Nekrasov矩陣行列式界的估計(jì)

郭愛麗，聶祥榮，武玲玲

（1.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 理學(xué)院，貴州 畢節(jié)551700；2.貴州工程應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，貴州 畢節(jié)551700）

Nekrasov矩陣是一類特殊的矩陣類，因其在計(jì)算數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理及控制論中的廣泛應(yīng)用引起人們極大的研究興趣，并給出一系列Nekrasov矩陣及廣義Nekrasov矩陣的性質(zhì)、判定及其應(yīng)用［1－12］.用數(shù)學(xué)歸納法得出Nekrasov矩陣順序主子陣的Schur補(bǔ)仍為Nerasov矩陣［1］、用數(shù)值實(shí)例說明由Bailey和Crabtree［13］給出的關(guān)于Nekrasov矩陣的行列式界的結(jié)果是錯(cuò)誤的［8］，但卻沒有給出正確的Nekrasov矩陣行列式的界.作者在文［1］的基礎(chǔ)上，利用矩陣Schur補(bǔ)的定義，結(jié)合不等式的放縮技巧和數(shù)學(xué)歸納法給出Nekrasov矩陣行列式界的估計(jì)，并用相應(yīng)的數(shù)值實(shí)例說明了所得結(jié)果的有效性.

1 符號(hào)、定義及引理

用Cn×n表示n階復(fù)方陣集合，〈n〉＝｛1，2，…，n｝.設(shè)A＝（aij）∈Cn×n.記

定義1 若?i∈〈n〉，都有｜aii｜≥Ri（A），則稱A為弱Nekrasov矩陣，記作A∈N0；若不等式嚴(yán)格成立，則稱A為Nekrasov矩陣，記作A∈N.

定義2 設(shè)

其中：A（α）為A的對(duì)應(yīng)于α的非奇異主子矩陣，α為集合〈n〉的真子集，α′為α在集合〈n〉下的余集.

定義A（α）在A中的Schur補(bǔ)為

用A／A（α）表示，簡(jiǎn)記為A／α.

引理1［13］Nekrasov矩陣是非奇異矩陣.

引理2［14］設(shè)M、A、A11是非奇異方陣，且

則A／A11是M／A11的非奇異主子矩陣，且

引理3［14］設(shè)矩陣其中A是m階非奇異矩陣，則

2 Nekrasov矩陣行列式的界

根據(jù)矩陣Schur補(bǔ)的定義，結(jié)合不等式的放縮技巧和數(shù)學(xué)歸納法，給出若干不等式及Nekrasov矩陣行列式界的估計(jì).

定理1 設(shè)A是Nekrasov矩陣，對(duì)任意的k∈〈n〉，1≤k＜n，記A／〈k〉＝（a（k）ij），則

證明 不等式（1）在文［1］中已證明，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（2）.

記A／〈1〉＝（a（1）ij），則

假設(shè)1≤i＜u時(shí)，有

從而，當(dāng)i＝u時(shí)，有

由引理1、2知

假設(shè)

則有

綜上所述得證，對(duì)任意的k∈〈n〉，1≤k＜n，都有

推論1 設(shè)A是Nekrasov矩陣，則

從而

引理4 設(shè)A是Nekrasov矩陣，對(duì)任意的k∈〈n〉，都有

證明 由矩陣Schur補(bǔ)的定義知

由矩陣的代數(shù)運(yùn)算、乘法運(yùn)算及矩陣的相等，易知?k∈〈n〉，都有

注：由引理4易知

定理2 設(shè)A是Nekrasov矩陣，則

證明 對(duì)?k∈〈n〉，由于〈k－1〉?〈k〉，且〈k〉－〈k－1〉＝｛k｝，由引理4及（3）式得，對(duì)?k∈〈n〉，有

所以，由引理3［14］知

3 數(shù)值實(shí)例

用數(shù)值實(shí)例說明由Bailey和Crabtree［13］給出的關(guān)于Nekrasov矩陣的行列式界的結(jié)果是錯(cuò)誤的，而由論文定理2可得出Nekrasov矩陣行列式界的正確估計(jì).

例 設(shè)矩陣

易知A為Nekrasov矩陣，且detA＝－120，由文［8］知由Bailey和Crabtree給出的估計(jì)是不對(duì)的，但由于所以，由定理2可得

［1］郭愛麗.Nekrasov矩陣的Schur補(bǔ)［J］.畢節(jié)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2013，31（8）：41－43.

［2］郭愛麗，劉建州.廣義Nekrasov矩陣的充分條件［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43（3）：189－195.

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［5］郭愛麗.廣義 Nekrasov矩陣的迭代判別法［J］.畢節(jié)學(xué)院學(xué)報(bào)，2009，27（4）：66－69.

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