多元函數(shù)中值得關注的幾個意識

多元函數(shù)是近幾年各地模擬考試的熱點，2014年和2015年高考中多次出現(xiàn)此類題目，常常涉及函數(shù)、方程、不等式、平面幾何等諸多知識，這些問題字母多、式子繁、難度大、綜合性強，很多學生感到無從下手，是教學的一個難點.解決此類問題的策略中蘊涵了豐富的數(shù)學思想和方法，只要把握整體思維思想、利用消元降次、數(shù)形結合等解題方法，許多問題往往會迎刃而解.筆者以為應注重培養(yǎng)和滲透的多種解題意識，舉例說明以期拋磚引玉.

一、靈活使用判別式法，培養(yǎng)等式轉化為方程意識

例1.（2014高考浙江卷文第16題）已知實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為_______.

解題分析：因為a+b+c=0，所以，c=-（a+b），代入a2+b2+[-（a+b）2]=1，

即2a2+2ab+2b2-1=0，將等式視為關于的二次方程有解，只需Δ≥0，

即Δ=4a2-8（2a2-1）≥0，解得-≤a≤，則a的最大值為.

如果通過代換及題中關系式可得到一個關于某個變量的一元二次方程，利用二次方程有解判別式非負可以將問題解決.

二、利用等式消元，培養(yǎng)等式限元意識

例2.（江蘇省南京師大附中2015屆高三最后一卷）設實數(shù)a，x，y，滿足x+y=2a-1

x2+y2=a2+2a-3，則xy的取值范圍是 .

解題分析：由題可得到xy=，此時將所求xy轉化為關于a的函數(shù)，而a的取值范圍即函數(shù)的定義域是解決這個題目的關鍵.只考慮x2+y2=a2+2a-3≥0是不夠的，因為x+y=2a+1

x2+y2=a2+2a-3還藏有（x+y）2≤2x2+2y2這個隱含的關系式壓縮a的取值范圍，推出2-≤a≤2+，則xy的取值范圍是

-

，

+

.

解答多元函數(shù)問題困難的根本原因在于它的多元，因此化多元函數(shù)為一元函數(shù)是解決多元函數(shù)問題的重要途徑之一，消元法本質上是數(shù)學中轉化與化歸思想的一種體現(xiàn).在平時解答多元函數(shù)問題時消元前后的表達式不等價，主要原因是忽視表達式自身的限制和相關等式之間的制約，消元需要“去得明白”，這是實現(xiàn)學生思維邏輯提升的重要所在.

三、利用基本不等式性質，培養(yǎng)不等式放縮意識

例3.（常州市第一中學2015屆高三模擬試卷）設二次函數(shù)f（x）=ax2-4bx+c對于做任意的x∈R，恒有f（x）≥0，且f ′（x）滿足f ′（0）<0，則的最大值 .

解題分析：由f（x）≥0恒成立知a>0

Δ=16b2-4ac，又f ′（0）=2ax-4b且f ′（0）<0，得b>0，則==2-.而4a+c≥2≥8b，所以≥2，于是≤2-2=0.

本題在一個新的環(huán)境下考查利用基本不等式求最值，解題的關鍵是根據(jù)已知條件消掉目標式中的多元，通過對目標式的變形，使用基本不等式轉化為考生所熟悉的求最值的題型；連續(xù)使用同向不等式時要關注不等號方向，保證等號條件的一致性.

四、利用整體處理，培養(yǎng)換元意識

例4.（2014南通一模）設實數(shù)a，b，c滿足a2+b2≤c≤1，則a+b+c的取值范圍 .

解題分析：由a2+b2≤c≤1得a2+b2≤1，可將其視為以原點為圓心1為半徑的圓周及其圓內(nèi)部，可以假設a=rcosθ

b=rsinθ為其中r∈0，1，θ∈0，2π均為參數(shù)，代入a+b+c≥a+b+a2+b2≥r2+r（cosθ+sinθ）≥r2-r=（r-）2-≥-

本例解法在引元消元時，注意到原有自變量都不合適，另外引進變量后則豁然開朗，使問題易于解決.在此特別提醒注意引元范圍，引入變元范圍沒有得到限制是一個易錯點，它的范圍是由原表達式中變量的范圍影響的，引入變元要需要“來得清楚”.

五、利用多組不等條件，培養(yǎng)線性規(guī)劃意識

例5.（常州市第一中學2015屆高三模擬試卷）已知△ABC，設實數(shù)a，b，c滿足b+2c≤3a且c+2a≤3b，則的取值范圍為 .

解析：題目的解題條件除了兩個不等式外，還隱含有三角形成立的條件，這些不等式放在一起構成該題的控制條件，為線性規(guī)劃提供了可能.

依題意可知：b+2c≤3a

c+2a≤3b

a+b>c，a+c

a>0，b>0，c>0?

-2

≤3

+2≤3

1-

>

，1+

>

，

+

>1

a>0，b>0，c>0

設x=，y=，從而有x+2y≤3

y+2≤3x

1+x>y，1+y>x，x-y<1

x>0，y>0，作出可行域圖（略）所示可得：

xA<

與線性規(guī)劃思想有關的問題，近幾年高考試卷中頻頻出現(xiàn)， 縱觀各地的模擬考試試題，線性規(guī)劃方法出現(xiàn)了一些新的變化.從“確定線性可行域”“求解線性目標函數(shù)最值”的基本問題，向確定其中待定的參數(shù)值或范圍”轉變，呈現(xiàn)形式常常與多元函數(shù)有關，加大題目的難度.

·編輯 段麗君