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    弱鏈對角占優(yōu)M-矩陣最小特征值的下界研究

    2015-12-03 06:17:38李艷艷蔣建新文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院云南文山663000
    關(guān)鍵詞:階數(shù)對角特征值

    李艷艷,蔣建新 (文山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院,云南 文山663000)

    弱鏈對角占優(yōu)矩陣在科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用,可以用于大規(guī)模數(shù)字電路的設(shè)計(jì),解決大型線性方程組中的矩陣分裂,證明矩陣分裂迭代方法的收斂性等問題。對于弱鏈對角占優(yōu)矩陣的研究,自從1996年P(guān).N.Shivakumar給出一些經(jīng)典結(jié)果以來,關(guān)于它的研究一直就沒有間斷過,并得到了許多有價值的結(jié)果。

    1 基本概念

    設(shè)Cn×n(Rn×n)表示n×n復(fù)(實(shí))矩陣的集合,N= {1,2,…,n};A=(aij)∈Rn×n表示n階實(shí)方陣;Ri;J(A)= {i∈N:di<1};sji=i,i,j∈ N;,j≠i,j∈N;pi=∈N。

    定義1 集合Zn×n= {A=(aij)|A∈Rn×n,aij≤0,?i,j∈N,i≠j}中的矩陣稱為Z- 矩陣;若A為Z-矩陣且A-1≥0(A-1為非負(fù)矩陣),則稱A為非奇異M-矩陣。

    定義2 設(shè)A=(aij)∈Rn×n,若di≤1,J(A)≠,且對iJ(A),必存在非零元素鏈,其中i1≠i≠i2,…,ir≠ik,0≤r≤k-1,ik∈J(A),則稱A為弱鏈對角占優(yōu)矩陣(WCDD)。

    定義3 若將矩陣A=(aij)∈Cn×n分裂為A=D-C(D為A的對角矩陣,即D=diag(a11,a22,…,ann),則矩陣JA=D-1C稱為A的迭代矩陣。

    文獻(xiàn)[1]給出了關(guān)于弱鏈對角占優(yōu)矩陣A=(aij)∈Rn×n的逆矩陣A-1=(αi)j元素的估計(jì)式:

    且對任意的i∈N,有:

    下面,筆者借助弱鏈對角占優(yōu)M-矩陣A的逆矩陣A-1的非主對角元素上界估計(jì)式給出了主對角元素新的估計(jì)式,從而與該類矩陣的最小特征值τ(A)經(jīng)典的下界估計(jì)式結(jié)合得到新的提高的且易于計(jì)算的界。

    2 主要結(jié)果

    定理1 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對角占優(yōu)的M- 矩陣,A-1=(αij),則:

    且對任意的i∈N,有:

    證明 因?yàn)锳是M-矩陣,所以αij≥0,即:

    也即:

    兩邊取絕對值應(yīng)用式(1)得:

    又由定理1的條件去掉絕對值得|αjj|≤-,即式(3)得證。

    由AA-1=I,有=1,則應(yīng)用式(3)有:

    則:

    即:

    則式(4)的右邊得證。左邊的證明類似。

    引理1[2]設(shè)M=(βij)是非奇異的M- 矩陣,N=(γij)是與M具有相同階數(shù)的非負(fù)矩陣,N=M-A,M-1N=JA,則:

    引理2[2]設(shè)A=(aij)是非奇異的M- 矩陣,A-1=(αij),則:

    式中,ρ(JA)是A的Jacobi迭代矩陣JA的譜半徑。

    定理2 設(shè)A=(aij)∈Rn×n是弱鏈對角占優(yōu)的M-矩陣,則:

    證明 因?yàn)锳是弱鏈對角占優(yōu)的M-矩陣,應(yīng)用定理1得:

    所以:

    又由引理1知ρ(JA)則:

    將式(7)與式(8)代入引理2中的不等式(5)得式(6)。

    式(5)中的ρ(JA)當(dāng)矩陣的階數(shù)較大時,很難計(jì)算,所以引理2的實(shí)際價值并不是太高,可是定理2中的估計(jì)式(6)只涉及矩陣A的元素,所以比式(5)更加容易計(jì)算。

    3 數(shù)值算例

    設(shè)A容易驗(yàn)證A是弱鏈對角占優(yōu)的M-矩陣,應(yīng)用定理2知τ(A)≥0.8723;但是應(yīng)用引理2得到τ(A)≥0.4569,事實(shí)上τ(A)=1.0424。

    該算例進(jìn)一步說明了定理2提高了引理2的結(jié)果,并且新的估計(jì)式只與矩陣的元素有關(guān),因而更容易計(jì)算。

    [1]Li Houbiao,Huang Tingzhu,Li Hong.Lower bounds for the eigenvalue of Hadamard product of an M-matrix and its inverse [J].Linear Algebra Appl,2007,420:235~247.

    [2]Tian Guixian,Huang Tingzhu.Inequalities for the minimum eigenvalue of M-matrices [J].Electronic Journal of Linear Algebra,2010,78:291~302.

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