基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的埃博拉病毒傳播模型研究

毛海舟（浙江工貿(mào)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部，浙江 溫州 325000）

趙利彬（閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系，福建 福州 350108）

埃博拉病毒的爆發(fā)與傳播給非洲乃至全球的經(jīng)濟社會帶來了巨大的影響，細致地對病毒傳染病模型進行研究和分析，不僅有利于消除民眾不必要的恐懼或盲目樂觀的情緒，也可以為政府的應(yīng)急決策提供參考。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往用一組確定性的微分方程來描述傳染病傳播的動力學(xué)行為［1，2］，這使得研究者很容易分析模型中各個參數(shù)對系統(tǒng)演化行為的影響，但這些參數(shù)所對應(yīng)的實際意義卻難以精確刻畫。因此，一種控制行為到底會對哪些參數(shù)產(chǎn)生影響，產(chǎn)生多大的影響都是很難確定的，這也是微分方程模型解釋能力強于控制能力的原因。近年來，復(fù)雜系統(tǒng)理論提出了一種嶄新的超越還原論思想的建模方法，即為系統(tǒng)設(shè)定一些規(guī)則后，讓系統(tǒng)在一定的環(huán)境下自發(fā)的演化，然后考察系統(tǒng)演化過程中表現(xiàn)出來的若干性質(zhì)。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播模型能夠很好地體現(xiàn)復(fù)雜系統(tǒng)建模的思想，并且由于考慮了傳播網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)本身對傳播行為的影響，因此可以得到很多傳統(tǒng)模型不能得到的結(jié)果［3］。下面，筆者基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論建立了埃博拉病毒傳播的隨機演化模型，并將該模型外推得到仿真模型，通過試驗分析來了解埃博拉病毒在一個封閉系統(tǒng)（如一個國家或一個地區(qū)等）中的傳播模式。

1 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（Barabasi－Albert模型）理論

自然界中的許多系統(tǒng)都可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來描述，如Internet是由路由器和傳輸介質(zhì)組成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，人腦是由神經(jīng)元通過互連形成的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，而社會則是人與人通過各種各樣的關(guān)系聯(lián)系起來的。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的廣泛存在，使得眾多科學(xué)家致力于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)自身性質(zhì)特別是動力學(xué)性質(zhì)的研究［3～5］，如社會人際網(wǎng)絡(luò)怎樣促成了傳染病的傳播，如何在Internet上最有效的防止病毒的攻擊，什么樣的拓撲結(jié)構(gòu)在沖擊下最為穩(wěn)定。目前，有關(guān)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的研究得益于數(shù)據(jù)采集能力的提高和高性能計算工具的出現(xiàn)，在此基礎(chǔ)上，各種實際網(wǎng)絡(luò)復(fù)雜的拓撲結(jié)構(gòu)被揭示出來。

1998年，Watts等［6］提出了小世界網(wǎng)絡(luò)的概念，稱之為WS模型，該模型具有很小的平均距離和較大的簇系數(shù)，即通常意義上的小世界效應(yīng)［3，4］。WS模型盡管具有小世界效應(yīng)，但不足于用來刻畫真實系統(tǒng)中的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，其與早期的一些隨機網(wǎng)絡(luò)一樣，其頂點度的分布符合Possion分布，但針對真實系統(tǒng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)統(tǒng)計分析表明，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的頂點度滿足Power－law分布［5，7］。因此，用于模擬現(xiàn)實的傳播網(wǎng)絡(luò)至少應(yīng)當(dāng)具備小平均距離、大簇系數(shù)和Power－law度分布3個特征。1999年，Barabasi［7］提出了構(gòu)造復(fù)雜網(wǎng)演化算法，可以同時實現(xiàn)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的3大特征，因而筆者進行試驗分析時均采用Barabasi－Albert模型。

大量的實證研究表明，真實網(wǎng)絡(luò)幾乎都具有小世界效應(yīng)［8～10］，但同時研究者也發(fā)現(xiàn)許多網(wǎng)絡(luò)的度分布都服從冪率分布［9］，也就是說具有某個特定度的節(jié)點數(shù)目與這個特定的度之間的關(guān)系能夠用一個冪函數(shù)近似表示。冪函數(shù)是一條下降速度相對緩慢的曲線，這就使得度很大的節(jié)點可以在真實網(wǎng)絡(luò)中存在。由于冪函數(shù)具有這種標(biāo)度不變性，因此把節(jié)點度服從冪率分布的網(wǎng)絡(luò)叫做無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)。

Barabasi［7］考察了網(wǎng)絡(luò)的生成機制，發(fā)現(xiàn)增長和擇優(yōu)連接是實際網(wǎng)絡(luò)演化過程中的2個基本特性，同時還提出了能夠產(chǎn)生無標(biāo)度特性的第1個網(wǎng)絡(luò)模型，即Barabasi－Albert模型。該模型的構(gòu)造算法如下：①增長。從一個包含m0個節(jié)點的初始網(wǎng)絡(luò)開始，每個時間步引入一個新的節(jié)點，并且連接到m個已經(jīng)存在于網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點上，這里有m≤m0。②擇優(yōu)連接。新節(jié)點與一個已經(jīng)存在的節(jié)點i相連接的概率Πi與節(jié)點i的度數(shù)ki滿足如下關(guān)系：

經(jīng)過t時間步后，該算法產(chǎn)生一個具有m0＋t個節(jié)點和mt條邊的網(wǎng)絡(luò)。

BA網(wǎng)絡(luò)模型具有以下特性：

1）度分布。Barabasi等［11］用平均場的方法得到BA網(wǎng)絡(luò)的度分布為：

這表明BA網(wǎng)絡(luò)的度分布可以由冪指數(shù)為－3的冪律函數(shù)來近似描述。

2）平均路徑長度。BA網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度為：

由式（3）可見，BA網(wǎng)絡(luò)具有小世界特性。

3）聚集系數(shù)。BA網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)為：

由式（4）可見，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模充分大時，BA網(wǎng)絡(luò)的聚集特性已不再明顯［7］。

4）BA網(wǎng)絡(luò)中存在中樞節(jié)點（Hub節(jié)點）和富者愈富現(xiàn)象，冪律度分布的胖尾特性導(dǎo)致無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中存在少數(shù)含有大量連接邊的中樞節(jié)點，擇優(yōu)連接特性必然引起富者愈富現(xiàn)象。

5）BA網(wǎng)絡(luò)既具有魯棒性又具有脆弱性。面對節(jié)點的隨機失效，網(wǎng)絡(luò)具有魯棒性；面對蓄意攻擊時，因為中樞節(jié)點的存在，網(wǎng)絡(luò)變得極其脆弱。

2 埃博拉病毒傳播模型的建立與分析

2.1 基本假設(shè)

埃博拉病毒是一種傳染性強的呼吸系統(tǒng)疾病，其傳播的動力學(xué)特征除了受傳播網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)的影響外，還與病毒活性、易感人群抵抗能力、隔離措施等諸多因素有關(guān)。為便于研究，對基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的埃博拉病毒的傳播模型作如下假設(shè)。

1）每個病人的傳染能力相同，即不考慮超級傳播事件的影響。

2）病毒的活性在演化過程中是不變的，也不考慮病毒的變異行為，即忽略影響埃博拉病毒活性的通風(fēng)條件、溫度等因素。

3）群體中每個個體的免疫能力相同，并不受年齡結(jié)構(gòu)的影響，即忽略不同個體的不同免疫力，這是因為模型所關(guān)心的是整體表現(xiàn)出來的統(tǒng)計性質(zhì)而非特定個體的情況。

4）每個病人的潛伏期相同，且在潛伏期中不具有傳染性。

5）在沒有隔離控制措施下每個病人從發(fā)病開始到具有傳染性的時間是一樣的。

6）病人從發(fā)病到傳染性消失的這段時間內(nèi)傳染能力強弱不隨時間變化。

2.2 符號說明

用圖G（V，E）表示埃博拉病毒的傳播網(wǎng)絡(luò)，其中V是頂點集，E是邊集，每個頂點代表系統(tǒng)中的1個人，2個人之間有1條邊相連，表示這2個人有可能發(fā)生接觸，從而可能導(dǎo)致病毒擴散，這里記為相鄰個體。相鄰個體在一個單位時間（d）內(nèi)的接觸概率用r表示，每一次事實接觸都屬于以下3種情況之一：病人與病人的接觸、健康者之間的接觸、病人與健康者之間的接觸。顯然，其中病人與健康者之間的接觸值得關(guān)注，因為這種接觸是否造成健康者染病，與病人的傳染能力和健康人的抵抗能力相關(guān)。假設(shè)每個病人的傳染能力是一樣的，用參數(shù)η表示，而易感人群的免疫能力也是一樣的，用參數(shù)ζ表示，λ＝η／ζ表示該次傳播的有效致病因子，健康者每次和病患的接觸都會累積有效致病因子，若其超過致病閾值χ，則認為該健康者已經(jīng)染病。健康者染病后會經(jīng)過一段潛伏期，潛伏期長度用tq表示，感染者在潛伏期里不具有傳染性。病人在病發(fā)后的傳染期內(nèi)具有傳染性，傳染期的長度記為ty。初始化時，系統(tǒng)隨機指定一個個體處于疾病初發(fā)時期，然后系統(tǒng)根據(jù)既定規(guī)則自發(fā)地以單位時間（d）迭代演化。

埃博拉病毒的傳播大致可以分為3個階段，即自由傳播階段、過渡階段和控制階段。自由傳播階段時人們完全沒有認識到埃博拉病毒的危害，一切行為如常，政府也沒有積極控制的行為；控制階段時政府已出臺嚴(yán)格的隔離、診治和預(yù)防措施，民眾對埃博拉病毒的危害性有充分的認識，開始廣泛采取噴灑消毒液、戴口罩、服用中藥、較少與人接觸等預(yù)防措施，控制階段與自由傳播階段的不同表現(xiàn)為：ty銳減（由于隔離政策），r下降和ζ上升（由于民眾防范意識上升）；過渡階段是指由于埃博拉病毒染病人數(shù)積累到一定數(shù)量后，民間已經(jīng)有了一些消息，但政府還沒有正式的疫情解釋和行之有效的防范措施，這時候ty會有少許的下降，主要是因為部分患者較早意識到問題的嚴(yán)重性，從而主動到醫(yī)院就醫(yī)，同時r也會有一些下降并伴隨著ζ的少許上升，但遠不如控制階段明顯，因此叫做過渡階段。

2.3 SIRSLS模型的構(gòu)建

真實流行病學(xué)中，低易感個體如果和感染個體接觸不會馬上被感染，只是失去這部分免疫力變成易感個體，針對這種感染機制，醫(yī)學(xué)界提出了一種新的符合實際的傳染病傳播模型——具有低易感的傳染病模型（即SIRSLS模型）。

對于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，由于度分布呈冪律形式，即網(wǎng)絡(luò)中的度很不均勻，因而對于不同度值的節(jié)點需要作不同的處理。用sk（t）、ik（t）、rk（t）、lsk（t）分別表示網(wǎng)絡(luò)中度為k的易感節(jié)點、感染節(jié)點、康復(fù)節(jié)點和低易感節(jié)點在t時刻占總節(jié)點的比例，且滿足如下關(guān)系式：

而在整個BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中t時刻感染節(jié)點的比例為：

式中，ik（t）表示度為k的染病節(jié)點在t時刻的感染密度；P（k）表示節(jié)點的度分布情況的分布函數(shù)。

根據(jù)平均場理論，SIRSLS模型在BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的傳播過程可以用下面的微分方程組表示：

式中，Θk（t）在t時刻度為k的節(jié)點有一條邊指向染病節(jié)點的概率；ik（t）表示度為k的染病節(jié)點在t時刻的感染密度；λ表示通過一條邊與染病節(jié)點相連時的感染概率；δ表示免疫喪失率；μ表示免疫保留率。

則在t時刻度為k的節(jié)點有一條邊指向染病節(jié)點的概率為：

式中，〈k〉表示網(wǎng)絡(luò)的平均度，即網(wǎng)絡(luò)上所有節(jié)點的平均值。

方程組（7）的解析解難以求解，當(dāng)傳播過程達到穩(wěn)定狀態(tài)（或傳播結(jié)束）時，傳染病的傳播機理有特殊意義，因此求其特解。

當(dāng)t→ ∞ 時，ik（t）、rk（t）、lsk（t）不再發(fā)生變化，此時，由此可得方程組的穩(wěn)態(tài)解。

其傳播閾值為：

與小世界網(wǎng)絡(luò)一樣，在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中SIRSLS模型的傳播閾值也是和網(wǎng)絡(luò)的拓撲結(jié)構(gòu)、免疫喪失率和免疫保留率有關(guān)。但是在無限大的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，〈k〉→∞，此時傳播閾值趨于零。當(dāng)μ＝0時，其傳播閾值為

2.4 系統(tǒng)演化

試驗中取tq＝13，ty＝20，χ＝0.99，η＝ζ＝1.0，網(wǎng)絡(luò)中有500人。利用建立的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中SIRSLS模型進行系統(tǒng)演化500d后累計染病人數(shù)的時間序列（在不同接觸概率r下）如圖1所示。

若任由疾病自由傳播，即使接觸概率較低，也會波及系統(tǒng)中的大多數(shù)人，但并非所有的人都會被傳染，這一點是傳統(tǒng)的傳染病模型較難解釋的。研究發(fā)現(xiàn)，染病人數(shù)上限存在的原因，不是源于某些擁有特強免疫能力的個體，而是網(wǎng)絡(luò)自身從高擴散能力結(jié)構(gòu)逐步演化為低擴散能力結(jié)構(gòu)，在不同τ（網(wǎng)絡(luò)擴散能力因子）值下，其網(wǎng)絡(luò)擴散能力演化過程如圖2所示。從圖2可以看出，不同的網(wǎng)絡(luò)擴散能力因子都存在感染人數(shù)上限，且隨著τ值的下降感染人數(shù)上限也隨之下降，因而通過網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)自身的這種免疫機制可以阻止埃博拉病毒的傳播。

因為只有處于傳染期的病人與健康人之間的接觸，才可能導(dǎo)致埃博拉病毒的傳播，所以用連接正處于傳染期的病人與健康人的邊的數(shù)目來衡量該網(wǎng)絡(luò)目前的擴散能力。可以發(fā)現(xiàn)，在傳播過程中，τ值經(jīng)歷了從小到大、又從大到小的過程。初始時患病者很少，所以τ值也小，然后隨著患者的增多，τ值也隨之增加；在傳播了一段時間后，由于一些患病者失去了傳染能力，而且健康者人數(shù)下降，因此τ隨之下降。當(dāng)τ值下降到某個很小的值后，新的傳染事件成為一個小概率事件，如果在一段時間內(nèi)該事件不發(fā)生（所有對τ值有貢獻的病人經(jīng)過了傳染期），τ值將變成0值，從而累計患病人數(shù)達到上限。圖1中2條曲線分別表示接觸概率為0.020和0.015的2次試驗中τ值的演化，從中可以看到類似單峰的形態(tài)。

圖1 自由傳播時染病人數(shù)的時間曲線圖

圖2 網(wǎng)絡(luò)擴散能力演化示意圖

3 幾內(nèi)亞埃博拉病毒傳播模型的仿真試驗

根據(jù)世界衛(wèi)生組織發(fā)布數(shù)據(jù)顯示，截止2014年8月，幾內(nèi)亞共有495例感染，死亡363例；利比里亞感染516例，死亡282例；塞拉利昂感染691例，死亡286例?？梢钥闯?，幾內(nèi)亞死亡人數(shù)居首位。下面，以幾內(nèi)亞作為研究對象，分析埃博拉病毒在該區(qū)域的傳播情況。

雖然基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的埃博拉病毒傳播模型討論了埃博拉病毒傳播的動力學(xué)性質(zhì)，但該模型處理的只是一個規(guī)模為500人的封閉系統(tǒng)，而幾內(nèi)亞的人口數(shù)目超過千萬，超出處理能力數(shù)個量級。因此，該模型并不能解釋真實數(shù)據(jù)。下面，筆者對該模型做外推處理，使其能夠在一定程度上解釋真實數(shù)據(jù)。

在模擬真實的仿真模型中，整個系統(tǒng)被分為醫(yī)院外和醫(yī)院內(nèi)2個部分。在醫(yī)院外選擇了7000個節(jié)點，每個節(jié)點代表總?cè)藬?shù)為2000的一個相對封閉的子系統(tǒng)。任意2個子系統(tǒng)都有可能以一個較小的概率產(chǎn)生“接觸”，在單位時間里，2個子系統(tǒng)的接觸使得分別位于2個子系統(tǒng)內(nèi)部的一對節(jié)點狀態(tài)互換。一個健康的子系統(tǒng)是指系統(tǒng)內(nèi)部所有個體都是健康的，其他情況的系統(tǒng)都被認為是不健康的，埃博拉病毒從一個不健康系統(tǒng)向健康系統(tǒng)的傳播源于該系統(tǒng)中的染病個體在與健康系統(tǒng)接觸中被選中并進行了狀態(tài)互換。子系統(tǒng)內(nèi)部的埃博拉病毒傳播情況可以用隨機演化模型處理，由于人數(shù)都是2000，實際上可以統(tǒng)一處理。系統(tǒng)初始時隨機選擇某個系統(tǒng)中的某個個體為初發(fā)疾病的患者，然后按照既定的規(guī)則自發(fā)演化。病人在發(fā)病一段時間后將被移入醫(yī)院，這段時間的長短與政府隔離政策的執(zhí)行力度有關(guān)。醫(yī)院系統(tǒng)共有10000個醫(yī)生，病人在進入醫(yī)院后立刻與其中5名醫(yī)生形成接觸關(guān)系，并且每天與這些醫(yī)生接觸1次，當(dāng)然，由于嚴(yán)格的消毒措施，醫(yī)生的免疫防護能力與一般易感人群時不一樣的。需要說明的是，在這個模型的初步討論中，依然不考慮超級傳播者事件。同時假設(shè)治愈出院的病人數(shù)量不對系統(tǒng)的整體行為產(chǎn)生影響。

3.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

在仿真試驗之前，首先需要進行一些數(shù)據(jù)挖掘和預(yù)處理的工作。以幾內(nèi)亞的數(shù)據(jù)為例，可以得到的數(shù)據(jù)是累積到某天的確診人數(shù)，這僅是模型中已被醫(yī)院收入的染病者的一部分，另一部分應(yīng)從真實數(shù)據(jù)中累積到某天的疑似病例中產(chǎn)生，這里就需要估計疑似病例中有多少是埃博拉病毒感染者。為此，筆者給出了如下處理辦法。

定義y（t）表示t時刻后發(fā)現(xiàn)的疑似病例總數(shù)，z（t）表示t時刻后疑似病例轉(zhuǎn)為確診病例的總?cè)藬?shù)。設(shè)原確診人數(shù)的時間序列為｛x（t）｝，修正后的時間序列為｛x＊（t）｝，時間序列的起點為t0，t時刻從人群中發(fā)現(xiàn)的確診病例為l（t），新增疑似病例為h（t）。這里l（t）和h（t）可以看作初始時刻確診病例總數(shù)和疑似病例總數(shù)。y、z、x、h、l是已知的，x＊是待求的。下面給出一種簡單算法：

幾內(nèi)亞埃博拉病毒病死亡人數(shù)隨時間變化修正前后死亡人數(shù)對比圖如圖3所示。需要說明的是，仿真試驗時使用修正后的數(shù)據(jù)。

由于無法獲知最初感染者的發(fā)病時間，因此最初感染者發(fā)病時間距離公布數(shù)據(jù)的t0時刻（幾內(nèi)亞埃博拉首例報告期）的長度也是有待確定的參數(shù)之一。為此選擇不同的參數(shù)進行了大量試驗，盡可能使得因埃博拉病毒死亡人數(shù)的時間序列與真實數(shù)據(jù)相吻合，再利用最小二乘法從中選擇最優(yōu)擬合參數(shù)來計算幾內(nèi)亞在未來一年的感染人數(shù)。

3.2 仿真結(jié)果分析

在無疫苗條件下幾內(nèi)亞埃博拉病毒感染者每日死亡人數(shù)預(yù)測曲線圖如圖4所示。從圖4可以看出，爆發(fā)初期，死亡人數(shù)是每天7人（自由傳播階段），此時政府采取了相關(guān)措施，如隔離、滅菌和保護等。由于埃博拉病毒通常在死亡后的感染者體內(nèi)存活達數(shù)個小時，傳播源往往是死亡的動物或病人尸體。直接或間接物理接觸死亡病人的體液、血液、污染物（衣服、被單）等都有可能導(dǎo)致感染，因而必須對病人尸體進行火化處理才能有效防止病毒感染。在經(jīng)歷一段時間的隔離措施后，隨著生活環(huán)境的改善，病毒的傳染速度將會得到控制，因而每天的死亡人數(shù)下降到2人左右（過渡階段）。但是，由于人群對防疫措施的不夠重視，比如允許病人外出等原因，導(dǎo)致死亡人數(shù)又會很快上升。因為政府重新出臺防疫條例并加強改善居住環(huán)境，使得病毒傳染重新得到控制，因而每日死亡人數(shù)逐漸穩(wěn)定在2～3人（控制階段）。當(dāng)然，后期如果要徹底消滅埃博拉病毒，還必須加速研制疫苗和藥物。

圖3 幾內(nèi)亞埃博拉病毒感染者隨時間變化修正前后死亡人數(shù)對比圖

圖4 在無疫苗條件下幾內(nèi)亞埃博拉病毒感染者每日死亡人數(shù)預(yù)測曲線圖

4 結(jié)語

城市化和全球化使得人類交往更加密集、快速和頻繁，這增加了傳染病擴散的可能性，加之傳染病傳播途徑增多以及部分病原體變異毒性增強等因素，更加大了傳染病防控的難度。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論為研究傳染病的防控提供了新的方法，為控制真實網(wǎng)絡(luò)中的病毒傳播提供了重要的理論依據(jù)。以幾內(nèi)亞為例，利用區(qū)域埃博拉傳播模型對埃博拉病毒在該區(qū)域的傳播情況進行分析，認為埃博拉病毒傳播率在小規(guī)模范圍內(nèi)有所波動，但是最終會下降并趨于穩(wěn)定狀態(tài)。針對上述情況，可以采取相關(guān)措施，即通過改進免疫策略來阻止傳染病傳播、加速疫苗與病毒治療藥物的研究和加大疫情防控知識的宣傳，由此減少并最終阻斷埃博拉病毒的傳播。

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