血吸蟲病在兩類易感群體中傳播的穩(wěn)定性分析

齊龍興，薛 夢(mèng)，甘莉娟，Sakhone Sysavathdy

（安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥230601）

血吸蟲病是一種人和動(dòng)物都能傳染的寄生蟲病，是國(guó)家乙類傳染病.不管是在我國(guó)還是在其他國(guó)家，血吸蟲病都嚴(yán)重危害著人類的健康.至2009年底，全國(guó)估計(jì)血吸蟲病人365 770例，新發(fā)生急性血吸蟲病77例，全年共救治晚期血吸蟲病人24 282例［1］，超過(guò)82%被感染的人生活在湖泊和沼澤地地區(qū)［2］.

隨著社會(huì)的發(fā)展，越來(lái)越多的農(nóng)村人口遷入城市，在2005年的全國(guó)人口普查抽樣調(diào)查中，61.3%的人口來(lái)自農(nóng)村，84.4%是從農(nóng)村遷入城市的.在遷移人群中，大約有3 000萬(wàn)人從血吸蟲病流行地區(qū)搬到城市，在遷移期間，可能攜帶的寄生蟲感染遷入人群或者當(dāng)?shù)厝巳海?］.針對(duì)血吸蟲病傳播的數(shù)學(xué)模型的研究工作已經(jīng)有很多［3－9］.雖然在文獻(xiàn)［4］中作者研究了移動(dòng)群體對(duì)血吸蟲病傳播的影響，但這些模型中都沒(méi)有將易感人群進(jìn)行分類.

論文針對(duì)這種情況，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型對(duì)血吸蟲病在遷入人群和當(dāng)?shù)厝巳褐械膫鞑ミM(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析.

1 模型的建立及穩(wěn)定性分析

根據(jù)血吸蟲病傳播的實(shí)際情況，將易感者劃分為移入者S1，當(dāng)?shù)鼐用馭2，患病者為I，總?cè)藬?shù)N＝S1＋S2＋I(xiàn).各易感群體有不同的輸入，寫成μS°i，i＝1，2；μ為自然死亡率；γ為病人的移出率系數(shù)；αi反映了群體Si中成員的易感程度.由于移入人群感染血吸蟲病的幾率更大一些［2］，所以，假設(shè)α1＞α2.一個(gè)患者對(duì)易感類Si的有效接觸率為αiβ，i＝1，2.基于文獻(xiàn)［10］中的數(shù)學(xué)模型，采用雙線性發(fā)生率，相應(yīng)的模型為

令

其中：αiβ表示一個(gè)患病者對(duì)易感類Si的有效接觸率；表示一個(gè)患病者接觸S1類易感者中的輸入者后所感染的人數(shù)表示一個(gè)患病者接觸S2類易感者中的輸入者后感染的人數(shù)是平均患病期.

1.1 地方病平衡點(diǎn)E＊ （，，I＊ ）的存在性

由

得

當(dāng)R?＞1時(shí)，c＞0.一元二次方程aI2＋bI＋c＝0的圖可能是圖1、2兩種情況.

由圖1、2知，無(wú)論方程aI2＋bI＋c＝0的對(duì)稱軸在I軸的左邊還是右邊，圖像與I軸的正半軸都有一個(gè)交點(diǎn)，也就是說(shuō)方程只有唯一的正根，記為I＊.

當(dāng)R?＜1時(shí)，有

令則

由圖3知方程無(wú)正根，也就是當(dāng)R?＜1時(shí)不存在地方病平衡點(diǎn).

1.2 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性

即方程的3個(gè)根分別為λ1＝－μ，λ2＝－μ，λ3＝

下面討論當(dāng)R?＞1時(shí)地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性.的特征方程為

即λ3＋a0λ2＋a1λ＋a2＝0，其中

下面利用兩種方法來(lái)討論方程λ3＋a0λ2＋a1λ＋a2＝0根的情況.

方法一 根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系，有

由（2）～（4）知，λ1，λ2，λ33個(gè)根中或者有1個(gè)小于零，或者3個(gè)都小于零.

若λ1，λ2，λ3都小于零，則地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定.

若λ1，λ2，λ3中只有1個(gè)小于零，不失一般性，假設(shè)λ1＜0，則由（2）知即－λ1＞，從而由此得這與λ1λ3＝a2＞0矛盾，所以，λ1，λ2，λ3都小于零.

方法二 顯然a0＞0，a1＞0，a2＞0，計(jì)算

由Hurwitz判別定理知，特征方程的根全都具有負(fù)實(shí)部，因此地方病平衡點(diǎn)E＊（S1＊，S2＊，I＊）局部漸近穩(wěn)定［12］.

2 數(shù)值模擬

3 結(jié)束語(yǔ)

論文考慮遷入人群和當(dāng)?shù)厝巳簩?duì)血吸蟲病傳播的不同影響，建立了采用雙線性發(fā)生率的數(shù)學(xué)模型，討論了血吸蟲病在兩類易感群體中的傳播情況，并運(yùn)用Hurwitz判別定理對(duì)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性進(jìn)行了分析.當(dāng)時(shí)，無(wú)病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，這說(shuō)明血吸蟲病不會(huì)流行；當(dāng)時(shí)，除了無(wú)病平衡點(diǎn)外還有地方病平衡點(diǎn)，而無(wú)病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，地方病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定，這說(shuō)明血吸蟲病流行而導(dǎo)致了地方病的產(chǎn)生.從基本再生數(shù)的公式上可以看出，兩類易感人群的初始值對(duì)血吸蟲病的流行具有一定的影響.下面運(yùn)用彈性公式來(lái)比較哪類人群的影響更大.容易算出

從而，有

由實(shí)際意義知α1＞α2，一旦遷入人群的個(gè)數(shù)大于當(dāng)?shù)爻跏既藬?shù)，那么遷入人群對(duì)當(dāng)?shù)匮x病流行的閾值影響很大.因此，控制好遷入人群的數(shù)量可能是有效控制當(dāng)?shù)匮x病流行的一個(gè)必要措施.

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