帶形狀參數(shù)曲線的最優(yōu)參數(shù)取值問題研究

劉成志， 李軍成， 楊 煉

(湖南人文科技學院數(shù)學系，湖南 婁底 417000)

帶形狀參數(shù)曲線的最優(yōu)參數(shù)取值問題研究

劉成志， 李軍成， 楊 煉

(湖南人文科技學院數(shù)學系，湖南 婁底 417000)

帶形狀參數(shù)的曲線中所帶形狀參數(shù)的取值通常是一個區(qū)間，但在實際問題中往往需要確定形狀參數(shù)的最優(yōu)取值，以使得曲線具有良好的光順性。針對這一問題，首先基于曲線的光順準則建立了一個求解帶形狀參數(shù)曲線最優(yōu)參數(shù)取值的通用數(shù)學模型，然后給出了利用遺傳算法求解該模型的具體步驟，最后以兩類帶形狀參數(shù)的曲線為例驗證了所提出方法的有效性。

參數(shù)曲線；形狀參數(shù)；最優(yōu)參數(shù)值；光順；遺傳算法

在曲線曲面造型中，由于帶形狀參數(shù)的曲線曲面不僅具有相應傳統(tǒng)曲線的主要性質(zhì)，而且還可以通過修改形狀參數(shù)的取值來調(diào)整其形狀，因此帶形狀參數(shù)的曲線曲面造型方法已成為研究的熱點之一。目前，國內(nèi)外學者提出了許多不同的帶形狀參數(shù)曲線曲面的構造方法，大致可分為3類：①帶形狀參數(shù)的多項式曲線曲面，即在傳統(tǒng)的多項式曲線曲面中引入形狀參數(shù)構造出帶形狀參數(shù)的多項式曲線曲面[1-5]；②帶形狀參數(shù)的非多項式曲線曲面，即通過改變傳統(tǒng)多項式曲線曲面的基函數(shù)，在非多項式函數(shù)空間中構造帶形狀參數(shù)的曲線曲面[6-10]；③帶形狀參數(shù)的奇異混合曲線曲面，即通過借助奇異混合技術，將參數(shù)曲線曲面與奇異混合函數(shù)相混合，構造出帶局部形狀參數(shù)的插值曲線曲面[11-14]。

目前，關于帶形狀參數(shù)的曲線曲面造型方法已取得較為豐碩的研究成果，但值得注意的是，帶形狀參數(shù)的取值通常是一個區(qū)間。在實際問題中，為了使得曲線具有良好的光順性，往往需要確定形狀參數(shù)的最優(yōu)取值。雖然文獻[15]利用遺傳算法對最優(yōu)形狀參數(shù)的取值進行了研究，但僅局

限于三次 β樣條曲線的最優(yōu)形狀參數(shù)的確定，可移植性不高。

本文基于曲線的光順準則建立了求解曲線形狀參數(shù)最優(yōu)取值問題的通用數(shù)學模型，該模型能夠求解任何帶形狀參數(shù)曲線的近似最優(yōu)形狀參數(shù)，具有良好的可移植性。并給出了利用遺傳算法求解該模型的過程，最后以兩類帶形狀參數(shù)的曲線為例，求解出各自近似最優(yōu)的形狀參數(shù)，驗證所求的最優(yōu)形狀參數(shù)能夠保證曲線具有較好的光順性。

1 參數(shù)曲線最優(yōu)形狀參數(shù)模型的建立與求解

1.1 參數(shù)曲線最優(yōu)形狀參數(shù)模型的建立

帶形狀參數(shù)曲線所帶的形狀參數(shù)通常是在一個區(qū)間內(nèi)取值，而在實際問題中，往往需要確定形狀參數(shù)的最優(yōu)取值，以使得曲線具有良好的光順性。

根據(jù)光順準則，曲線曲面的能量在很大程度上反映了曲線曲面的光順程度。當曲線的能量值最小時可得到最光順的曲線。因此參數(shù)曲線最優(yōu)形狀參數(shù)的取值可以歸結為優(yōu)化問題，考慮利用能量優(yōu)化法求解形狀參數(shù)的最佳取值。首先給出曲線的能量定義，設某帶形狀參數(shù)的參數(shù)曲線為r(t)(a≤t≤b)，其中r(t)中含有形狀參數(shù)λi且λi∈I(i=1,2,…,n)。

曲線 r(t)的能量函數(shù)[16]可表示為：

為了保證曲線具有良好的光順性，需曲線的能量 E值最小。因此以曲線的能量函數(shù)作為目標函數(shù)，參數(shù)作為決策變量，形狀參數(shù)的取值范圍作為約束條件建立最優(yōu)化模型如式(1)：

1.2 求解參數(shù)曲線最優(yōu)形狀參數(shù)模型的求解

對式(1)的求解有很多方法，如牛頓法、共軛法等傳統(tǒng)優(yōu)化算法以及遺傳算法、蟻群算法等智能算法。由于目標函數(shù)較為復雜且需要求導和求積運算，用傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解較為困難且容易得到局部極小，遺傳算法能夠很快地通過迭代尋找近似全局最優(yōu)解，因此本文利用遺傳算法求解最佳形狀參數(shù)，首先給出遺傳算法的基本原理。

1.2.1 遺傳算法的基本原理

遺傳算法[17]是借鑒進化生物學中的進化現(xiàn)象而發(fā)展起來的優(yōu)化算法。遺傳算法通過編碼、選擇、交叉和變異來實現(xiàn)。

(1) 編碼方案：采用二進制編碼來離散決策變量(形狀參數(shù))，即將決策變量在區(qū)間上的連續(xù)取值離散轉換成二進制的代碼，形成染色體基因。碼長根據(jù)離散的精度來確定，設參數(shù)λ的變化區(qū)間為[a,b]，取決策變量的離散精度為ε。設碼長為L，根據(jù)算術編碼方案，取其中表示向上取整運算。任何一個長度為 L的碼字均對應于形狀參數(shù)在[a,b]上的某個取值。

(2) 基因選擇：在進化過程中，父代個體以一定概率被選擇去繁殖下一代。通常適應度高的個體更容易被選擇，適應度函數(shù)的構造方法有輪盤賭選擇方法[8]、錦標賽選擇方法[8]等。雖然適應度函數(shù)已經(jīng)有很多構造方法，但它的選擇對遺傳算法的計算結果影響非常大。為了簡化，本文選取個體在能量函數(shù)中的函數(shù)值作為適應度函數(shù)，能量值低的個體適應度高。選擇能量函數(shù)值作為適應度函數(shù)不僅符合適應度函數(shù)的選取規(guī)則，還能減少迭代過程中的計算量，更重要的是在求解任意帶形狀參數(shù)的最優(yōu)形狀參數(shù)時，不需修改適應度函數(shù)。

(3) 基因交叉：采用單點交叉。 假設在父代種群中有以下兩個個體：

以一定的交叉概率 Pc確定交叉點，在上例中不妨為下劃線的碼字。則通過交叉之后變?yōu)椋?/p>

(4) 基因變異：對個體而言，基因變異是以一定的變異概率 P 改變?nèi)旧w中的基因值。設個體：

若該染色體基因的第二位產(chǎn)生變異，則通過變異之后個體的染色體基因變?yōu)椋?/p>

1.2.2 求解最優(yōu)形狀參數(shù)的遺傳算法

對于最優(yōu)化模型式(1)，采用遺傳算法求解，流程如下：

(1) 初始化。輸入遺傳算法的種群規(guī)模NP，雜交概率 Pc，變異概率 Pm，自變量離散精度ε，最大

進化次數(shù)N；

(2) 隨機產(chǎn)生規(guī)模為 NP的初始種群，同時對種群中的每個個體進行二進制編碼，如果有多個形狀參數(shù)，每個形狀參數(shù)均可視為種群中的某個個體，即分別進行；

(3) 計算種群 NP中各個體的適應度，以曲線的函數(shù)值作為適應度函數(shù)。并判斷個體是否符合優(yōu)化準則，即能量值低的個體適應度高。若符合優(yōu)化準則，則輸出，否則進行下一步；

(4) 根據(jù)雜交概率Pc對種群進行交叉操作，產(chǎn)生新個體；

根據(jù)變異概率 Pm對種群進行變異操作，產(chǎn)生新個體，轉入(3)。若算法的進化次數(shù)超過N，則停止迭代。

2 求解兩類帶形狀參數(shù)曲線最優(yōu)參數(shù)取值實例

2.1 兩類帶形狀參數(shù)的參數(shù)曲線簡介

定義 1[1]. 給定 R2或 R3空間中 3個控制頂點Vi(i = 0,1,2)，則曲線：

為可調(diào)控的三次參數(shù)曲線，其中：

由文獻[1]可知，式(2)定義的可調(diào)控的三次參數(shù)曲線是二次 Bézier曲線的擴展，其具有許多與二次 Bézier曲線相似的性質(zhì)，如端點性質(zhì)、擬對稱性、凸包性和幾何不變性等。更重要的是，該曲線可以通過修改參數(shù)值而不是改變控制頂點來調(diào)整曲線的形狀，當控制頂點不變，形狀參數(shù)λ與μ分別取不同值時，可得到一組形狀不同的曲線，如圖1所示。

圖1 形狀參數(shù)取不同值時的三次參數(shù)曲線

此外，在設計復雜的自由曲線時，常常會遇到曲線段之間的拼接。設 r1(t)與 r2(t)分別為兩條可調(diào)控三次參數(shù)曲線，其中形狀參數(shù)為0≤ λ1,μ1≤ 3，r1(t)的控制頂點為 P0,P1,P2；r2(t)的控制頂點為 Q0,Q1,Q2。當P1，P2=Q0，Q1三點共線時，可調(diào)控的三次參數(shù)曲線段 r1(t)與 r2(t)之間滿足 G1拼接[1]。

定義2[10]. 給定4個控制頂點 b0,b1,b2,b3，則曲線：

為帶有形狀控制參數(shù)的三次代數(shù)三角插值樣條，簡稱CATI-樣條曲線，其中：

由文獻[10]可知，CATI-樣條曲線除了具有端點性、對稱性、保凸性、幾何不變性等性質(zhì)之外還有形狀可調(diào)性，即給定4個控制頂點時，可通過改變參數(shù)λ的取值調(diào)整曲線的形狀，如圖2所示。

2.2 求解帶形狀參數(shù)曲線的最優(yōu)形狀參數(shù)

2.2.1 求解可調(diào)控的三次參數(shù)曲線最優(yōu)形狀參數(shù)

例如，給定控制頂點V0=(0,1)，V1=(1,2)，V2=(2,1)， V3=(3,0)， V4=(4,1)，V5=(5,2)，V6=(6,1)。根據(jù)定義1，分別由控制頂點 V0V1V2、V2V3V4、 V4V5V6定義 3條可調(diào)控的三次參數(shù)曲線ri(t)(i = 1,2,3)。取種群規(guī)模NP=300， Pc=0.9，Pm= 0.04， N= 100， ε= 0.005。利用遺傳算法分別求出3條參數(shù)曲線在各控制多邊形下參數(shù)曲線的最優(yōu)能量值，如表1所示。

圖2 形狀參數(shù)取不同值時的CATI-樣條曲線

表1 可調(diào)控的三次參數(shù)曲線最優(yōu)形狀參數(shù)及對應能量值

為了驗證遺傳算法所求結果為最優(yōu)形狀參數(shù)，同時給出由控制頂點 V0V1V2定義的r1(t)在形狀參數(shù)取不同值時的能量值，如表2所示。

由表1和表2可知，當 λ= 1.5015，μ =1.497 7時參數(shù)曲線的能量值與λ， μ 取其他參數(shù)時曲線的能量值相比為最低，因此從曲線的能量值角度看，結果符合能量優(yōu)化準則。

形狀參數(shù)取最優(yōu)值及其他值時的曲線如圖 3所示，需要說明的是，由于V1V2V3，V3V4V5分別三點共線，故曲線段 r1(t)、r2(t)、r3(t)之間滿足G1連續(xù)。

表2 r1 (t)在形狀參數(shù)取不同值時的能量值

圖3 形狀參數(shù)λ,μ取不同值時的三次參數(shù)曲線

2.2.2 求解CATI-樣條曲線最優(yōu)形狀參數(shù)

例如，設有 6 個控制頂點 b0= (0,0)，根據(jù)定義 2分別由控制頂點 b0b1b2b3、b1b2b3b4、b2b3b4b5定義3條帶有形狀控制參數(shù)的三次代數(shù)三角插值樣條曲線 ri(t)(i = 1,2,3)，其形狀參數(shù)分別為-0.5 ≤λ≤ 0.5。

根據(jù)遺傳算法，取種群規(guī)模NP=300， Pc=0.9，Pm= 0.04， N= 100， ε= 0.005。分別求出3條參數(shù)曲線在各控制多邊形下參數(shù)曲線的最優(yōu)能量值，同時將最優(yōu)形狀參數(shù)與其他參數(shù)取值的能量值進行比較，如表3所示。

形狀參數(shù)取最優(yōu)值及其他值時的曲線如圖4所示，需要指出的是，在第二段樣條曲線中，最優(yōu)參數(shù)曲線與 λ= 0.5時的參數(shù)曲線近似重合，這是因為

此時最優(yōu)參數(shù)為0.498 7與0.5相近，且曲線的能量值也極為相近。同時，通過比較表1和表2可見，當 λ= 0.5時第 2段參數(shù)曲線的能量值比遺傳算法求得的曲線能量值還要低，但相差不大，這是遺傳算法的特點，因此該結果較為合理，可以作為優(yōu)化問題近似最優(yōu)解。

表3 CATI-樣條曲線不同形狀參數(shù)及能量值

圖4 λ取不同值時的CATI-樣條曲線

3 結 束 語

本文基于光順準則建立了求解帶形狀參數(shù)曲線最優(yōu)參數(shù)取值的通用數(shù)學模型，并給出了利用遺傳算法求解該模型的具體步驟。最后以兩類帶形狀參數(shù)曲線為例驗證了該模型及求解算法的有效性。利用遺傳算法求解帶形狀參數(shù)曲線的最優(yōu)參數(shù)取值問題具有可移植性，對于不同的帶形狀參數(shù)的曲線，均可利用本文所提出的方法求解形狀參數(shù)的最優(yōu)取值。

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Optimal Parameter Values of the Curves with Shape Parameters

Liu Chengzhi, Li Juncheng, Yang Lian
(Department of Mathematics, Hunan Institute of Humanities, Science and Technology, Loudi Hunan 417000, China)

Although the curve with shape parameters has become one of the most popular topics in the curve modeling, but the values of shape parameters are always given as intervals, while in practice, the optimal parameter values is often needed to ensure that the curves have good fairness and smoothness. According to this problem, firstly, a automatic mathematical model which is based on the fairing criterion is established to obtain the optimal parameters, and then the concrete steps of genetic algorithm is given to solve the model. At the last, two classes of curves are used as examples to illustrate the effectiveness of our methods.

parameter curve; shape parameter; optimal value of parameter; fairness and smoothness; genetic algorithm

TP 391.72

A

2095-302X(2015)04-0532-05

2015-01-16；定稿日期：2015-03-04

湖南省教育廳科研資助項目(14B099)；湖南人文科技學院校級青年基金資助項目(2013QN07)

劉成志(1986–)，男，湖南洞口人，碩士研究生。主要研究方向為數(shù)值代數(shù)。E-mail：it-rocket@163.com