淺析三角函數(shù)問題的解決思路

摘 要：三角函數(shù)是初等數(shù)學的重要內(nèi)容，研究了三角函數(shù)問題的三種共性解決思路，并給出了相應的例題解析，進而為解決三角函數(shù)問題提供技巧和方法.

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；轉(zhuǎn)變；分式型

解決三角函數(shù)問題時，處理的對象一般是變量的個數(shù)、次數(shù)的高低和項數(shù)的多少等，從這些方面入手，認真審題，周密思考，充分挖掘問題中的隱含條件，就能化繁為簡，順利解決問題.下面筆者就三角函數(shù)問題的特點，歸納出三種解決思路，以期拋磚引玉.

思路一：將多個三角函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€三角函數(shù)

（1）y=asinx+bcosx=sin（x+φ），其中tanφ=.

（2）y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x+d=sin2x+cos2x+

=sin（2x+φ）+，其中tanφ=.

例1.已知函數(shù)f（x）=2sin2ωx+2sinωxsin（-ωx）（ω>0）的最小正周期為π，求ω的值.

解析：此函數(shù)雖略顯復雜，但把ωx看成一個整體后，該函數(shù)仍可變形為只含一個三角函數(shù)的形式.

f（x）=1-cos2ωx+2sinωxcosωx=1-cos2ωx+sin2ωx

=sin2ωx-cos2ωx+1=2sin（2ωx-）+1，因為函數(shù)f（x）的最小正周期為π，且ω>0，所以=π，得到ω=1.

思路二：將三角函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉魏瘮?shù)

（1）y=asin2x+bsinx+c

（2）y=acos2x+bsinx=a（1-2sin2x）+bsinx=-2asin2x+bsinx+a

（3）y=a（sinx+cosx）+bsinxcosx，令t=sinx+cosx，則t∈[-，]，sinxcosx=，則原函數(shù)可化為：y=at+b×=t2+at-.

例2.求函數(shù)f（x）=cos2x-8cosx+7（0≤x≤π）的值域.

解析：此函數(shù)形式可變形為一元二次函數(shù)的形式.

f（x）=2cos2x-1-8cosx+7=2cos2x-8cosx+6=2（cosx-2）2-2，

∵ 0≤x≤π，∴ -1≤cosx≤1，∴ f（x）min=2（1-2）2-2=0，

f（x）max=2（-1-2）2-2=16，即f（x）∈[0，16].

思路三：分式型三角函數(shù)的常用處理手段

（1）y=，此式可轉(zhuǎn)化為sinx=，接著sinx≤1?d-by≤ay-c?（ay-c）2-（by-d）2≥0?[（a-b）y+d-c][（a+b）y-（c+d）]≥0.由此解出y的范圍.

（2）y=，此式可轉(zhuǎn)化為aysinx-ccosx=d-by，接著sin（x+φ）=d-by?sin（x+φ）=（d-by）/，其中tan（x+φ）=，由sin（x+φ）≤1?（d-by）2≤a2y2+c2，從而解出y的范圍.

例3.已知x∈（0，），求函數(shù)y=的最小值.

解析：典型的分式型三角函數(shù)，借助正弦函數(shù)的取值范圍，能順利解決。

y==，

∵ x∈（0，），∴5-3cos2x>0，sin2x>0，∴y>0.

上式可變形為ysin2x+3cos2x=5。sin（2x+φ）=5，其中tanφ=，

∵sin（2x+φ）≤1，∴y2+9≥25，∴y≥4，即ymin=4.

·編輯 趙飛飛