負(fù)m次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程

高忠社，孫小瑞

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

負(fù)m次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程

高忠社，孫小瑞

（天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，甘肅 天水 741001）

使用數(shù)學(xué)歸納法證明了把系數(shù)中含有負(fù)m次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程化為可逐次積分的線性微分方程結(jié)論,并給出了求解此類方程通解的方法，最后通過例子進(jìn)行了說明.

負(fù)m次冪函數(shù)；排列數(shù)；交錯(cuò)項(xiàng)級(jí)數(shù)；通解

引言

微分方程

根據(jù)文獻(xiàn)[2-6]對(duì)含負(fù) j(j=1,2,3,4,5)次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程的解法探討的啟示,這類方程可用逐次積分的方法求解,故需將其化為可逐次積分的線性微分方程.文中給出了方程(1)通解的求法,以下是主要定理及其證明過程,并通過例題介紹其應(yīng)用.

1　主要結(jié)果的證明及其應(yīng)用

定理1

(3)下證當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立,對(duì)(2)式兩邊求導(dǎo)得

證得當(dāng)n=k+1時(shí)(3)式等式成立.

綜上所述，對(duì)任意自然數(shù)n等式成立,即

定理2微分方程

證明 由定理1可知微分方程

對(duì)(4)式兩邊積分得y=xm[∫[∫…[∫f(x)dx]…]dx]dx,故定理2成立.

例1求微分方程

的通解.

解原方程為

推論2線性微分方程

的通解為y=xm[∫[∫…[∫x-n-mf(x)dx]…]dx]dx,積分符號(hào)共有n個(gè).

對(duì)(6)式兩邊逐次積分得

y=xm[∫[∫…[∫x-n-mf(x)dx]…]dx]dx,共有n個(gè)積分符號(hào).

例2求線性微分方程

的通解.

解 原微分方程為

對(duì)(7)式兩邊逐次積分可得

故所求微分方程的通解為

推論3線性齊次微分方程

證明 線性齊次微分方程，即為(x-my)(n)=0,兩邊逐次積分可得

故所求通解為

例3求微分方程

x-my″-2mx-m-1y′+m(m+1)x-m-2y=0的通解.

解 原齊次微分方程可化為

對(duì)(8)式兩邊逐次積分可得

故所求通解為

2　總　結(jié)

文中主要介紹了系數(shù)含有負(fù)m次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程化為可以逐次積分的線性微分方程的方法，并用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)其進(jìn)行了證明.其次，給出這類方程通解的求解方法及其推論的證明過程，并分別加以例子說明其應(yīng)用.最后給出求解此類齊次線性方程的通解的方法，且通過例子進(jìn)行了說明.通過文中結(jié)論可知，求解此類問題時(shí)并不一定要嚴(yán)格按照給出的通解公式求解，可以由定理1將方程化為(x-my)(″)=f(x)，再對(duì)等式兩邊逐次積分即可求出方程的通解.

[1]王高雄,周之銘,朱思銘,王壽松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社,2006.

[2]孫長(zhǎng)軍.一類可化為逐次積分的n階線性微分方程的解法[J].河北理工學(xué)院學(xué)報(bào),2004,26(3)：79-82.

[3]孫長(zhǎng)軍.負(fù)二次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程[J].山東理工大學(xué)學(xué)報(bào),2004,18(5)：86-89.

[4]孫長(zhǎng)軍.負(fù)三次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程[J].河北理工學(xué)院學(xué)報(bào),2005,27(3)：88-91.

[5]孫長(zhǎng)軍.負(fù)四次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程[J].成都大學(xué)學(xué)報(bào),2006,25(1)：12-15.

[6]梁雪峰,郭振,田俊紅.負(fù)五次冪函數(shù)與排列數(shù)的交錯(cuò)級(jí)數(shù)型線性微分方程[J].天水師范學(xué)院學(xué)報(bào),2014,34(2)：11-12.

〔責(zé)任編輯艾小剛〕

Alternating Series Type of Linear Differential Equation of Negative m Numbers of Times of Power Function and Number of Permutation

Gao Zhongshe,SunXiaorui
(School of Mathematics and Statistics,Tianshui Normal University,Tianshui Gansu74100,China)

Mathematical induction is used to prove the conclusion that the alternating series type of linear differential equation of negative m numbers of times of power function and number of permutation is reduced to successive integral linear differential equation,and the general solution to this kind of equations is provided with examples following.

negative m numbers of times of power function;number of permutation;alternating series;general solution

O175

A

1671-1351（2015）05-0001-03

2015-06-26

高忠社（1979-），男，甘肅寧縣人，天水師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，碩士。