基于偏微分方程（PDE）的非線性流形計(jì)算

李以增

(杭州電子科技大學(xué)，浙江 杭州 310018）

基于偏微分方程（PDE）的非線性流形計(jì)算

PDEbasednonlinear manifold computing

李以增

(杭州電子科技大學(xué)，浙江 杭州 310018）

如果想要對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的特征進(jìn)行充分的了解，就離不開不變流形的計(jì)算。通常情況下，采用解析表達(dá)式求解的方法是無(wú)法計(jì)算不變流形的，只可以采用數(shù)值計(jì)算的方法。本文思路是：將流形局部參數(shù)化，轉(zhuǎn)換成對(duì)類線性偏微分方程(PDE)進(jìn)行求解，歐拉體系的建立可以提高求解偏微分方程的效率，然后在建立Lorenz模型的基礎(chǔ)上做了仿真的實(shí)驗(yàn)。

偏微分方程；非線性；流形計(jì)算

在2004年，Vladimirsky與 Guckenheimer兩人共同提出PDE 算法，這種算法可以迅速逼近不變流形算法。有關(guān)對(duì)微分方程進(jìn)行求解的問(wèn)題，在這種算法中可以完全避免，所以屬于一階逼近不變流形，流形余維（n—k）越高，運(yùn)算新增加網(wǎng)格點(diǎn)的量就越大，因此和其他的一些算法相比較，其精度并不高。如今，對(duì)于任意維當(dāng)中的二維不變流形的計(jì)算，比較適合采用PDE 算法。

1 PDE算法

1.1 計(jì)算流形上點(diǎn)

若方程不變流形的局部參數(shù)化是曲線y= (x,g(x)) = (x1,x2,g(x1,x2))，那么曲線g(x1,x2)切線向量是f，所以可以得到如下的方程：

不難看出，方程（1）屬于一階類線性PDE方程。

將方程（1）離散化，采用的是Euler法，假設(shè)G(x1,x2)是分段線性逼近g(x1,x2)的，將三角形 yy1y2進(jìn)行充分地考慮，在這里：

圖1 有關(guān)方程（2）求解的幾何解釋

式（2）采用Newton—Raphson 的方式就能夠?qū) (x)解出來(lái)，如果不是一般的情況，情況比較特殊的話，方程（1）的求解可能更容易。所以進(jìn)行局部條件的選取，使G(x1)=G(x2)=0，若假設(shè) y=(x,0)，三角形yy1y2上面的單位法向量為ω，那么對(duì)于方程（2）的求解就可以轉(zhuǎn)化為找α∈R，使 y=?y+ αω，f(y+αω)在y1y2的平面之中。圖1為上面所涉及的內(nèi)容幾何方面的解釋。

圖2 逆風(fēng)條件圖示

在對(duì)y進(jìn)行求解的過(guò)程當(dāng)中，一定要將逆風(fēng)這一條件給滿足，圖 2為逆風(fēng)條件，在計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生的誤差以及具體的計(jì)算過(guò)程可以在文獻(xiàn)［3］中進(jìn)行查找。

1.2 算法的描述

下面是具體的過(guò)程：

（1）初始化：對(duì)于“已接受邊前沿”（Accepted Front）的初始邊，可以在E（y0）上取為半徑，y0為圓心的圓。

（2）對(duì)偏微分方程（2）進(jìn)行求解，可以將一層“候選點(diǎn)”（Considereds）給求出來(lái)，上面所說(shuō)的點(diǎn)均要對(duì)逆風(fēng)條件進(jìn)行滿足：

（3）在上面所得到的候選點(diǎn)中，把和Accepted Front之間距離最短的那個(gè)點(diǎn)找出來(lái)，因此軌道距離便能夠得到了。

（5）按照更新的具體狀況，對(duì)候選點(diǎn)進(jìn)行增加或者減少。

（6）對(duì)全部候選點(diǎn)位置進(jìn)行再一次地計(jì)算。

（7）若沒(méi)有滿足終止的條件并且候選點(diǎn)不是空的，再轉(zhuǎn)到（3）上。

2 采用PDE方法進(jìn)行計(jì)算所得的洛倫茲流形

利用PDE方法進(jìn)行計(jì)算所得的洛倫茲硫形圖如圖3所示。

圖3 洛倫茲流形

3 討論

采用PDE算法進(jìn)行計(jì)算，能夠達(dá)到較快的速度。在2.8 GHz，2 GB內(nèi)存處理器的計(jì)算機(jī)上對(duì)上面所涉及的流形進(jìn)行計(jì)算，不超過(guò)20 s的時(shí)間就可以得到。以后的研究方向包含了估計(jì)誤差界、高階法、證明收斂性等。而且，采用PDE算法這種思想能夠啟發(fā)其他方法的改進(jìn)，對(duì)于測(cè)地線水平集法改進(jìn)的一些建議，可以參考文獻(xiàn)［3］。

［1］ Palis J，Melo W D.Geometric Theory of Dynamical Sytems［M］.Springer， 1982.

［2］ 李清都，楊曉松. 二維不穩(wěn)定流形的計(jì)算［J］. 計(jì)算物理，2005，22（6）：549～554.

［3］ Guckenheimer，J.&Vladimirsky，A.A fast method for approximating invariant App1.Dyn.Sys，2004.3（3）：232～260.

TP391.7

1009-797X (2015) 16-0043-03

A

10.13520/j.cnki.rpte.2015.16.09

李以增（1994-），男，2012級(jí)本科生，研究方向?yàn)槠⒎址匠蹋≒DEs）。

2015-07-20