二維數(shù)字匹配濾波的信噪比分析

龍 杰 李聰欣 蔣 超 趙 君

1.信息系統(tǒng)工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100038

2.北京理工大學(xué)，北京100081

合成孔徑雷達(dá)(Synthetic Aperture Radar，SAR)是一種同時(shí)使用脈沖壓縮和合成孔徑技術(shù)的雷達(dá)［1－2］，它在距離向脈沖壓縮處理的信噪比增益為時(shí)寬帶寬積，在方位向的處理增益為合成孔徑處理增益，SAR 合成孔徑時(shí)間Ta內(nèi)相干積累了n個(gè)回波信號(hào)，從相參積累的角度看，方位向處理的信噪比增益為脈沖重復(fù)頻率和形成合成孔徑所需時(shí)間的乘積［3－4］;但是，從匹配濾波的角度看，SAR 方位向處理也等價(jià)于匹配濾波的過程，那么信噪比增益為方位向信號(hào)的多普勒帶寬與積累時(shí)間的乘積［5］。從這一點(diǎn)看，目前存在2 種關(guān)于SAR 信噪比增益的計(jì)算方法［6－8］，但會(huì)產(chǎn)生不同的計(jì)算結(jié)果。因此，需要對(duì)SAR 兩維信號(hào)處理的信噪比增益進(jìn)行分析。

另外，當(dāng)雷達(dá)系統(tǒng)需要接收多種不同帶寬信號(hào)時(shí)，若信號(hào)帶寬的覆蓋范圍很大，為減少硬件資源和降低系統(tǒng)復(fù)雜度，接收機(jī)設(shè)計(jì)的濾波器往往需要按照接收信號(hào)的最大帶寬選擇。當(dāng)接收小帶寬信號(hào)時(shí)，噪聲帶寬往往會(huì)大于信號(hào)帶寬，在這種條件下，需要對(duì)信號(hào)處理后的信噪比增益進(jìn)行分析，因此需要分析不同噪聲帶寬下的SAR 信噪比增益，對(duì)采樣率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

本文主要針對(duì)SAR 信號(hào)處理的特點(diǎn)，首先從連續(xù)信號(hào)匹配濾波的過程出發(fā)，推導(dǎo)了數(shù)字匹配濾波的信噪比增益;其次對(duì)SAR 二維匹配濾波處理的信噪比增益展開數(shù)學(xué)分析;最后通過仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了本文理論分析的正確性，解決了SAR 信噪比增益的爭(zhēng)議問題。

1 數(shù)字匹配濾波的信噪比增益

設(shè)匹配濾波器的輸入信號(hào)為s(t)，其對(duì)應(yīng)的頻譜S(f)可以表示為:

式中，E0為信號(hào)頻譜的幅度;Bs為信號(hào)帶寬;fc為中心頻率。

設(shè)輸入的隨機(jī)噪聲為平穩(wěn)的帶限白噪聲，其功率譜可以表示為:

式中，N0為功率譜密度;Bn為噪聲帶寬。則輸入的噪聲功率為:

那么經(jīng)過匹配濾波器H(ω)= S*(ω)后，匹配濾波的信噪比增益可表示為:

式中，SNRo為輸出信噪比;SNRi為輸入信噪比。信號(hào)的能量Ep可以表示為:

在連續(xù)時(shí)間信號(hào)條件下，式中的信噪比增益可以表示為:

當(dāng)輸入的連續(xù)隨機(jī)噪聲經(jīng)過數(shù)字采樣后，白噪聲會(huì)變?yōu)樯肼暎肼暤墓β首V會(huì)隨采樣率的變化而變化。下面討論采樣率對(duì)功率譜的影響，根據(jù)隨機(jī)過程的采樣定理［9］，得到離散后的信噪比增益為:

式中，fs為信號(hào)的采樣率。式中的分子求和項(xiàng)表示采樣后的輸入噪聲功率，分母求和項(xiàng)表示匹配濾波后的輸出噪聲功率，令

令x = (f － nfs)/fs，則輸入噪聲功率為:

式中，

同理，可得輸出噪聲功率為:

下面主要針對(duì)不同的噪聲帶寬Bn、采樣率fs和信號(hào)帶寬Bs，對(duì)信噪比增益展開分析:

(1)若Bn/2fs≤1/2 ，即fs≥Bn≥Bs

從而可以得到信噪比增益為:

從上式可以看出，當(dāng)滿足條件(1)的關(guān)系式時(shí)，匹配濾波的信噪比增益為噪聲帶寬與信號(hào)時(shí)寬的乘積，只不過通常在雷達(dá)接收端的濾波器帶寬與信號(hào)帶寬近似相等［10］，可以認(rèn)為信噪比增益為信號(hào)的時(shí)寬帶寬積。

然而，當(dāng)雷達(dá)系統(tǒng)需要接收多種不同帶寬的信號(hào)時(shí)，若信號(hào)帶寬的覆蓋范圍很大，為了減少硬件資源和降低系統(tǒng)復(fù)雜度，接收機(jī)的濾波器往往需要按照信號(hào)的最大帶寬選擇。當(dāng)接收小帶寬信號(hào)時(shí)，噪聲帶寬會(huì)大于信號(hào)帶寬，因此需要分析不同條件下的信噪比增益。

(2)若Bn/2fs＞1/2 ，即Bn≥fs≥Bs

設(shè)p = [Bn/2fs+1/2 ]，其中，［·］表示取整數(shù)部分，q = Bn/2fs+1/2 －p，則式(15)中的分母求和項(xiàng)中共含有2p +1個(gè)積分區(qū)間，其中包括2p － 1個(gè)完整積分區(qū)間和2個(gè)非完整積分區(qū)間。

其中，對(duì)式(17)中的輸出噪聲功率需要根據(jù)噪聲帶寬、信號(hào)帶寬和采樣率三者之間的關(guān)系，分下面3 種情況進(jìn)行討論:

從而可以得到離散采樣后匹配濾波的信噪比增益為:

從上面分析可以看出，數(shù)字匹配濾波的信噪比增益由噪聲帶寬Bn、采樣率fs和信號(hào)帶寬Bs的相對(duì)關(guān)系共同決定。傳統(tǒng)的計(jì)算SAR 距離向處理信噪比增益是在fs≥Bn≥Bs條件下得到的［11］，它只與時(shí)寬帶寬積有關(guān)，而在Bn≥fs≥Bs的多種信號(hào)帶寬條件下不再適用，本文給出了該條件下的解析表達(dá)式，能夠計(jì)算不同噪聲帶寬條件下的信噪比增益。從式(21)可以看出，當(dāng)時(shí)，Gm= fsTp，即當(dāng)采用低采樣率對(duì)噪聲進(jìn)行采樣時(shí)，信噪比增益會(huì)相應(yīng)減小;當(dāng)1，2，…時(shí)，信噪比增益可以取得周期性極大值，此時(shí)如當(dāng)n = 0 時(shí)，即滿足關(guān)系時(shí)，信噪比增益可以達(dá)到最大值。

2 二維匹配濾波的信噪比增益

SAR 成像過程實(shí)質(zhì)上是一個(gè)二維匹配濾波過程，為了處理和實(shí)現(xiàn)方便，一般都是通過數(shù)據(jù)采集，在數(shù)字域?qū)崿F(xiàn)二維匹配濾波。根據(jù)前面分析的結(jié)論，距離向匹配濾波的信噪比增益為:

同理，方位向匹配濾波的信噪比增益為:

式中，F(xiàn)r為脈沖重復(fù)頻率，即方位向采樣率;Bd為方位向多普勒帶寬，Ts為方位向積累時(shí)間。則二維匹配濾波的信噪比增益可以表示為:

由于方位向匹配濾波處理前，輸入的噪聲功率為距離向處理后的輸出噪聲功率，根據(jù)前面的推導(dǎo)可知，采樣后噪聲功率保持不變，則有:

因此可以得到:

即:

當(dāng)進(jìn)行方位向匹配濾波時(shí)，與距離向匹配濾波進(jìn)行類比，可以認(rèn)為輸入的噪聲帶寬為Bs，采樣率為Fr，方位向信號(hào)帶寬為Bd。同理可設(shè)k = [Bs/2Fr+1/2 ]，l = Bs/2Fr+1/2 － k。由前面數(shù)字匹配濾波推導(dǎo)的結(jié)論可知，式(27)中的分母可以表示為:

其中，N0'為方位向處理前的等效噪聲功率譜。由于距離向處理完成后，噪聲帶寬被限制在信號(hào)帶寬Bs內(nèi)，則等效噪聲功率譜為:

聯(lián)合式(27)、(28)和(29)可以得到二維匹配濾波的信噪比增益為如下3 種情況:

當(dāng)Bs＞＞Fr≥Bd時(shí)，信噪比增益可以近似為:

從式(33)可以看出，傳統(tǒng)計(jì)算SAR 的二維處理增益只是在該條件下的一種近似，它與多普勒帶寬無關(guān)，但從匹配濾波的角度看，卻與多普勒帶寬有關(guān)。針對(duì)該計(jì)算結(jié)果，本文給出的SAR 二維信噪比處理增益的表達(dá)式可以計(jì)算任意參數(shù)配置條件下的處理增益，從式(30)～(32)可以看出，二維匹配濾波的信噪比增益與信號(hào)帶寬、信號(hào)時(shí)寬，多普勒帶寬、積累時(shí)間、噪聲帶寬、采樣率及Fr都有關(guān)，需要根據(jù)具體參數(shù)精確計(jì)算SAR 信噪比增益。

3 仿真分析

在表1 所示的系統(tǒng)參數(shù)條件下，對(duì)數(shù)字匹配濾波處理的信噪比增益進(jìn)行仿真。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

采用理論計(jì)算的方法，可以得到匹配濾波的信噪比增益與噪聲帶寬的關(guān)系如圖1 所示，從中可以看出，當(dāng)噪聲帶寬滿足2nfs+Bs≤Bn≤2(n +1)fs－ Bs時(shí)，信噪比增益隨噪聲帶寬單調(diào)遞增;當(dāng)2(n +1)fs－ Bs≤Bn≤2(n +1)fs+ Bs時(shí)，信噪比增益隨噪聲帶寬單調(diào)遞減，而傳統(tǒng)計(jì)算方法與噪聲帶寬只呈單調(diào)的線性關(guān)系。本文在離散的帶限白噪聲條件下，匹配濾波的信噪比增益隨噪聲帶寬呈現(xiàn)出周期性變化，并且可以取得周期性極大值。

圖1 一維匹配濾波信噪比增益與噪聲帶寬的關(guān)系

采用蒙特卡洛仿真的方法驗(yàn)證理論推導(dǎo)結(jié)果，在試驗(yàn)次數(shù)為5000 次的條件下，匹配濾波的信噪比增益的仿真結(jié)果如圖2 所示，信噪比增益取多次試驗(yàn)結(jié)果的平均值，表2 給出了在不同噪聲帶寬條件下，匹配濾波信噪比增益的仿真結(jié)果與理論計(jì)算值的對(duì)比。由于噪聲具有統(tǒng)計(jì)特性，理論值與仿真結(jié)果基本相吻合，從而驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性。其中，當(dāng)噪聲帶寬Bn=95MHz 時(shí)，信噪比增益達(dá)到最大，此時(shí)滿足Bn= 2fs－Bs的關(guān)系，這與式的理論計(jì)算結(jié)果一致。另外，當(dāng)系統(tǒng)噪聲帶寬和信號(hào)帶寬一定時(shí)，也可以通過合理地選擇采樣率使系統(tǒng)的輸出信噪比達(dá)到最優(yōu)，即最佳采樣率可以設(shè)計(jì)為f*s=

圖2 不同噪聲帶寬條件下的信噪比增益

表2 信噪比增益

下面對(duì)二維匹配濾波的信噪比增益進(jìn)行仿真，如圖3 所示，從中可以看出，二維匹配濾波的信噪比增益隨噪聲帶寬也呈周期性變化，表3 給出了在不同噪聲帶寬條件下二維匹配濾波信噪比增益的仿真結(jié)果與理論計(jì)算值的對(duì)比。從表3 可以看出，當(dāng)噪聲帶寬Bn= 2fs－ Bs=95MHz 時(shí)，二維匹配濾波的信噪比增益達(dá)到最大值。傳統(tǒng)計(jì)算方法只與信號(hào)時(shí)寬、噪聲帶寬、脈沖重復(fù)頻率和積累時(shí)間有關(guān)，而本文方法還與采樣率、多普勒帶寬等參數(shù)相關(guān)，驗(yàn)證了在不同噪聲帶寬和多普勒帶寬條件下的信噪比增益，并為SAR 采樣率優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了準(zhǔn)則。

圖3 二維匹配濾波信噪比增益與噪聲帶寬的關(guān)系

表3 二維匹配濾波信噪比增益

從圖4(a)可以看出，在不同的多普勒帶寬條件下，信噪比增益隨PRF 的增加而逐漸增大，相對(duì)傳統(tǒng)計(jì)算方法與多普勒帶寬無關(guān)而言，從圖4(b)的局部放大圖中可以看出，信噪比增益與PRF 成正相關(guān)，并在大多普勒帶寬條件下這種影響尤為明顯。

圖4 二維匹配濾波的信噪比增益與PRF 的關(guān)系

4 結(jié)論

根據(jù)理論分析和仿真結(jié)果可知，離散采樣會(huì)導(dǎo)致白噪聲變?yōu)樯肼?，在色噪聲條件下，二維匹配濾波器的信噪比增益與噪聲帶寬、脈沖重復(fù)頻率、信號(hào)帶寬和采樣率的相對(duì)關(guān)系有關(guān)，當(dāng)滿足一定條件時(shí)，它與傳統(tǒng)匹配濾波的信噪比增益等價(jià)。其次，在離散帶限白噪聲條件下，通過分析噪聲帶寬對(duì)信噪比的影響，信噪比增益會(huì)出現(xiàn)周期性極大值，當(dāng)采樣率、噪聲帶寬和信號(hào)帶寬滿足條件時(shí)，匹配濾波的信噪比增益達(dá)到最大，可以基于信噪比最大準(zhǔn)則對(duì)SAR 采樣率進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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