對一道三角形面積最值題的解法探討

原題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，其外接圓半徑為6，且a+c=16.求△ABC面積的最大值.

此題是甘志國老師率先提出，他在《數(shù)學(xué)通訊》論壇里發(fā)了他的解法，引起了不小的爭論。解法如下：由正弦定理及題設(shè)可得BA+BC=16，所以點B在以A，C為焦點、長軸長為16的橢圓上，當(dāng)點B從短軸的端點向長軸的端點移動時，△ABC的面積S在減小.不妨設(shè)點B在橢圓弧上運動且∠BAC是銳角，得S隨∠BAC的減小而減小.

事實上底邊AC的長是隨著點B的位置不同而變化的，而設(shè)AC的長不變，解出的結(jié)果似有不妥.

我的解法：

由于圓內(nèi)接三角形的對稱性，當(dāng)AB取一有定義時的值時，對應(yīng)著四種三角形（如圖），解此題只需考慮這種情況：即固定A點，A，B，C三點在圓上按順時針方向排列.它又分為兩種情況：點B在AO連線下方與點B在AO連線上方.

當(dāng)點B在AO連線上及其下方時，面積的最小值為0，最大值為16，此種情況不再贅述.下面只考慮另一種點B在AO連線上及其上方的情況：

當(dāng)AB=4時，角B最小，角A為直角；當(dāng)AB=8-2時，角B為直角；當(dāng)AB=8時，角B最大，為鈍角.

設(shè)AB=8-m，則m的范圍為（-4≤m≤4），所以BC=8+m，三角形ABC的面積為：

f（m）=（8-m）（8+m）[（8-m）+（8+m）]

顯然這個函數(shù)是個偶函數(shù)，只需證明m∈[-4，0]上的單調(diào)性即可.

事實上，當(dāng)m∈[-4，-2]時，y1=（8-m）（8+m）是增函數(shù)，且y1>0；角B由銳角增大為直角，所以y2=sinB也是增函數(shù)，且y2>0.

所以f（m）在m∈[-4，-2]上一定是增函數(shù)，函數(shù)值最大為28.

因此，只需證當(dāng)m∈[-2，0]上，函數(shù)為增函數(shù).

由于y1=（8-m）（8+m）在m∈[-2，0]上是增函數(shù)，而y2=sinB在m∈[-2，0]上是減函數(shù)，

當(dāng)m∈[-2，0]時，函數(shù)f（m）的單調(diào)性不好判斷，求導(dǎo)又不便，因而需要進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化.

考慮到g（m）=sinB，當(dāng)m∈[-2，0]時是減函數(shù)，且值域為[，1]，而h（m）=，當(dāng)m∈[-2，0]時也是減函數(shù)，且值域為[，1]，且恒有g(shù)（m）≥h（m）>0，僅當(dāng)m=-2時，g（-2）=h（-2）=1，

可用F（m）=g（m）×h（m）=替代f（m）來證明m∈[-2，0]時的單調(diào)性.

∵F′（m）=，∴m∈[-2，0]時，F(xiàn)′（m）≥0，f（m）在m∈[-2，0]上是增函數(shù)，結(jié)合第一種情況，△ABC面積的最大值為≈31.8.

·編輯 趙飛飛