線衰減到一定程度時(shí)，本實(shí)驗(yàn)選取Q曲線已出現(xiàn)的最大值的0.8倍作為刪除連接函數(shù)的截止條件。在圖4中虛線所標(biāo)記的Q曲線最大值處，該子圖中的任意2個(gè)1號的鄰接點(diǎn)的相似度最小值是0.091 65，最終1號節(jié)點(diǎn)的子社區(qū)分隔成3個(gè)分離社區(qū)，進(jìn)而1號節(jié)點(diǎn)被分割為3個(gè)不同標(biāo)記的節(jié)點(diǎn)。

4.3 2組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果對比

圖5中1線是所有一級節(jié)點(diǎn)經(jīng)過分割處理后應(yīng)用經(jīng)典聚類方法對整個(gè)虛擬社會(huì)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行處理時(shí)功能函數(shù)的變化曲線，2線是一般的階層式聚類算法對網(wǎng)絡(luò)處理時(shí)函數(shù)的變化曲線。根據(jù)該圖，我們可以看出應(yīng)用分割節(jié)點(diǎn)法時(shí)的功能函數(shù)值大于經(jīng)典聚類方法的功能函數(shù)值，在統(tǒng)計(jì)分析的意義上，分割的節(jié)點(diǎn)法得到比經(jīng)典聚類方法更理想的結(jié)果。但由于在上圖中2曲線有大致相同的變化速率，所以分裂節(jié)點(diǎn)的方法并不能加快處理的速度，也就是說，分裂節(jié)點(diǎn)法并不能提高得到最佳社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分割的算法效率，它只是優(yōu)化了算法結(jié)果。

當(dāng)我們應(yīng)用分裂節(jié)點(diǎn)所得的結(jié)果進(jìn)行實(shí)際情況抽樣調(diào)查時(shí)，分割方法在分割節(jié)點(diǎn)時(shí)所得到的子社區(qū)分割結(jié)果也基本與事實(shí)相符。例如4.2節(jié)中提到的1號節(jié)點(diǎn)的子社區(qū)中，在這3個(gè)社區(qū)的成員大多分別是1號節(jié)點(diǎn)在小學(xué)、高中和大學(xué)的同學(xué)。

圖5 應(yīng)用分裂節(jié)點(diǎn)法（▲）與經(jīng)典階層式聚類算法（■）的功能函數(shù)變化曲線

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