2015年高考江蘇數(shù)學(xué)卷19題解法探究

題目：已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R），

（1）試討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若b=c-a（實數(shù)c是與a無關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)f（x）有三個不同的零點時，a的取值范圍恰好是（-∞，-3）∪（1，）∪（，+∞），

求c的值。

本題考查了函數(shù)的零點、導(dǎo)數(shù)的運算、函數(shù)的極值等知識，涉及函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合和分類討論以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時考查了學(xué)生對多參數(shù)問題的分析處理的能力。下面給出幾種與標(biāo)準(zhǔn)答案不同的解法。

解（1）略

（2）法1：顯然，a=0不合題意。對f（x）求導(dǎo)，f ′（x）=3x2+2ax，令f ′（x）=0，得x=0，或x=-，易知0，-是函數(shù)的兩個極值點，函數(shù)f（x）有三個不同的零點?f（0）·f（-）<0，即（a-c）（a3-a+c）>0，因為此不等式的解集恰好為（-∞，-3）∪（1，）∪（，+∞），此處求解可有兩種思路：

思路一 （方程法）

方程（a-c）（a3-a+c）=0的根應(yīng)為：a=-3，1，（二重根），將它們帶入方程得：c=-3，，1，，經(jīng)檢驗只有c=1時，上述方程的解為：-3，1，。

思路二 （待定系數(shù)法）

因為不等式（a-）2（a-1）（a+3）>0的解集為（-∞，-3）∪（1，）∪（，+∞），所以（a-c）（a3-a+c）=（a-）2（a-1）（a+3），解得c=1。

當(dāng)c=1時，f（x）=x3+ax2+1-a=（x+1）x2+（a-1）x+1-a，因f（x）有三個不同的零點，故x2+（a-1）x+1-a=0有兩個異于-1的根，于是由Δ>0及1+（a-1）（-1）+1-a≠0，得a的取值范圍（-∞，-3）∪（1，）∪（，+∞）。綜上，c=1。

法2：由x3+ax2+1-a=0，得x3+ax2=a-c，令p（x）=x3+ax2，q（x）=a-c，函數(shù)f（x）有三個不同的零點，等價轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)p（x）與q（x）的圖象有三個不同的交點。p′（x）=3x2+2ax，令p′（x）=0，得x=0，或x=-，且易知其為p（x）的兩個極值點，①當(dāng)a>0時，p（x）極大值=p（-）=-，p（x）極小值=p（0）=0，應(yīng)有0

法3：設(shè)函數(shù)f（x）=x3+ax2-a+c，由f ′（x）=0，得x=0，或x=-，當(dāng)a>0時，f（x）極大值=-a+c，f（x）極小值=c-a；當(dāng)a<0時，f（x）極小值=-a+c，f（x）極大值=c-a。令h（a）=-a，易知其圖象關(guān)于原點對稱（如圖），且h（）=-1，h（）=0。將h（a）的圖象上下平移c個單位，有：

[y][h（a）=-a][][][a][-2][-1][2][O]

當(dāng)c>0時，{[a h] （a）>0，a>0}?{[a h] （a）+c>0，a>0}，

{[a h] （a）+c<0，a<0}?{[a h] （a）<0，a<0} （*）

當(dāng)c<0時，{[a h] （a）+c>0，a>0}?{[a h] （a）>0，a>0}

{[a h] （a）<0，a<0}?{[a h] （a）+c<0，a<0}

函數(shù)f（x）有三個零點等價于[h（a）+c]·（c-a）<0?？紤]a<0情況，由h（a）<0得：a∈（-∞，-），而h（a）+c=-a+c<0的解集為（-∞，-3）（**），由（*）式知由h（a）向上平移c個單位，同時c-a>0。由（**）式知-3為方程-a+c=0的根，得c=1，將c=1帶入原函數(shù)f（x）檢驗符合題意。

注：

1.由h（a）圖象平移的對稱性知：當(dāng)函數(shù)f（x）有三個不同的零點時，若a∈（-∞，-）∪（-，-1）∪（3，+∞），則c=-1；特別地，若a∈（-∞，-）∪（，+∞），則c=0；

2.若函數(shù)f（x）有三個不同的零點，將h（a）的圖象向上平移c（c>0）個單位與向下平移個單位，則a的取值范圍關(guān)于原點對稱。

·編輯 段麗君