數(shù)列求和的基本方法

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中占有重要的地位.數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，有些求和問題由于形式復(fù)雜，使學(xué)生感到束手無策，因此數(shù)列求和方法值得我們探討，大部分?jǐn)?shù)列的求和都具有一定的規(guī)律——求和先看通項(xiàng).

一、等差等比數(shù)列求和——公式法

等差數(shù)列求和的公式：

1.等差數(shù)列求和公式：Sn==na1+d

2.等比數(shù)列求和公式：Sn=na1 （q=1）

=

（q≠1）

例1.（1）求數(shù)列3，6，9，12…的前n項(xiàng)和：

（2）求數(shù)列1，2，4，8…的前n項(xiàng)和：2n-1

注：①等差數(shù)列求和注意三點(diǎn)：首項(xiàng)，公差，項(xiàng)數(shù)

②等比數(shù)列求和注意三點(diǎn)：首項(xiàng)，公比，項(xiàng)數(shù)

③等差等比求和公式中項(xiàng)數(shù)易錯(cuò)

二、數(shù)列通項(xiàng)an=等差+等比——分組法求和

有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常數(shù)列的和或差，用分組求和.

例2.（1）數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n+2n-1，求前n項(xiàng)和.

【分析】數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=2n+2n-1，而數(shù)列{2n}和{2n-1}分別是等比數(shù)列、等差數(shù)列，用分組結(jié)合法：

解：Sn=（21+1）+（22+3）+…+（2n+2n-1）

=（21+22+…+2n）+（1+3+…+2n-1）

=2n+1-2+n2

三、an=——列項(xiàng)求和

列項(xiàng)求和的特點(diǎn)是將原數(shù)列每一項(xiàng)拆為兩項(xiàng)之后，其中中間的大部分項(xiàng)都互相抵消了，只剩下有限的幾項(xiàng).

例3.求Sn=1+++…+

【分析】.求和先看通項(xiàng)，此數(shù)列的通項(xiàng)an==2（-），用列項(xiàng)求和.

解：Sn=2[（1-）+（-）+（-）+…+（-）]

=

練習(xí)：在數(shù)列{an}中，an=++…+，又bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.

注：裂項(xiàng)后返回去驗(yàn)證配湊k.

四、an=等差-等比——錯(cuò)位相減法

求和時(shí)一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個(gè)數(shù)列的等比數(shù)列的公比q；然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯(cuò)位相減法，錯(cuò)位相減是推導(dǎo)等比數(shù)列求和的方法。

例4.求Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）

【分析】{（2n-1）xn-1}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n-1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{xn-1}的通項(xiàng)之積，用錯(cuò)位相減法.

解：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+（2n-1）xn-1（x≠1）………①

xSn=1x+3x2+5x3+7x4+…+（2n-1）xn………（設(shè)制錯(cuò)位）②

①-②得（1-x）Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-（2n-1）xn

∵x≠1

∴（1-x）Sn=1+2x·-（2n-1）xn

∴Sn=

注：①要考慮當(dāng)公比x為值1時(shí)為特殊情況

②錯(cuò)位相減時(shí)要注意末項(xiàng)

練習(xí)：設(shè)a≠0求數(shù)列a，2a2，3a3…nan…的前n項(xiàng)和

五、距首末距離相等的兩項(xiàng)和相等——倒序相加

倒序相加是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加.

例5.求證：C0

n+3C1

n+5C2

n+…+（2n+1）Cn

n=（n+1）2n

證明：設(shè)Sn=C0

n+3C1

n+5C2

n+…+（2n+1）Cn

n…………①

把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得：

Sn=（2n+1）Cn

n+（2n-1）Cn-1

n+…+3C1

n+C0

n

QCm

n=Cn-m

n

∴Sn=（2n+1）C0

n+（2n-1）C1

n+…+3Cn-1

n+Cn

n…………②

①+②得：2Sn=（2n+2）（C0

n+C1

n+…+Cn-1

n+Cn

n）=2（n+1）·2n

∴Sn=（n+1）·2n

需要提醒的是，通過此方法可發(fā)散出倒序相乘.

數(shù)列求和問題雖然很難，但總可以通過找出共同特點(diǎn)和規(guī)律或進(jìn)行恒等變換得到解決的途徑.以上幾種方法是求數(shù)列較適用的方法，是從根本上認(rèn)識(shí)數(shù)列求和.類型較全，公式簡單易懂，對(duì)學(xué)好數(shù)列求和有很大的幫助.

·編輯 趙飛飛