例談方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)非常重要的內(nèi)容，也是每年高考必考的知識(shí)點(diǎn)，所以如何學(xué)好數(shù)列是每個(gè)學(xué)生迫切需要解決的問題.眾所周知，方程思想是高中數(shù)學(xué)一種重要的數(shù)學(xué)思想，函數(shù)與方程可以相互轉(zhuǎn)化，即函數(shù)的一些問題可以用方程思想來解決，而數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，所以數(shù)列的一些問題也可以利用方程思想來處理.

一、求數(shù)列的項(xiàng)

例1.設(shè){an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，求數(shù)列{an}的首項(xiàng).

解：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，由題設(shè)可知：a1+a2+a3=12，因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a1+a3=2a2，代入上式可得：a2=4，則，a1+a3=8， ①

又由題設(shè)可知：a1a2a3=48，則a1a3=12， ②

則①②知，可把a(bǔ)1、a3看作方程x2+8x+12=0的兩個(gè)實(shí)根.

解得x1=2，x2=6.或x1=6，x2=2.

又{an}是遞增等差數(shù)列，則a1

點(diǎn)評：根據(jù)韋達(dá)定理來構(gòu)造一元二次方程要注意根與系之間的關(guān)系，特別是符號(hào)的正負(fù)問題.

例2.數(shù)列{an}中，相鄰兩項(xiàng)an，an+1是方程x2+3nx+bn=0的兩根，若a10，=-17，求b51.

解：由題意得an+1+an=-3n ①

an+1an=bn ②

由①得：an+2+an+1=-3（n+1） ③

③-①得：an+2-an=-3，則a52=a10+×（-3）=-80.

所以a11+a10=-30，又a10=-17，則a11=-13.

故a51=a11+×（-3）=-73，進(jìn)而得b51=a51a52=-73×（-80）=5840.

點(diǎn)評：已知數(shù)列相鄰兩項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系可以由階差法來構(gòu)造一個(gè)高一階或低一階的方程，進(jìn)而作差可求出該數(shù)列或部分?jǐn)?shù)列的通項(xiàng)，最后所求問題就迎刃而解了。

二、求數(shù)列的通項(xiàng)

例3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=0，an+1+Sn=n2+2n（n∈N+），求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍n+1+Sn=n2+2n（n∈N+） ①

用n-1替換①式中的n，可得：an+1+Sn+1=（n-1）2+2（n-1）（n≥2） ②

①-②得：an+1-an+Sn-Sn-1=n2-（n-1）2+2n-2（n-1）

即an+1=2n+1，進(jìn)而可得：an=2（n-1）+1=2n-1（n≥2）

當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，而S1=0，則a1≠S1，所以an=0（n=1）

2n-1（n≥2）

點(diǎn)評：給出數(shù)列的an與Sn的遞推關(guān)系來求數(shù)列的通項(xiàng)，通常用n-1（或n+1）替換遞推式中的n而得到另一個(gè)等式，此方法稱為構(gòu)造方程組法，又叫階差法.

例4.設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1）a2n+1-na2n+an+1an=0，求an.

解：由已知條件因式分解可得：[（n+1）an+1-nan]（an+1+an）=0

因?yàn)閿?shù)列{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以an+1+an≠0，則（n+1）an+1-nan=0，即=，

由累積法可知：×××…×=×××…×，即=，又a1=1，所以an=.

點(diǎn)評：若給出數(shù)列中任意相鄰兩項(xiàng)的齊二次式方程時(shí)，因式分解是首先的方法.

三、求數(shù)列的前n項(xiàng)和

例5.求數(shù)列1，3a，5a2，7a3，…，（2n-1）an-1的前n項(xiàng)和.

解：當(dāng)a=0時(shí)，Sn=1.

當(dāng)a=1時(shí)，Sn=1+3+5+7+…+（2n-1）=n2.

當(dāng)a≠1時(shí)，Sn=1+3a+5a2+7a3+…+（2n-1）an-1 ①

由①式兩邊同乘以a，得aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+（2n-3）an-1+（2n-1）an ②

①-②：得（1-a）Sn=1-（2n-1）an+2a+2a2+2a3+…+2an-1

=1-（2n-1）an+，

所以，Sn=+，

綜上所述，Sn=1（a=0）

n2（a=1）

Sn=

+

（a≠1）

點(diǎn)評：對于含字母的此類問題，首先要討論字母為0或1的情況；當(dāng)字母不為1時(shí)，數(shù)列較復(fù)雜，利用乘公比錯(cuò)位相減法求.

例6.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，以an，Sn為系數(shù)的二次方程x2-4Snx+an+4=0都有根α，β，且滿足+=1，求an與Sn.

解：由韋達(dá)定理知：α+β=4Sn，又αβ=an+4，又+=1，即α+β=αβ，所以4Sn=an+4 ①

用n-1替換n可得：4Sn-1=an-1+4（n≥2） ②

①-②：得：4an=an-an-1（n≥2），即=-（n≥2），

可知數(shù)列{an}是以a1=為首項(xiàng)，q=-為公比的等比數(shù)列，

所以an=a1qn-1=×（-）n-1，代入①可得4Sn=×（-）n-1+4，則Sn=（-）n-1+1.

點(diǎn)評：上述求數(shù)列通項(xiàng)用了階差法，這里要注意的是求數(shù)列的前n項(xiàng)和，其過程是利用①式的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行代入而求得，另外也可以利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式去求得.

·編輯 溫雪蓮