黏性對深水波列非線性演化的影響

張本輝， 蔡 烽， 楊 波， 吳 明， 董東東(海軍大連艦艇學(xué)院 航海系， 遼寧 大連 116018)

黏性對深水波列非線性演化的影響

張本輝， 蔡 烽， 楊 波， 吳 明， 董東東
(海軍大連艦艇學(xué)院 航海系， 遼寧 大連 116018)

修正的四階非線性薛定諤方程(mNLS)所建立的數(shù)值模型能有效模擬深水波列的非線性演化，但當(dāng)演化距離較長時(shí)，需考慮黏性衰減作用。在mNLS方程的基礎(chǔ)上添加一個(gè)黏性修正項(xiàng)，建立更加完善的數(shù)值模型。模擬邊帶擾動初始條件下深水波列的演化，并對該過程中譜成分能量的變化進(jìn)行分析，進(jìn)而研究水池寬度、載波波陡、載波頻率和尺度因子對深水波列非線性演化能量衰減的影響。

船舶工程； 四階非線性薛定諤方程； 黏性； 非線性演化； 數(shù)值模擬

隨著我國經(jīng)濟(jì)和綜合國力顯著提升、海外利益不斷拓展，國家對海洋越來越關(guān)注。與此同時(shí)，伴隨著我國海軍逐步從近海走向遠(yuǎn)洋，維護(hù)海洋權(quán)益的使命變得日益沉重。在我國海軍“走出去”的過程中，海浪環(huán)境深刻影響著艦艇的航行和作戰(zhàn)效能，因此更加準(zhǔn)確地把握遠(yuǎn)洋海區(qū)風(fēng)浪環(huán)境的特點(diǎn)和規(guī)律，對提升我國海軍的戰(zhàn)斗力而言具有重要意義。

目前，從流體力學(xué)基本方程出發(fā)，大多數(shù)深水波浪數(shù)值模擬都是基于線性海浪模型進(jìn)行的。近些年來大量的外海觀測和實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)均已證明實(shí)際的海浪是非線性的，主要表現(xiàn)在波高的非瑞利分布、雙峰乃至多峰海浪譜的大量存在、波浪變形和破碎以及海浪的非線性局域化特征等幾個(gè)方面。[1]隨著海洋科技發(fā)展和海洋工程需求日益迫切，線性海浪模型已不能滿足越來越高的精度要求，因此對海浪的非線性進(jìn)行研究得到了眾多海洋科技工作者的關(guān)注。[2]研究能反映海浪非線性特征的數(shù)值模擬方法[3]是未來的發(fā)展趨勢，使用非線性演化理論來模擬深水海浪將變得更加合理、有效。

Stokes波對于緩慢調(diào)制的周期性(邊帶)擾動而言是不穩(wěn)定的，BENJAMIN和FEIR對論證事實(shí)做了關(guān)鍵性的工作，初步證實(shí)了深水波列傳播過程中的演化具有不穩(wěn)定性，且在波陡明顯小于碎波條件下也會發(fā)生，這一點(diǎn)與真實(shí)深水波浪的情況較吻合，對該問題進(jìn)行研究有助于了解實(shí)際海面上波群的形成與演化特性。[4]ZAKHAROV，BENNEY和ROSKES基于窄譜假設(shè)和弱非線性假設(shè)推導(dǎo)了描述表面振幅包絡(luò)波演化的三階非線性薛定諤方程，該方程具有波陡的三階精度，比較適合描述具有較小波陡(<0.1)的波列演化;而對于較大的波陡，其模擬結(jié)果只是在波列演化的初期符合實(shí)際情形，無法準(zhǔn)確模擬長時(shí)間的波列演化。為進(jìn)一步克服三階方程的不足，DYSTHE[5]考慮由輻射應(yīng)力引起的平均流效應(yīng)，推導(dǎo)出了四階Dysthe方程；LO等[6]397對Dysthe方程進(jìn)行小的修正，得到了mNLS方程，該方程所預(yù)測的邊帶穩(wěn)定性和不穩(wěn)定邊帶增長率在波陡<0.3時(shí)均與精確結(jié)果非常接近;張運(yùn)秋等[7-8]則通過mNLS方程來研究深水波列的演化和畸形波的生成。mNLS方程是由基于勢流理論的拉普拉斯方程組推導(dǎo)得到的，但是對于深水波列長時(shí)間非線性演化而言，黏性衰減影響非常重要，因此在mNLS方程的基礎(chǔ)上添加一個(gè)黏性修正項(xiàng)，從而建立更加完善的數(shù)值模型，對邊帶擾動初始條件下深水波列的非線性演化進(jìn)行模擬。

1 深水波列的數(shù)值模型

1.1控制方程

通常海面上的波浪運(yùn)動在無黏無旋條件下可通過速度勢函數(shù)的拉普拉斯方程和自由表面、海底等邊界條件來描述，利用泰勒級數(shù)展開，將自由面邊界條件展開到O(ε4)四階形式(波陡ε=ka，k和a分別為載波波數(shù)和波幅)。經(jīng)推導(dǎo)可得到群速度移動坐標(biāo)系統(tǒng)下的四階非線性薛定諤方程[6]398為

(1)

(2)

A(0,η)=A(2π,η)

(3)

A(0,z,η)=A(2π,z,η)

(4)

1.2黏性修正模型

(5)

式(5)中：B為水槽寬度，當(dāng)B→∞時(shí)，可理解為壁面邊界層的黏性不作考慮;μ為黏性衰減系數(shù)，則考慮黏性修正之后的控制方程(式(1))就變?yōu)?/p>

(6)

1.3離散步長的虛擬頻譜方法

對于NLS方程而言，可利用逆散射變換求取其精確的解析解。四階非線性薛定諤方程通常不適合于解析求解，因此不得不借助于各種數(shù)值算法。離散步長的虛擬頻譜方法是一種有效求解mNLS方程的數(shù)值求解方法，主要分為虛擬頻譜方法和中心有限差分法兩部分。虛擬頻譜方法是一種以傅里葉變換為基礎(chǔ)的方法，需滿足式(3)和式(4)，可有效求解mNLS方程的線性部分。在深水波浪傳播過程中，線性與非線性是同時(shí)作用的，但在數(shù)值計(jì)算中，需將兩者分開求解，僅考慮非線性作用(線性項(xiàng)為0)，則式(6)簡化為

(7)

僅考慮線性作用(非線性項(xiàng)為0)，則式(6)簡化為

(8)

復(fù)波包A(ξ,η)(0<ξ<2π)的傅里葉空間上的變換和逆變換為

(9)

(10)

式(9)～式(10)中：v=0,±1,±2,…,±N;2N為周期2π上的離散點(diǎn)數(shù);Δξ=π/N;當(dāng)ν≠±N時(shí)，μν=1；當(dāng)ν=±N時(shí)，μν=1/2。

在每一個(gè)空間步長上，首先將非線性部分的解作為線性部分的初值代入并求解，從而得到下一步方程的解；然后把線性部分的結(jié)果代入非線性部分方程，從而依次遞進(jìn)求解。

2 數(shù)值仿真及討論

2.1初始條件

TULIN等[11]認(rèn)為試驗(yàn)水池中的調(diào)制分為2種：一種由背景噪聲擾動引起；另一種被強(qiáng)制加載在造波機(jī)上，既可隨意改變邊帶頻率，又可改變初始邊帶的振幅和調(diào)制的劇烈程度。背景噪聲對波列調(diào)制演化有較大影響，而邊帶擾動波列則可最大程度地消除背景噪聲的影響。[12]因此，模擬中采用載波加一對邊帶擾動形成的復(fù)波包作為初始條件，即

A(ξ,0)=1+S(eiξ+e-iξ)eiα

(11)

式(11)中：S和α分別對應(yīng)著邊帶的初始振幅和相位，這里載波的基頻取2 Hz，初始振幅S=0.05。根據(jù)Dysthe的不穩(wěn)定性標(biāo)準(zhǔn)，取邊帶擾動的初始相位α=-π/4時(shí)，可在短時(shí)間內(nèi)獲得最大線性的增長。

2.2深海波列的非線性演化過程分析

仿真中,取波陡ε=0.15，尺度因子λ=0.775;當(dāng)考慮黏性時(shí)，假設(shè)水池寬度B=1 m;在實(shí)驗(yàn)室水池中，一般取μ=1×10-6m2/s。此時(shí)可得到初始波列復(fù)波包絡(luò)的非線性時(shí)空演化(見圖1)。

從圖1中可看出：在復(fù)波包振幅非線性演化過程中，時(shí)而高高聳起形成尖峰，時(shí)而迅速下降形成深深的波谷，大的波包近似周期性出現(xiàn)；但是，在考慮黏性的情況下，復(fù)波包振幅整體上出現(xiàn)了一定的降低，且這種趨勢隨著演化距離的增大而更加明顯，這與實(shí)際水槽中的波列演化效果是一致的。在初始階段，不穩(wěn)定增長率比能量衰減率大時(shí)，有可能出現(xiàn)畸形波，之后由于能量的衰減，很可能不會出現(xiàn)嚴(yán)格滿足畸形波定義的大波。就畸形波的形成而言，這是考慮黏性與否最大的不同。

a) 不考慮黏性

b) 考慮黏性

演化過程中，復(fù)波包振幅的變化是由其內(nèi)在能量的演化決定的，圖1對應(yīng)的復(fù)波包譜成分能量變化見圖2。

b) 考慮黏性

由圖2可知：載波v=0及不穩(wěn)定邊帶v=±1,±2的譜成分能量曲線也是以一種類周期的方式增長和衰減的，載波譜振幅快速下降處，不穩(wěn)定邊帶譜成分能量快速上升，載波的能量迅速轉(zhuǎn)移到不穩(wěn)定邊帶中，此時(shí)對應(yīng)的圖1中的包絡(luò)幅值在短時(shí)間內(nèi)迅速增高；但是，在考慮黏性的情況下，縮短了能量在譜成分之間轉(zhuǎn)移的演化距離，且載波和邊帶中的總能量在傳遞過程是逐漸衰減的。在不考慮黏性的情況下，能量相對誤差隨演化距離的變化見圖3。

圖3 不考慮黏性情況下能量相對誤差隨演化距離的變化

由圖3可知：能量相對誤差在整個(gè)演化過程中不斷增大，最大值為2.6×10-4，說明演化過程中滿足能量守恒定律，確保了整個(gè)模擬的有效性。在考慮黏性的情況下，包絡(luò)總能量在演化過程是逐漸衰減的，則包絡(luò)總能量隨演化距離變化的對比見圖4。

由圖4可知，在考慮黏性的情況下，包絡(luò)的總能量隨演化距離的增大而衰減得非常明顯。因此，包絡(luò)總能量可看作是衡量黏性衰減對深水波列非線性演化影響強(qiáng)弱與否的一項(xiàng)重要指標(biāo)。

圖4 包絡(luò)總能量隨演化距離變化的對比

2.3考慮黏性情況下深水波列非線性演化過程中能量衰減的影響因素分析

在黏性修正的mNLS方程數(shù)值模型的基礎(chǔ)上，輸入的初始條件若與“2.1”相同，則采用單一變量法，依次分析水池寬度、載波波陡、載波頻率和尺度因子的改變對深水波列非線性演化過程能量衰減的影響(見圖5)。

a) 水池寬度

b) 載波波陡

c) 載波頻率

d) 尺度因子

由圖5可知：總體而言，由于黏性衰減的作用，總能量隨著演化距離的增大而逐漸減少；水池寬度對能量衰減的影響最大，載波波陡和載波頻率次之，尺度因子的影響相對較??；隨著載波波陡和載波頻率增大，相同演化距離上總能量的衰減逐漸減小。

進(jìn)一步的研究表明：雖然黏性很小的流體在沒有邊界的地方像無黏性的流體，但因摩擦的關(guān)系而在壁面上形成了一個(gè)薄的“邊界層”，且在該層中，速度從相應(yīng)于無黏性流體運(yùn)動的數(shù)值變化到流體黏性粘附在邊界層上所應(yīng)有的數(shù)值，黏性越小，該邊界層就越薄。因此，無論水池壁寬度如何，只要水的黏性和速度不變，形成的薄的邊界層及其對靠近壁面部分的水波影響就是一致的，只不過水池越寬，對遠(yuǎn)離壁面的水波影響就越小，對整個(gè)水池中水波總的能量影響也相對越弱，相同演化距離上總能量的衰減也就越小。當(dāng)水池寬度B在20 m以上時(shí)，總能量的衰減就會比較小，但考慮到模型的1+1維單方向性，水池寬度又不能太寬，因此需綜合把握。

3 結(jié)束語

基于添加黏性修正項(xiàng)的mNLS方程，模擬邊帶擾動情況下深水波列的非線性演化，分析水池寬度、波陡、載波頻率和尺度因子對深水波列演化過程中能量衰減的影響，得到以下結(jié)論。

1) 黏性作用會對深水波列的非線性演化產(chǎn)生重要影響，能量轉(zhuǎn)移循環(huán)出現(xiàn)的演化距離縮短的同時(shí)伴隨著包絡(luò)能量的衰減。

2) 水池寬度對能量衰減的影響最大；載波波陡和載波頻率次之，尺度因子相對較小。

以上只是基于黏性修正的數(shù)值模型進(jìn)行的仿真，可為水池試驗(yàn)提供一定的理論指導(dǎo)。后續(xù)需根據(jù)實(shí)際水池試驗(yàn)或CFD數(shù)值波浪水池的數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步的驗(yàn)證。

[1] 蔡烽,繆泉明,顧民,等. 海浪的非線性效應(yīng)及其產(chǎn)生原因[J].中國造船,2006,47(Z1):153-159.

[2] 蔡烽,沈泓萃,繆泉明,等. 海浪非線性行為的參數(shù)化表征[J].船舶力學(xué),2008,12(2):157-167.

[3] 聶衛(wèi)東,康鳳舉,褚彥軍,等.基于線性海浪理論的海浪數(shù)值模擬[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào),2005,17(5):1037-1039.

[4] 胡凱程.深水非線性波列調(diào)變之?dāng)?shù)值解析[D].臺南:國立成功大學(xué),2004.

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ViscosityEffectonNonlinearEvolutionofDeep-WaterWaveTrains

ZHANGBenhui,CAIFeng,YANGBo,WUMing,DONGDongdong
(Navigation Department, Dalian Naval Academy, Dalian 116018, China)

A numerical wave model based on the modified fourth-order nonlinear Schrodinger equation (mNLS) is good for describing the evolution of deep-water wave envelope, however, viscous attenuation effect needs to be taken into account when evolution distance is relatively long. A viscous modifying term is added to the mNLS governing equations to construct an improved numerical model, which works better in simulating nonlinear evolution. The evolution of deep-water under the sideband disturbance conditions are simulated and the energy variation of spectral components is analyzed. The energy damping in the nonlinear evolution of deep-water wave trains is investigated through varying the parameters: the pool width, the carrier wave steepness, the carrier wave frequency, and the scale factor.

ship engineering; fourth-order nonlinear Schrodinger equation; viscous effects; nonlinear evolution; numerical simulation

2015-04-29

十二五預(yù)研項(xiàng)目(51314030101)； 大連市科技基金(2012J21DW027);海軍大連艦艇學(xué)院科研發(fā)展基金(DJK201422)

張本輝(1988—),男,河南南陽人，博士生,研究方向?yàn)榉蔷€性海浪及艦船耐波性。E-mail:fengdeyingzi123@163.com

1000-4653(2015)03-0061-04

U661.1

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