淺談鏡像法的理論基礎(chǔ)及解題步驟

冀文慧　楊洪濤　呼和滿都拉

(集寧師范學(xué)院物理系,內(nèi)蒙古烏蘭察布　012000)

淺談鏡像法的理論基礎(chǔ)及解題步驟

冀文慧楊洪濤呼和滿都拉

(集寧師范學(xué)院物理系,內(nèi)蒙古烏蘭察布012000)

本文首先闡述了鏡像法的基本理論基礎(chǔ),其次分析了運(yùn)用鏡像法的解題步驟,最后對(duì)鏡像法做出總結(jié)。

鏡像法唯一性定理解題步驟

鏡像法是電動(dòng)力學(xué)中一種重要的計(jì)算方法，許多復(fù)雜問題使用該方法求解都會(huì)很簡便，所以準(zhǔn)確理解該方法對(duì)于解決相應(yīng)問題有著重要的意義。本文就對(duì)鏡像法的理論基礎(chǔ)和解題步驟進(jìn)行了詳細(xì)的分析。

1　鏡像法的理論基礎(chǔ) — 唯一性定理

當(dāng)有導(dǎo)體存在時(shí)，由實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)我們可以知道，為了確定電場，所需要滿足的條件有兩種類型:一類是給定每個(gè)導(dǎo)體上的電勢iφ，另一類是給定每個(gè)導(dǎo)體上的總電荷iQ。

為了簡單，我們只討論區(qū)域內(nèi)只含一種均勻介質(zhì)的情形。如圖1所示，假設(shè)在某區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體，我們把除去導(dǎo)體內(nèi)部后的區(qū)域稱為V＇，則V＇的邊界條件包括界面S及每個(gè)導(dǎo)體的表面iS。設(shè)V＇內(nèi)有給定電荷分布ρ，S上給定或值，對(duì)于上述第一類問題，給定了電勢iφ，即給出了V＇所有邊界上的φ或值，因而V＇內(nèi)的電場唯一的被確定。

圖1

圖2

對(duì)于第二種類型的問題，唯一性定理表述如下[2]:

在某一區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體，各導(dǎo)體的電勢iφ=常數(shù)(如圖所示)，V內(nèi)給定自由電荷分布ρ（x），且在V的外邊界S上或給定，則V內(nèi)電場唯一確定。寫成數(shù)學(xué)表達(dá)式便為:

由鏡像法解靜態(tài)場問題中，我們可以看出，利用鏡像法解題的理論基礎(chǔ)是唯一性定理和電勢疊加原理。在從中應(yīng)用唯一性定理，解決場的邊值問題，而在求解過程中我們也常用到理想模型。在這里我們要注意幾點(diǎn):(a)鏡像法只是對(duì)特定的區(qū)域才有效，鏡像電荷必須放在研究的場域外;(b)放置像電荷后，就認(rèn)為原來的真實(shí)的導(dǎo)體或介質(zhì)界面不存在，把整個(gè)空間看成是無界的均勻空間，并且其介電常數(shù)就是我們所研究的場域的介電常數(shù);(c)像電荷是為了便于計(jì)算虛構(gòu)出來的，事實(shí)上并不存在像電荷，它具有等效作用，而它的電量也并不一定等于真實(shí)的感應(yīng)或極化電荷的電量;(d)鏡像法的適應(yīng)范圍是:①場區(qū)域的電荷是點(diǎn)電荷，無限長帶電直線;②導(dǎo)體或介質(zhì)的邊界面必須是簡單的規(guī)則的幾何面(球面、柱面、平面)。鏡像法不僅可用于靜電場，而且也可以用于靜磁域或訊變電磁場[3]。

2　鏡像法的解題步驟

在利用鏡像法求解問題時(shí)，我們需要按照一定的步驟來逐步的進(jìn)行分析求解。例如，當(dāng)點(diǎn)電荷Q距無限大接地導(dǎo)體平面距離為a時(shí)，我們?cè)谇罂臻g中的電勢時(shí):首先我們就要看看，在點(diǎn)電荷作用下會(huì)不會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，當(dāng)點(diǎn)電荷為正時(shí)，則產(chǎn)生的感應(yīng)電荷為負(fù)。那么空間中的電場就是由點(diǎn)電荷和導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷共同激發(fā)的，而在總電場作用下感應(yīng)電荷分布達(dá)到一種平衡，接下來我們就要分析，達(dá)到平衡就是導(dǎo)體的靜電平衡條件，即導(dǎo)體表面為一等勢面，所以我們就要正確寫出它的邊界條件即常數(shù)=φ。知道了邊界條件，我們就要看看像電荷的位置及大小是怎樣的？設(shè)想在導(dǎo)體板下方與電荷Q對(duì)稱的位置上放置一個(gè)假想的電荷Q＇，然后把導(dǎo)體板抽去。若，則給定電荷Q與假象電荷Q＇共同激發(fā)的電場即為所求得電場。取導(dǎo)體0z=的平面研究，則Q位置為），（a0,0，設(shè)鏡像電荷Q＇位于導(dǎo)體內(nèi)的位置為），（b0,0，則可寫出了電勢的解析形式，即在0z＞的區(qū)域內(nèi)電勢為:;(如圖2)

其中，r表示Q到場點(diǎn)P的距離，r＇表示鏡像電荷Q＇到場點(diǎn)的距離，選Q到導(dǎo)體板上的投影點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則

············

從上面對(duì)這個(gè)例題的分析過程中，我們就可以總結(jié)出利用鏡像法進(jìn)行解題時(shí)的幾個(gè)大致步驟:(a)確定是否滿足邊界條件;(b)正確寫出電勢應(yīng)滿足的微分方程及給定的邊界條件;(c)根據(jù)給定的場域邊界上的邊界條件計(jì)算像電荷的電量及所在位置和個(gè)數(shù);(d)由已知電荷及像電荷寫出勢的解析形式;(e)根據(jù)需要求出電勢[4]。

3　結(jié)語

本文在查閱大量資料的基礎(chǔ)上詳細(xì)敘述了鏡像法的理論基礎(chǔ)，通過例題分析了使用該方法的解題步驟，不僅彌補(bǔ)了教材的不足，同時(shí)為同學(xué)們熟練掌握鏡像法起了重要的輔助作用。

[1]郭碩紅.電動(dòng)力學(xué)[M].第二版.北京高等教育出版社,1997.

[2]趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)[M].高等教育出版社,2003.

[3]朱永遠(yuǎn).縱場和橫場的邊值問題[J].大學(xué)物理,1992.

[4]王廣泰.磁像法在解靜磁場邊值問題中的應(yīng)用[J].大學(xué)物理,2004.

內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)?？茖W(xué)研究項(xiàng)目(項(xiàng)目編號(hào):NJZY12248)。

冀文慧(1982—),男,漢族,內(nèi)蒙古烏蘭察布人,集寧師范學(xué)院物理系講師,碩士研究生,研究方向:凝聚態(tài)光學(xué)性質(zhì)。