高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)幾何意義的妙用

在高中數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是從“形”的角度對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的定性解釋?zhuān)诮鉀Q某些函數(shù)問(wèn)題時(shí)能起到重要作用.本文將從以下兩個(gè)角度探究導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用.

一、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)f ′（x0）從代數(shù)上表示函數(shù)f （x）在x=x0處的瞬時(shí)變化率，其幾何意義是曲線y=f （x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處切線的斜率.因此，我們可以利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，也可將導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為切線的斜率.

【例1】（2014北京大興一模文）給出下列函數(shù)：①f （x）=[x][]；②f （x）=x2；③f （x）=2x；④f （x）=log2x.則滿(mǎn)足關(guān)系式f ′（2）>f（3）-f（2）>f′（3）的函數(shù)的序號(hào)是 .

【解析】f′（2），f′（3）可分別看作函數(shù)y=f （x）在點(diǎn)（2，f（2）），（3，f（3））處切線的斜率，f（3）-f（2）=可看作連接（2，f（2）），（3，f（3））兩點(diǎn)直線的斜率.

易知，①④函數(shù)圖象具有共同特點(diǎn)：圖象在（0，+∞）上都是遞增且向上凸的，如圖1所示；②③函數(shù)圖象具有共同特點(diǎn)：圖象在（0，+∞）上都是遞增且向下凸的，如圖2所示（其中l(wèi)1表示函數(shù)在點(diǎn)（2，f（2））處的切線，l2表示連接（2，f（2）），（3，f（3））兩點(diǎn)的直線，l3表示函數(shù)在點(diǎn)（3，f（3））處的切線）：

[l3][l2][l1][y][x][O][（3，f（3））][（2，f（2））] [（3，f（3））][（2，f（2））][l1][l2][l3][x][y][O]

圖1 圖2

直線的斜率k和傾斜角θ的函數(shù)關(guān)系為k=tanθ（0≤θ<π且θ≠），其在（0，）上單調(diào)遞增.在圖1中，l1，l2，l3三條直線傾斜角θ1，θ2，θ3均為銳角，且θ1>θ2>θ3，所以[k][l1]>[k][l2]>[k][l3]，即f ′（2）>f（3）-f （2）>f′（3）；在圖2中，l1，l2，l3三條直線傾斜角θ1，θ2，θ3均為銳角，且θ1<θ2<θ3，所以[k][l1]<[k][l2]<[k][l3]，即f ′（2）

所以答案為②③.

【評(píng)注】由本題可以看出，導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)可從數(shù)和形兩個(gè)角度理解，數(shù)的角度理解為瞬時(shí)變化率，形的角度理解為切線的斜率。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，既要幫助學(xué)生從兩個(gè)角度準(zhǔn)確理解導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)，又要引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)和形結(jié)合起來(lái)，能靈活地進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

二、導(dǎo)數(shù)幾何意義在運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題中的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)f ′（x0）的幾何意義是曲線y=f （x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處切線的斜率.它可以理解為一個(gè)運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程中的一個(gè)極限，即當(dāng)點(diǎn)P（x，f（x））沿著曲線f （x）趨向于點(diǎn)P0（x0，f（x0））時(shí)，割線PP0趨近于確定的位置，即y=f （x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處切線，而割線的斜率趨近于y=f （x）在點(diǎn)（x0，f（x0））處切線的斜率f ′（x0）.因此導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以幫助我們解決某些圖形中的運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題.

【例2】（2014年高考北京卷理數(shù)）已知函數(shù)f （x）=xcosx-sinx，x∈[0，]，

（1）求證：f （x）≤0；

（2）若a<

【說(shuō)明】對(duì)于本題只解析第（2）問(wèn)，并且方法更適合解決填空題.

【解析】=可看做過(guò)點(diǎn)P（x，sinx）和原點(diǎn)O（0，0）的直線的斜率，其中P（x，sinx）為函數(shù)y=sinx（0

[P2][x][y][O] [P1][P0][][1]

由圖可知，當(dāng)P（x，sinx）從O移動(dòng)到P0時(shí)，kPO=逐漸減小，一方面，易知[k][P0]O=，所以kPO=>[k][P0]O=；另一方面，當(dāng)P逐漸接近O，即x→0時(shí)，割線PO逐漸接近于y=sinx在O（0，0）處的切線，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，kPO=逐漸增大到y(tǒng)=sinx在O（0，0）處切線的斜率[（sinx）′] [x=0]=cos0=1，所以kPO=<1.

綜上所述，<<1.又因?yàn)閍<

【評(píng)注】由此題可知，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，不但要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度理解導(dǎo)數(shù)的概念，還要幫助學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，即從平均變化率到瞬時(shí)變化率的極限過(guò)程，也是從割線到切線的極限過(guò)程，這都是運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程。

綜上所述，導(dǎo)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念，教師要幫助學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)角度理解其本質(zhì)，并要重視在數(shù)和形兩個(gè)方面概念的形成過(guò)程。

·編輯 趙飛飛