兩個(gè)自由度Duffing系統(tǒng)的分岔及混沌分析

曹振邦，樂 源

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，成都 610031)

近年來耦合非線性系統(tǒng)在物理、化學(xué)、生物、機(jī)電設(shè)備系統(tǒng)等許多科學(xué)領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用，引起了眾多研究者的關(guān)注。在這些系統(tǒng)中最具有代表性的，也是研究最深入的要數(shù)Duffing振蕩器系統(tǒng)［1－4］，而具有耦合項(xiàng)是這類系統(tǒng)區(qū)別于其他系統(tǒng)的本質(zhì)特征，因而眾多的國內(nèi)外學(xué)者也對(duì)其理論推導(dǎo)、數(shù)值模擬等方面進(jìn)行了大量的研究。Pastor［5］研究了具有對(duì)稱耦合項(xiàng)的van der Pol系統(tǒng)，分析了不動(dòng)點(diǎn)的結(jié)構(gòu)及系統(tǒng)通向混沌的道路。Stagliano［6］研究了一個(gè)具有不可約頻率的加性耦合項(xiàng)的兩自由度Duffing系統(tǒng)，觀察到在一定的參數(shù)條件下系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)倍周期分岔。進(jìn)而，Koziowski［7］分析了這類系統(tǒng)的全局分岔現(xiàn)象。目前關(guān)于耦合項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)及混沌運(yùn)動(dòng)的研究還不夠充分，因此有必要對(duì)其做進(jìn)一步研究。

1 系統(tǒng)模型描述

船舶在海洋中的航行HE航空航天設(shè)備的運(yùn)行［8］可用如下數(shù)學(xué)模型來描述:

式中:圓點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù);μ1和μ2為阻尼系數(shù);ω1和ω2為線性固有頻率;k1和k2為非線性剛度系數(shù);α1，α2，β1和 β2表征了兩個(gè)單自由度系統(tǒng)的耦合程度;Fcosωt為系統(tǒng)所受的周期性外力。

2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

無論是對(duì)穩(wěn)定性分析或?qū)?shù)值模擬分析來說，把二階微分方程(1)化成一個(gè)自治一階微分方程(2)會(huì)更方便一些:

由于穩(wěn)定性分析比較簡單，這部分的分析在本文下一節(jié)一并給出結(jié)論。

3 系統(tǒng)的分岔及混沌分析

非線性耦合系統(tǒng)的分岔研究對(duì)于考察系統(tǒng)與混沌運(yùn)動(dòng)的關(guān)系具有重要的意義，而分岔圖是研究系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)隨參數(shù)變化的良好工具。因此，本文利用系統(tǒng)中較易調(diào)整的參數(shù)，即外加周期力的強(qiáng)度F和外加周期力的頻率ω作為控制參數(shù)研究耦合系統(tǒng)的分岔過程，從而分析其通向混沌的道路。參數(shù)取值為:μ1=0.2;μ2=0.2;ω1=0.2;ω2=0.4;k1=0.3;k2=0.5;α1=0.4;α2=0.2;β1=0.12;β2=0.08;ω =1.0。迭代初值取(－0.3，0.5，0.6，－0.8，0)，控制參數(shù) F取值范圍F∈(0，1.3)，采用四節(jié)龍格庫塔方法進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果見圖1～8。

圖1 F變化過程中x的分岔圖

圖2 F變化過程中y的分岔圖

圖3 F變化過程中的最大Lyapunov指數(shù)圖

圖4 F=0.1時(shí)的Poincaré映射圖

圖5 F=0.1時(shí)的相圖

圖6 F=0.3時(shí)的Poincare映射圖

圖7 F=0.3時(shí)的相圖

圖8 F=0.85時(shí)的Poincaré映射圖

通過比較圖1和圖2可知:在F變化過程中x的分岔圖和y的分岔圖在結(jié)構(gòu)上是相似的，這在定性分析上是必然的。由于最大Lyapunov指數(shù)中μ大于0說明系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，小于0處于非混沌狀態(tài)，故結(jié)合圖3的最大Lyapunov指數(shù)圖就可以看出分岔圖是完全正確的。由圖4和圖5可以看出:在很小時(shí)(本文選的點(diǎn)F為0.1)系統(tǒng)做的是周期1運(yùn)動(dòng)，當(dāng)F達(dá)到0.21時(shí)系統(tǒng)突然達(dá)到混沌狀態(tài)，而這種混沌狀態(tài)并不能說是由周期1引發(fā)的，只能說在F=0.21點(diǎn)處時(shí)周期1運(yùn)動(dòng)和混沌是共存的，故該點(diǎn)處的系統(tǒng)的行為是比較復(fù)雜的。而在這里通過圖6和圖7可以簡單說明混沌是一種很復(fù)雜的混亂狀態(tài)。當(dāng)達(dá)到0.43時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)倒分岔現(xiàn)象，又進(jìn)入到周期1運(yùn)動(dòng)繼而進(jìn)入混沌狀態(tài)，然后系統(tǒng)由周期6通過周期倍化分岔變?yōu)橹芷?2運(yùn)動(dòng)(見圖1和圖8)，然后進(jìn)入混沌區(qū)，最后回歸周期1運(yùn)動(dòng)。

4 結(jié)束語

通過對(duì)周期性驅(qū)動(dòng)力作用下兩個(gè)自由度的Duffing系統(tǒng)分岔及混沌分析可以發(fā)現(xiàn)，由于耦合項(xiàng)的存在使得系統(tǒng)在隨控制參數(shù)變化的過程中其運(yùn)動(dòng)形態(tài)非常復(fù)雜，可以看出系統(tǒng)經(jīng)由周期倍化分岔可以進(jìn)入混沌狀態(tài)，而系統(tǒng)由周期1直接突發(fā)進(jìn)入混沌狀態(tài)這更體現(xiàn)出其復(fù)雜性。

［1］冷永剛，賴志慧，范勝波，等.二維Duffing振子的大參數(shù)隨機(jī)共振及微弱信號(hào)檢測(cè)研究［J］.物理學(xué)報(bào)，2012(23):71－80.

［2］劉海波，吳德偉，金偉，等.Duffing振子微弱信號(hào)檢測(cè)方法研究［J］.物理學(xué)報(bào)，2013(5):42－47.

［3］劉海波，吳德偉，戴傳金，等.基于Duffing振子的弱正弦信號(hào)檢測(cè)方法研究［J］.電子學(xué)報(bào)，2013(1):8－12.

［4］楊紅英，葉昊，王桂增，等.Duffing振子的Lyapunov指數(shù)與Floquet指數(shù)研究［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2008(5):927－932.

［5］Pastor L，Perez-Garcia V M，Encinas-Sanz F，et al.Orderd and chaotic behavior of two coupled Vander Por Oscillators［J］.phys Rev E，1933，48(1):171－182.

［6］Stagliano J J，Wersinger J M，Slamminka E E.Doubling bifurcation of destroyed tori［J］.Physica D，1996，92(3):164－177.

［7］Koziowski J，Pralitz U，Lauterborn W.Bifurcation analysis of two couple periodically driven Duffing oscillator［J］.Phys Rev E，1995，51(3):1861－1867.

［8］陳予恕.非線性振動(dòng)系統(tǒng)的分岔理論和混沌理論［M］.北京:高等教育出版社，1993:180－198.