多元表征理論指引下的解題教學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)很大程度上就是問題解決的教學(xué)，尤其是高三復(fù)習(xí)階段的教學(xué)。在現(xiàn)今的高考模式下，很多學(xué)校都安排一整個學(xué)年（甚至更長時間）進(jìn)行復(fù)習(xí)，都很注重夯實(shí)基礎(chǔ)知識，通過大量訓(xùn)練促進(jìn)思想方法的領(lǐng)悟，但是效果總有不盡如人意的地方。常常出現(xiàn)反復(fù)練、反復(fù)講的題目隔了一段時間又不會的現(xiàn)象，碰到稍微新一點(diǎn)的題目又往往手足無措。究其原因，一方面是基礎(chǔ)知識思想方法掌握的欠缺，另一方面是學(xué)生對數(shù)學(xué)問題的理解認(rèn)識不到位，也就是審題方面出了問題。這兩方面都是與學(xué)生對數(shù)學(xué)對象的認(rèn)知程度的深淺有密切關(guān)聯(lián)的，前者依賴于對概念的合理表征從而形成深刻系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)及方法體系，后者側(cè)重于根據(jù)已有的知識經(jīng)驗(yàn)對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行意象的多元建構(gòu)及靈活選擇，從而發(fā)現(xiàn)解題思路。本文就這兩個方面結(jié)合筆者在教學(xué)實(shí)踐中的體會作一些探討，希望能夠拋磚引玉。

一、概念的多元表征促進(jìn)思想方法的滲透

數(shù)學(xué)中的問題都是圍繞概念構(gòu)成的，要想深入理解問題，必須先對題中的關(guān)鍵概念進(jìn)行合理表征。而實(shí)際上，在大多數(shù)情況下數(shù)學(xué)概念的內(nèi)在表征又并非相應(yīng)的嚴(yán)格定義，而是一種由多種成分組成的復(fù)合物，包括相應(yīng)的心智圖象，對其性質(zhì)及相關(guān)過程的記憶以及具體的例子等。因此，教師應(yīng)最大限度地喚醒學(xué)生頭腦中的這些意象，并根據(jù)題目的要求引導(dǎo)學(xué)生對不同的心理表征進(jìn)行聯(lián)系轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生形成科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎挤绞?，滲透數(shù)學(xué)思想方法。

案例1：已知函數(shù)y=ax2-x-1只有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

高中數(shù)學(xué)中函數(shù)零點(diǎn)的嚴(yán)格定義是這樣的：一般地，對于函數(shù)y=f（x），我們把方程f（x）=0的實(shí)數(shù)根x叫作函數(shù)y=f（x）的零點(diǎn)。即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為0的自變量的值。學(xué)生在剛學(xué)這個內(nèi)容時，已經(jīng)形成了一些感性的認(rèn)識，容易引起誤解的是很多人把零點(diǎn)看成函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，這是定勢思維所帶來的不良影響，但通過后續(xù)的學(xué)習(xí)和老師的強(qiáng)調(diào)，會糾正這個錯誤，在他們的頭腦中會形成一個穩(wěn)定的印象，零點(diǎn)不是點(diǎn)，而是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，這是圖形的觀念，另一方面，要求出這個坐標(biāo)，必須解相應(yīng)的方程，即f（x）=0的根，這是數(shù)的觀念。從圖形角度來研究，討論該函數(shù)的圖象形狀（直線或拋物線）、開口方向，結(jié)合圖象過定點(diǎn)（0，-1），可知有三種情形：a>0時，不合題意；a=0時成立；a<0時，Δ=0，得a=-。從方程角度來研究，a=0時一次方程只有一根符合題意，a≠0時，二次方程有兩重根，即Δ=0。這也充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程的密切聯(lián)系，滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。此外，從代數(shù)角度而言，方程可以作很多同解變形，可以等價轉(zhuǎn)化為其他的等式形式，如ax2=x+1，a=+，前者的幾何意義是動曲線和定直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，后者的幾何意義是動直線與定曲線的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，通過代數(shù)形式的轉(zhuǎn)化，使得函數(shù)零點(diǎn)的身份從函數(shù)曲線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)推廣到一般意義下兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，極大地豐富了零點(diǎn)概念的內(nèi)涵和外延，同時也滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法。

由此可見，通過對概念間的不同表征成分的分析聯(lián)系轉(zhuǎn)換，幫助學(xué)生用發(fā)展的觀點(diǎn)看待靜止的概念，使得枯燥單調(diào)的數(shù)學(xué)概念變得“鮮活”起來；用聯(lián)系的眼光去整合學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)和新學(xué)的概念，形成更高水平的知識建構(gòu)，這樣的學(xué)習(xí)才是生動活潑的，才是意義長遠(yuǎn)的。

二、數(shù)學(xué)命題的合理表征培養(yǎng)思維的深刻性

在高三教學(xué)中，經(jīng)常會出現(xiàn)一講就懂、一考就懵的情形，這就說明很多學(xué)生對知識技能基本掌握，但遇到問題時，不太會分析題意，往往審題不清，陷入迷茫境地。那么如何審題，也就是如何對數(shù)學(xué)命題進(jìn)行表征是至關(guān)重要的。學(xué)生必須先細(xì)致全面地掌握問題的條件和結(jié)論，分析題目的結(jié)構(gòu)特征，才能通過聯(lián)想激活已有的知識和經(jīng)驗(yàn)，探索解題的思路。

案例2：設(shè)不等式mx2-2x-m+1<0對于滿足-2≤m≤2的m值都成立，求x的取值范圍。這是一個常見的主元轉(zhuǎn)換的問題，解法也很簡單，但學(xué)生往往不易掌握，可能會記住解法，短時間內(nèi)進(jìn)行模仿操作，時間一長就容易遺忘。從表征理論來看，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對題目形成一些初步的認(rèn)識。

（1）這是一個不等式恒成立問題。

（2）m在區(qū)間[-2，2]上變化，即m可以是區(qū)間[-2，2]上的任意一個值。

接下來關(guān)鍵是對m與x的關(guān)系進(jìn)行研究，當(dāng)x取某個值時，命題成立等價于m取遍[-2，2]上的任意一個實(shí)數(shù)時，不等式恒成立，從而有了更深的認(rèn)識。

（3）相對m變化時，x是不變的。（即參量為x，變量為m）

（4）mx2-2x-m+1是m的函數(shù)。令f（m）=mx2-2x-m+1，即f（m）<0在-2≤m≤2時恒成立，求參數(shù)x的取值范圍。

至此，本題的難點(diǎn)得到突破，問題的本質(zhì)得以揭示，但從幫助學(xué)生達(dá)到更高思維活動水平這個角度來看，我們還可以從已有的知識經(jīng)驗(yàn)中激發(fā)聯(lián)想出更豐富的表征形式。

（5）問題符號化表征為?m∈[-2，2]，f（m）<0是一個全稱命題，如何將無數(shù)個f（m）與0進(jìn)行比較，這使得我們很容易聯(lián)想到圖象這個表征方式，由此得到f（m）的圖象是一條線段這個事實(shí)，從而形成最簡的解法f（2）<0

f（-2）<0。

（6）與已有的活動經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，這樣的題目是很常見的，如?x∈[-2，2]，mx2-2x-m+1<0恒成立，求m的取值范圍。

通過比較對照，可以發(fā)現(xiàn)變量與常量的確立不是由字母形式確定的，而是由給出范圍的字母確定的，從而突出了這類題的本質(zhì)，強(qiáng)化了主元思想。

通過這些有序展開的認(rèn)識活動，我們可以發(fā)現(xiàn)在審題時對問題作出的表征會直接影響問題解決的方式和難易程度。因此，從問題的特點(diǎn)出發(fā)，合理地對問題作出表征，通過各種形式的表述，逼近問題的本質(zhì)，才能真正高效地解決問題。而我們遇到的數(shù)學(xué)問題，大部分都是用符號語言來表述的，這也是由數(shù)學(xué)學(xué)科的高度抽象性所決定的，所以我們要做的就是對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行準(zhǔn)確的翻譯和理解，化抽象為具體直觀，可能剛開始這樣的翻譯是模糊的、不嚴(yán)格的、不精確的，甚至有所偏差，但是通過一次次嘗試自覺反思可以找到解題的正軌，如上面案例中“mx2-2x-m+1<0對于滿足-2≤m≤2的m值都成立”，我們可以嘗試對這個問題的一般性進(jìn)行具體化，可以對m在-2≤m≤2時取幾個值，得到具體的幾個關(guān)于x的不等式，發(fā)現(xiàn)最終的某個x值要符合要求必須滿足無數(shù)個不等式，也就是m在-2≤m≤2時任取一值時對應(yīng)的這些不等式，從而發(fā)現(xiàn)相對m變化時，x是不變的，也就確立了m為主元的思想。很多時候我們都可以對復(fù)雜抽象的問題進(jìn)行具體化、特殊化，雖然有時不太嚴(yán)謹(jǐn)，但對我們發(fā)現(xiàn)問題本來的面貌，進(jìn)而得到解題的突破口是大有幫助的。另一方面，學(xué)生對同一問題的表征是很個性化的，他們往往會根據(jù)自身的知識經(jīng)驗(yàn)對問題進(jìn)行重組和整理，教師要引導(dǎo)他們對問題信息和已有經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合理的聯(lián)系、科學(xué)的整合，幫助他們超越原有的知識經(jīng)驗(yàn)，建構(gòu)更高水平的知識結(jié)構(gòu)。這些過程同時也極大地豐富了學(xué)生在學(xué)習(xí)中的思維活動，有效地提高了學(xué)生的思維能力。

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)本質(zhì)就是基于問題解決的教學(xué)，高三階段的復(fù)習(xí)尤其如此，要讓學(xué)生掌握知識，更要幫助學(xué)生靈活運(yùn)用知識解決問題，形成科學(xué)的思維方法，這對學(xué)生實(shí)現(xiàn)短期目標(biāo)以及長遠(yuǎn)發(fā)展都是很重要的。而達(dá)成這一目標(biāo)的教學(xué)載體就是對數(shù)學(xué)對象的合理表征，這也是學(xué)習(xí)活動的起點(diǎn)，不管是概念的表征還是命題表征，我們要旨在多元化的表述問題，在聯(lián)系中研究，在比較中感悟，全方位、多角度地思考問題，有效培養(yǎng)學(xué)生的求異創(chuàng)新思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

鄭毓信.多元表征理論與概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011.

·編輯 趙飛飛