基于Catmull-Rom插值算法光柵分辨率測(cè)試系統(tǒng)改進(jìn)*

楊海馬，王光斌，張 亮，蘇仰慶，黃元申，張大偉，馬賢淑

（1.上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海200093；2.中國科學(xué)院上海技術(shù)物理研究所，上海200083）

基于Catmull-Rom插值算法光柵分辨率測(cè)試系統(tǒng)改進(jìn)*

楊海馬1，2*，王光斌1，張 亮2，蘇仰慶1，黃元申1，張大偉1，馬賢淑1

（1.上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，上海200093；2.中國科學(xué)院上海技術(shù)物理研究所，上海200083）

為了減小探測(cè)器采集及軟件處理導(dǎo)致的系統(tǒng)誤差，提高光柵分辨率檢測(cè)精度，利用半寬度法設(shè)計(jì)了一套滿足李特洛條件的階梯光柵分辨率檢測(cè)系統(tǒng)。搭建了系統(tǒng)的光路，介紹了提高分辨率的方法，重點(diǎn)分析了探測(cè)器像元尺寸對(duì)系統(tǒng)分辨率測(cè)試精度的影響，提出了在LabVIEW軟件中如何根據(jù)離散光譜信號(hào)并利用Catmull-Rom插值構(gòu)造出連續(xù)光譜，提高半寬度法檢測(cè)的精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，在高分辨率測(cè)試系統(tǒng)中，通過軟件算法對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行擬合分析，能有效的解決由像元尺寸造成的系統(tǒng)誤差。

光柵；分辨率檢測(cè)；插值算法；光譜曲線

光柵是光譜儀器的核心光學(xué)元件，分辨率是衡量光柵性能的重要指標(biāo)，因此對(duì)光柵分辨率的測(cè)試結(jié)果將直接影響光柵光譜儀器的性能評(píng)價(jià)。目前對(duì)光柵分辨率的測(cè)試方法主要?dú)w納為3類：①自然雙線法，利用帶寬較窄的自然譜線，經(jīng)光柵衍射后在譜面上測(cè)量衍射光的分辨極限Δλ確定光柵的分辨率；②人工雙線法，利用塞曼效應(yīng)產(chǎn)生可調(diào)的單色譜線，利用譜面位置分析光柵分辨率極限；③譜線半寬度法，根據(jù)瑞利判據(jù)，用光電掃描或成像的方法測(cè)出譜線的半峰寬度Δλ，定量分析光柵的分辨率。譜線半寬度法因其簡便、直觀、有數(shù)據(jù)也有曲線圖的特點(diǎn)成為最常用的測(cè)試方法。

目前，國內(nèi)、外已經(jīng)發(fā)表了許多關(guān)于光柵分辨率影響因素的文獻(xiàn)，但對(duì)光柵光譜曲線中像元尺寸大小及提取算法中像元插值方法引起的分辨率影響分析的還不多。浙江大學(xué)的沈德洪最早提出了全面評(píng)價(jià)光柵分辨率的方法和裝置［1-2］。中科院長春光機(jī)所的孔鵬、巴音賀希格等分析了設(shè)計(jì)參數(shù)如曲率、線槽周期誤差等對(duì)光柵分辨率的影響，對(duì)于測(cè)試系統(tǒng)沒有展開分析［3］。上海理工大學(xué)的裴梓任等分析了光柵分辨率中的窄縫、像元尺寸對(duì)分辨率的影響，但對(duì)光譜邊界的提取方法的影響沒有介紹［4］。中科院上海技物所的錢鋒等研究了像元填充因子對(duì)譜線邊界判斷的影響，提出了加權(quán)質(zhì)心算法確定中心譜線的方法［5］。

在利用半寬度法測(cè)量階梯光柵分辨率的測(cè)試系統(tǒng)中，由光學(xué)系統(tǒng)造成的誤差主要包括光學(xué)系統(tǒng)中照明系統(tǒng)、狹縫寬度、光學(xué)元件的像差等［6-7］。在實(shí)際測(cè)試時(shí)光譜圖像的采集、分析是影響光柵分辨率計(jì)算的重要因素之一。受探測(cè)器像元尺寸大小的影響，采集到的原始圖像一般為一系列離散的光譜點(diǎn)。在光柵分辨率較高的測(cè)試系統(tǒng)中，測(cè)得的原始譜線半高處的寬度（以下簡稱譜線半高寬度），其像的歸一化物理尺寸可達(dá)100 μm。在一個(gè)半高寬度為100 μm，像元尺寸為15 μm×15 μm的CCD光柵分辨率測(cè)試系統(tǒng)中，譜線半高寬度所占的像元點(diǎn)數(shù)只有6.67個(gè)，造成實(shí)際計(jì)算的譜線半高寬具有較大的系統(tǒng)誤差。為保障探測(cè)器的探測(cè)質(zhì)量，探測(cè)器像元尺寸不可能無限小，常用的CCD探測(cè)器像元尺寸范圍為3 μm～20 μm，因此不能通過減小像元尺寸的方法來提高光譜信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)量，只能通過軟件計(jì)算的方法提高譜線半高寬度的計(jì)算精度。

基于以上分析，本文以階梯光柵分辨率測(cè)試系統(tǒng)為例，分析了像元尺寸大小對(duì)譜線半高寬度計(jì)算的影響，設(shè)計(jì)了一套基于LabVIEW軟件的分辨率測(cè)試系統(tǒng)，解決了在像元尺寸固定的情況下如何通過軟件插值提高譜線半高寬度精度的方法，從而提高了傳統(tǒng)光柵分辨率測(cè)試系統(tǒng)的極限測(cè)試精度和測(cè)試過程的自動(dòng)化程度。

1 系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1 系統(tǒng)裝置

階梯光柵是為利用高級(jí)次光譜獲得高分辨率本領(lǐng)和大入射角而特殊設(shè)計(jì)的一種特殊光柵［8］。工作于Littrow條件下時(shí)，入射角等于衍射角等于閃耀角，光柵效率最高。階梯光柵光譜分辨率檢測(cè)系統(tǒng)的光路結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 系統(tǒng)光路結(jié)構(gòu)

圖1分辨率檢測(cè)系統(tǒng)中階梯光柵部分基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)中階梯光柵的基本結(jié)構(gòu)

1.2 分辨率計(jì)算

在圖1分辨率檢測(cè)系統(tǒng)中，系統(tǒng)滿足Littrow條件，即入射角i等于衍射角φ等于閃耀角θ時(shí)，光柵的衍射級(jí)次可以根據(jù)下式求得

階梯光柵方程為：

式中：i為入射角，d為光柵常數(shù)，m為衍射級(jí)次，λ為入射波長，γ為光柵轉(zhuǎn)角，φ為光柵衍射角。

光柵線色散率倒數(shù)為：

式中：f′為焦距。

進(jìn)而求得系統(tǒng)的分辨極限為：

式中：n為光譜曲線半高寬度所占像素點(diǎn)，p為感光元件像元尺寸。

由于檢測(cè)系統(tǒng)狹縫具有一定寬度，相當(dāng)于擴(kuò)展光源，經(jīng)過系統(tǒng)成像后也包含在系統(tǒng)的分辨極限之內(nèi)，為減小狹縫寬度和像差對(duì)系統(tǒng)分辨率造成的影響［9-10］，對(duì)（4）式進(jìn)行修正，得到光柵分辨極限

式中：a′狹縫寬度在光柵檢測(cè)中帶入的光譜展寬，設(shè)a為狹縫寬度，應(yīng)用色散公式計(jì)算得δ′為像差［11］。

利用公式計(jì)算出的光柵分辨率可表示為：

2 采集系統(tǒng)算法改進(jìn)

實(shí)際檢測(cè)系統(tǒng)中根據(jù)離散點(diǎn)計(jì)算譜線的半高寬度所占像元個(gè)數(shù)n時(shí)存在一定的隨機(jī)誤差，對(duì)系統(tǒng)分辨極限計(jì)算造成很大影響。為保障譜線半高寬度計(jì)算精確度，需利用軟件算法對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行平滑擬合，修正譜線半高寬度計(jì)算公式。

2.1 探測(cè)器感光像元對(duì)分辨率精度測(cè)試影響

測(cè)試系統(tǒng)試驗(yàn)選用ALLIED公司Prosilica GT系列中的GT4907和GT1290面陣CCD作為探測(cè)器，對(duì)應(yīng)的像元大小分別為3.75 μm×3.75 μm、7.4 μm×7.4 μm。

①選用像元尺寸p為7.4 μm的GT4907采集的離散光譜信號(hào)，如圖3所示。

圖3 像元為7.4 μm對(duì)應(yīng)離散光譜點(diǎn)

由半寬度法計(jì)算光柵分辨率時(shí)，需求出光譜曲線波峰上邊緣和波峰下邊緣光強(qiáng)值等于波峰值一半所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)nl、nr，得到譜線半高寬度所占像素點(diǎn)的個(gè)數(shù)n，如式（7）所示。

由于采集的光譜信號(hào)為離散信號(hào)，實(shí)際采樣點(diǎn)中不一定存在光強(qiáng)為波峰值一半的點(diǎn)，只能尋找光強(qiáng)值離波峰值一半最近的兩個(gè)點(diǎn)近似替代nl、nr，在圖3中近似點(diǎn)為ni、nk+1。

根據(jù)像元尺寸求出譜線半高寬度Δp，如式（8）所示。

由于ni、nk+1為nl、nr近似值，所求的半寬度Δp存在一定隨機(jī)誤差。在同一次實(shí)驗(yàn)中，選用像元尺寸為3.75 μm的GT1290采集的離散光譜信號(hào)，如圖4所示。

圖4 像元為3.75 μm對(duì)應(yīng)離散光譜點(diǎn)

根據(jù)圖3、圖4可知，最小譜線半高寬度Δpmin= (nk-ni+1)p，最大譜線半高寬度Δpmax=(nk+1-ni)p，實(shí)際計(jì)算得到的譜線半高寬度Δpl∈[Δpmin,Δpmax]。為減小實(shí)際測(cè)得值的隨機(jī)誤差，需減小區(qū)間范圍[Δpmin,Δpmax]，（Δpmax-Δpmin）的計(jì)算如式（9）所示。

對(duì)式（9）進(jìn)一步簡化得到：

通過式（10）可知，減小像元尺寸可以縮小由于像元點(diǎn)離散造成的隨機(jī)誤差的范圍，提高譜線實(shí)際半高寬度的計(jì)算準(zhǔn)確度。

2.2 Catmull-Rom插值算法提高系統(tǒng)精度

CCD對(duì)于圖像的采樣過程，實(shí)際上就是對(duì)于光譜線輪廓強(qiáng)度的一個(gè)采樣過程。利用CCD作為探測(cè)器時(shí)，像元大小很重要，而CCD探測(cè)器受到量子效率、響應(yīng)度、噪聲等效功率和探測(cè)深度的影響［12］［13］，為保證CCD的性能像元大小受到很大限制，因此在探測(cè)器像元尺寸固定的情況下需要通過計(jì)算機(jī)軟件算法提高光譜半高寬度的計(jì)算精度。

2.2.1 Catmull-Rom插值算法簡介

Catmull-Rom樣條函數(shù)［14］利用目標(biāo)節(jié)點(diǎn)前后2個(gè)節(jié)點(diǎn)的值計(jì)算出樣條函數(shù)在該節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，并通過相鄰4個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)造出經(jīng)過中間2點(diǎn)的曲線。Catmull-Rom曲線每個(gè)分段擁有四個(gè)控制點(diǎn)，假如將這四個(gè)頂點(diǎn)分別命名為 Pi-2、Pi-1、Pi、Pi+1，則可以在Pi-1Pi之間構(gòu)造出一段連續(xù)平滑的曲線，通過拼接構(gòu)造的每一段樣條曲線便可以構(gòu)造出一條完整的連續(xù)曲線。Catmull-Rom分段計(jì)算的曲線結(jié)果如圖5所示。

圖5 Catmull曲線計(jì)算示意圖

該曲線函數(shù)為一條3次曲線，可用式（11）表示。

式中：浮點(diǎn)坐標(biāo)t∈[0,1]，樣條函數(shù)系數(shù)C0～C3由P(t)在端點(diǎn)t=0、t=1處的約束條件求得，如式（12）所示。

式中T稱為形狀因子，由式（12）求得系數(shù)C0～C3后帶入式（1），得到曲線方程P(t)如式（13）所示。

式中M為樣條曲線差值矩陣，如式（14）所示。

當(dāng)樣條用于離散點(diǎn)連續(xù)平滑時(shí)，T取0.5為最佳值［15］，根據(jù)式（13）和式（14）可求得插值點(diǎn)Pi-1Pi之間的Catmull連續(xù)曲線。

2.2.2 連續(xù)Catmull光譜曲線

為解決譜線離散光譜信號(hào)對(duì)半高寬度計(jì)算的影響，本文將Catmull算法應(yīng)用于離散光譜信號(hào)的連續(xù)平滑，擬合光譜曲線，減小系統(tǒng)隨機(jī)誤差。

將圖3所采集的離散光譜信號(hào)點(diǎn)從左至右依次編號(hào)為n1，n2，……，nq。

①首先，根據(jù)“首段曲線補(bǔ)齊”的方法，設(shè)定n1，n2，n3，n4為4個(gè)控制點(diǎn)，計(jì)算n1n2段曲線。

②設(shè) ni，ni+1，ni+2，ni+3為控制點(diǎn)，依次計(jì)算ni+1ni+2之間的曲線，i=1，2，…。如圖6所示。

圖6 連續(xù)Catmull光譜曲線計(jì)算

③設(shè)置末端控制點(diǎn)為nq-1nq，nq-1，nq，nq，計(jì)算nq-1nq段曲線。

據(jù)上述方法構(gòu)建連續(xù)Catmull光譜曲線，結(jié)果如圖7所示。

圖7 完整Catmull光譜曲線

由于計(jì)算機(jī)只能處理離散點(diǎn)，在利用PC機(jī)軟件構(gòu)造Catmull光譜曲線時(shí)將每段t值分為若干段，利用LabVIEW軟件搜索光強(qiáng)值為h 2的點(diǎn)并返回對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)xi和xk，如圖7所示。

并對(duì)式（7）進(jìn)行修正得到方程如式（15）所示。

譜線半高寬度Δp，如式（16）所示。

式中：x為譜線半高寬度對(duì)應(yīng)的像素點(diǎn)，x不再為自然數(shù)，而是一個(gè)正實(shí)數(shù)，如式（8）相比，Δp的計(jì)算更為精確。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

本文階梯光柵分辨率檢測(cè)系統(tǒng)參數(shù)為：

狹縫寬度：a=50 μm，入射角：i=63°，光柵轉(zhuǎn)角：γ=6.9°，光柵常數(shù)：d=18 986.14nm。實(shí)驗(yàn)中采用低壓汞燈氣體放電光源，探測(cè)器型號(hào)為GT4907。

利用離散光譜信號(hào)點(diǎn)直接測(cè)得的譜線半高寬度所占像素點(diǎn)為n，利用Catmull-Rom插值算法擬合改進(jìn)后計(jì)算得到的譜線半高寬度所占像素點(diǎn)為x，在不同輸入波長λ（單位：nm）下測(cè)得的n、x值如表1所示。

表1 譜線半高寬度對(duì)比

表1中由Catmull連續(xù)光譜信號(hào)曲線所計(jì)算的像素點(diǎn)寬度與直接根據(jù)離散光譜信號(hào)計(jì)算的像素點(diǎn)寬度之差的絕對(duì)值最大值為0.39個(gè)像素點(diǎn)，

記光柵理論分辨本領(lǐng)為R，利用離散光譜信號(hào)點(diǎn)直接測(cè)得光柵分辨本領(lǐng)為Rl，利用Catmull-Rom插值算法擬合改進(jìn)后計(jì)算得到光柵分辨本領(lǐng)為Rc，在表1不同輸入波長λ（單位：nm）下，測(cè)得結(jié)果如表2所示。

表2 分辨本領(lǐng)對(duì)比分析

表2中對(duì)應(yīng)波長下，直接由離散光譜信號(hào)曲線測(cè)得的光柵分辨本領(lǐng)、利用Catmull-Rom插值算法擬合改進(jìn)后計(jì)算得到光柵分辨本領(lǐng)與理論光柵分辨本領(lǐng)之差絕對(duì)值曲線如圖8所示。

圖8 分辨本領(lǐng)之差絕對(duì)值曲線

圖8可以看出：利用Catmull-Rom插值算法擬合改進(jìn)后，整體上比波動(dòng)要小，即整體上Rc比Rl更接近于R。

直接根據(jù)離散光譜信號(hào)計(jì)算的像素點(diǎn)n存在較大的隨機(jī)誤差，可能大于實(shí)際光譜半寬高度所占的像素也可能小于實(shí)際光譜半寬高度所占的像素。由擬合改進(jìn)后的Catmull-Rom光譜信號(hào)曲線計(jì)算的像素x雖更接近于實(shí)際光譜半寬高度所占的像素，但并不一定小于n（如表1中輸入波長為435 nm時(shí)x小于n）。根據(jù)式（4），在相同的測(cè)試系統(tǒng)和輸入波長下，試驗(yàn)測(cè)得的譜線半高寬度所占像素n越大，計(jì)算得出的系統(tǒng)分辨極限越大，測(cè)得的光柵分辨本領(lǐng)越高。目前的光柵分辨率測(cè)試系統(tǒng)中實(shí)際測(cè)得的光柵分辨率很難達(dá)到光柵的理論分辨率。即便實(shí)際測(cè)試時(shí)直接由離散光譜點(diǎn)計(jì)算得到的像素點(diǎn)n小于實(shí)際光譜曲線半高寬度像素，造成計(jì)算得到的光柵分辨率本領(lǐng)偏大，也沒有超過光柵理論分辨率，反而表現(xiàn)為計(jì)算得到的分辨率Rl更接近理論分辨率R。因此會(huì)出現(xiàn)利用離散光譜點(diǎn)計(jì)算的分辨率更接近于光柵理論分辨率的情況。總體上利用Catmull-Rom插值算法改進(jìn)后檢測(cè)得到的光柵實(shí)際分辨率更接近于光柵的理論分辨率，計(jì)算結(jié)果更為準(zhǔn)確，能夠更真實(shí)的反映光柵的實(shí)際分辨本領(lǐng)。

4 總結(jié)

文章介紹了利用半寬度法檢測(cè)階梯光柵分辨率的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及計(jì)算方法，分析得到在較高的光柵分辨率檢測(cè)系統(tǒng)中，采集系統(tǒng)的誤差主要由探測(cè)器性能參數(shù)造成。在保證探測(cè)器性能的前提下，應(yīng)盡可能選用像元尺寸參數(shù)小的探測(cè)器。對(duì)采集的離散光譜信號(hào)利用Catmull-Rom插值算法構(gòu)造Catmull光譜曲線對(duì)半寬度求解公式進(jìn)行修正，能有效的解決離散光譜點(diǎn)造成的隨機(jī)誤差，減小像元尺寸對(duì)光柵分辨率檢測(cè)造成的影響，提高光柵分辨率檢測(cè)系統(tǒng)的測(cè)試精度。

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楊海馬（1979-），男，上海，博士，長期從事光電智能儀器設(shè)計(jì)及電氣控制方面的教學(xué)與科研工作，主要研究方向?yàn)楣怆娭悄軆x器，ATP跟瞄技術(shù)，信號(hào)和信息處理等，snowyhm@sina.com；

王光斌（1990-），男，重慶，碩士研究生，主要從事光電儀器設(shè)計(jì)及光柵特性檢測(cè)方面的研究，132350265@st.usst.edu.cn。

The Improvement of Grating Resolution Testting System Based on Catmull-Rom Interpolation Algorithm*

YANG Haima1，2*，WANG Guangbin1，ZHANG Liang2，SU Yangqing1，HUANG Yuanshen1，ZHANG Dawei1，MA Xianshu1
（1.School of Optical-Electrical and Computer Engineering，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China；2.Shanghai Institute of Technical Physics of The Chinese Academy of Sciences，Shanghai 200083，China）

In order to reduce the system error caused by detector acquiring and software processing，and improve the accuracy of echelon grating resolution，a resolution detection system which satisfied Littrow condition was designed by using the half wave width method.The optical structure of the detection system was built and the improved detection method was introduced.Then the grating resolution influenced by detector pixel size was analyzed.By using Catmull-Rom interpolation algorithm to fit a continuous spectral curve，the accuracy of half wave width according to the discrete spectrum was improved in LabVIEW.The experimental result also showed that the system error caused by pixel size can be effectively reduced by fitting analysis of discrete signal in the high resolution testing system.

gratings；resolution measurement；interpolation algorithm；spectral curve

O433.1

A

1004-1699（2015）08-1136-05

??7220；7230E

10.3969/j.issn.1004-1699.2015.08.007

項(xiàng)目來源：國家自然科學(xué)基金青年基金項(xiàng)目（61302181）；上海市教委科研創(chuàng)新項(xiàng)目（13YZ111）；上海市自然科學(xué)基金項(xiàng)目（14ZR1418400）

2015-01-16 修改日期：2015-05-31