高等數(shù)學中的一些反例

尹建華，孟慧慧

（河北民族師范學院數(shù)學與計算機系，河北承德067000）

高等數(shù)學中的一些反例

尹建華，孟慧慧

（河北民族師范學院數(shù)學與計算機系，河北承德067000）

在高等數(shù)學中有一些命題或關系不成立，不需要理論證明，只需用一個反例即可說明。本文列舉一些反例僅說明多元函數(shù)中不成立的命題和關系，同時也說明從一元函數(shù)到多元函數(shù)的性質(zhì)也符合從量變到質(zhì)變的原則。

連續(xù)；極限；偏導數(shù)；曲線積分

在高等數(shù)學中有許多概念，通過證明可以得到一些概念之間相互關系，但也有一些概念之間相互無關，這時只需舉出反例說明即可。與之類似，定理成立要滿足一定的條件，當條件不被滿足時，結論若不成立也只需反例說明。下面通過反例說明高等數(shù)學中一些有關多元函數(shù)部分不成立的關系及結論。

1　與概念相關的反例

1.1二元極限，連續(xù)定義相關的反例

結論1：二元函數(shù)的極限不僅與函數(shù)、點有關，而且與定義域有關。

【結論2：多元函數(shù)連續(xù)與定義域有關。

證明：（1）在平面R2上，當沿(x,y)沿y=kx(k≠0)趨于(0,0)時，有，說明沿不同斜率的直線趨于原點(0,0)，對應極限值不同，極限不存在，所以f(x,y)在(0,0)不連續(xù)。

1.2關于極限關系反例

結論3：二重極限與累次極限的存在沒有必然的聯(lián)系.

當動點(x,y)沿拋物線y=x2趨于(0,0)時，有二重極限

∴累次極限不存在，同理另一順序累次極限也不存在。

結論4：沿任何方向的方向極限都存在，重極限也不一定存在。

1.3多元函數(shù)連續(xù)與一致連續(xù)關系反例

結論5：函數(shù)在某區(qū)間一致連續(xù)，則在該區(qū)間一定連續(xù)，但函數(shù)在某區(qū)間連續(xù)卻不一定一致連續(xù)。

因此，函數(shù)f(x,y)在D非一致連續(xù)。

1.4多元函數(shù)可微、偏導存在、連續(xù)關系反例

一元函數(shù)中有關系：f(x)在某點可導充要條件是f(x)在該點可微；f(x)在某點可導，則f(x)在該點連續(xù)，但是f(x)在某點連續(xù)，卻不一定在該點可導。從一元函數(shù)理論到多元函數(shù)的理論，也符合哲學道理，不僅有量的變化，而且有質(zhì)的變化。

結論6：在多元函數(shù)理論中，可以證明結論：可微?偏導存在；可微?連續(xù)；其他關系都不具備。

【例7函數(shù)f(x)=｜x-3｜在x=3點連續(xù)但不可導。

∴f(x,y)在(0,0)點偏導數(shù)不存在。

1.5可微與方向導數(shù)關系反例

結論7函數(shù)在一點可微，則任何方向導數(shù)存在，反之不一定。點的方向導數(shù)及可微性。

解對于從原點出發(fā)的任何方向射線上l:y=kx上，都有充分小的一段包含在原點的某鄰域U(O)內(nèi)，在U(O)內(nèi)有y=kx＞x2＞0或y=kx≤0，∴在這一段上f≡0，f(0,0)=0，，即在(0,0)點沿任何方向的方向導數(shù)都存在，但顯然f(x,y)在(0,0)不連續(xù)，∴f(x,y)在(0,0)不可微。

2　與定理相關的反例

2.1偏導連續(xù)可與微關系定理反例

結論8定理條件只是充分條件，不是必要條件。

但是f(x,y)在(0,0)可微。事實上

由定義知f(x,y)在(0,0)可微。

2.2復合函數(shù)求導法則反例

定理若函數(shù)x=φ(s,t)，y=φ(s,t)在點(s,t)∈D偏導數(shù)存在，函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微，則復合函數(shù)z= f[φ(s,t),φ(s,t)]在(s,t)可微，且有

結論9若定理條件外函數(shù)f(x,y)不可微，公式不成立。

故定理條件外函數(shù)f(x,y)可微不可缺。

2.3有關格林公式反例

結論10函數(shù)在曲線圍區(qū)域不連續(xù)，格林公式不成立。

根據(jù)題目所給條件，路線C可分為兩種情況：

（1）C不經(jīng)過原點,且原點不在以C為邊界的區(qū)域D內(nèi)。

這時P(x,y)，Q(x,y)滿足定理條件，∴由格林公式

（2）C不經(jīng)過原點，但原點在以C為邊界的區(qū)域D內(nèi)。

這時在（0,0）點，P(x,y)，Q(x,y)無意義（不連續(xù)），不滿足格林公式條件，計算結果如下：以原點為心，充分小半徑δ＞0為半徑做元域D′：x2+y2≤δ2，其邊界記C′，使D′完全含于D，則在環(huán)域D-D′內(nèi)滿足格林公式條件，C′為順時針方向。由格林公式

由二型積分計算公式

與格林公式計算結果不同，公式不成立。

2.4曲線積分與路線無關的反例

定理：設D是單連通閉區(qū)域，P(x,y),Q(x,y)在D具有一階連續(xù)偏導，則有下列結論等價：（1）沿D內(nèi)任何按段光滑封閉曲線C，有∮cPdx+Qdy=0；（2）對D內(nèi)任一按段光滑曲線C，積分C∫Pdx+Qdy與路線無關，只與C的起點和終點有關；（3）Pdx+Qdy是D內(nèi)某一函數(shù)u(x,y)的全微分；（4）在D內(nèi)處處成立。

結論11：在曲線積分與路線無關的定理中，區(qū)域D必為單連通區(qū)域，否則結論不等價。

關于反例的作用不可輕視，它可以很快判定一個命題不成立。在其他學科仍存在這樣的反例，如線性代數(shù)中矩陣乘法運算不滿足交換律、消去律等。

On Counter Examples in Higher Mathematics

YIN Jian-hua,MENG Hui-hui
(Department of Mathematics and Computer Science,Hebei Normal University for Nationalities, Chengde,Hebei 067000,China)

Counter examples are preferred than theoretical argumentation in proving some false propositions or relational expressions in higher mathematics.Employing counter examples,this paper first illustrates some false propositions and relational expressions in multivariate function and then demonstrates that the properties from univariate function to multivariate function conform to the change from quantitative to qualitative.

continuity;limit;partial derivatives;line integral

O13

A

2095-3763（2015）02-0070-04

2014-12-10

尹建華（1963-），女，滿族，河北隆化人，河北民族師范學院數(shù)學與計算機系教授。