極限思想的產(chǎn)生與發(fā)展

李芳

極限是微積分中的基礎(chǔ)概念，所謂極限思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想，極限思想是微積分的基本思想之一，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、定積分等都是借助于極限來定義的，極限思想方法為人類認(rèn)識“無限”提供了強(qiáng)有力的工具，是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一種重要思想。

一、極限思想的萌芽

在我國，著名的《莊子·天下篇》一書中記有：“一尺之錘，日取其半，萬世不竭，”墨家著作《墨子·經(jīng)天下》中也有“非半弗，則不動，說在端”的論述，這說明，在很早，我國人民對無限的可分性與連續(xù)性就已有了相當(dāng)深刻的認(rèn)識，將極限思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)中的是我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽，劉徽在《九章算術(shù)注》中多次用極限思想處理問題，劉徽正是以“割圓術(shù)”為理論基礎(chǔ)，得出徽率，到公元5世紀(jì)，南北朝時(shí)期的大數(shù)學(xué)家、科學(xué)家祖沖之（429-500年）在《綴術(shù)》一書中，同樣運(yùn)用“割圓術(shù)”推算出：3.1415926<π<3.1415927.

在國外，古希臘巧辯學(xué)派的安提芬（Antiphon，公元前480年一公元前411年）在研究畫圓為方的問題時(shí)想到用邊數(shù)不斷增加的內(nèi)接正多邊形來接近圓的面積，當(dāng)多邊形的邊數(shù)不斷加倍時(shí)內(nèi)接正多邊形與圓周之間存在的空隙就被逐漸“窮竭”，公元前4世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯（Eudoxus of Cnidus，公元前400年-公元前347年）創(chuàng)立了求幾何體面積和體積的一般方法——窮竭法，他指出：“如果從任何量中減去一個(gè)不小于它的一半的部分，從剩余部分中再減去不小手它的一半的另一部分，繼續(xù)下去，則最后將留下一個(gè)小于任何給定的同類量的量”，運(yùn)用窮竭法，歐多克斯證明了“圓面積與直徑的平方成正比例”“球的體積與直徑的立方成正比例”等結(jié)論，他的窮竭法中也蘊(yùn)含了極限思想，繼歐多克索斯之后，阿基米德（Archimedes，公元前287年一前212年）使用窮竭法求出了一系列幾何圖形的面積，他用足夠多的“內(nèi)接”和“外切”扇形逼近螺線所圍成的平面圖形，這和我國的“割圓術(shù)”所用到的理論大相徑庭，但都用到了極限思想，他巧妙地把歐克多索斯的窮竭法與希臘數(shù)學(xué)家謨克利特（約公元前460年一公元前370年）的原子論觀點(diǎn)結(jié)合起來，通過嚴(yán)密的計(jì)算，解決了求幾何圖形的面積、體積、曲線場等計(jì)算問題，他采用了無限逼近的方法，將需要求積的量分成許多微小單元，再用另一組容易計(jì)算總和的微小單元來進(jìn)行比較，他的無窮小概念到17世紀(jì)被牛頓作為微積分的基礎(chǔ)，阿基米德的杰出成就豐富了古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。

二、極限思想的發(fā)展

極限思想的進(jìn)一步發(fā)展與微積分的嚴(yán)格化聯(lián)系密切，在很長一段時(shí)間里，許多人都曾嘗試“徹底”地解決微積分理論基礎(chǔ)的問題，但都未能如愿以償，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的研究對象已從常量轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞?，而人們?xí)慣于用不變化的常量去思考、分析問題，對“變量”特有的概念理解還不十分清楚，對“變量數(shù)學(xué)”和“常量數(shù)學(xué)”的區(qū)別和聯(lián)系還缺乏了解，對“有限”和“無限”的對立、統(tǒng)一關(guān)系還不明確。