全級配混凝土二維細觀模型的自動生成

武 亮，王 菁，糜凱華

（昆明理工大學 電力工程學院，云南 昆明 650500）

混凝土在細觀層面上是由砂漿基質(zhì)、粗骨料和兩者間的黏結(jié)界面組成的三相復合材料.混凝土材料的各組分對其宏觀力學性能均有直接影響.全級配混凝土因骨料粒徑較大，致使其裂縫擴展路徑與普通混凝土有較大差異.由于以宏觀混凝土材料進行力學性能試驗，需受試驗條件、環(huán)境條件及人為因素等影響，所得到的試驗結(jié)果離散性較高.為此，諸多研究者提出了多種細觀模型來研究混凝土材料的力學特性，如基于有限元理論提出的格構(gòu)模型［1］、MH 細觀模型［2］、隨機粒子模型［3］、劉光廷模型［4］以及MFPA 細觀模型［5］等；基于離散元理論提出的顆粒－界面元模 型［6］和梁－顆粒模型［7］等.這些模型彌補了混凝土宏觀試驗分析上的很多缺陷和不足.因此，在細觀層面上建立全級配混凝土仿真模型對其裂縫擴展規(guī)律全過程進行模擬計算，特別是對全級配混凝土大尺寸試件有重要意義.

隨著大容量高速計算機的出現(xiàn)及計算機技術的發(fā)展，許多研究者利用各種編程語言和一些商業(yè)軟件完成了混凝土骨料的隨機投放和數(shù)值模擬.如基于傳統(tǒng)的V－B、C語言和Fortran語言編寫的隨機骨料程序［8－10］；基于CAD 軟件下開發(fā)的Autolisp語言編寫的混凝土骨料模型［11］和用MATLAB 編寫的混凝土數(shù)值模擬模型［12－14］.然而現(xiàn)有基于MATLAB建立的隨機骨料模型通用性較差，且隨機骨料的投放量不能滿足全級配混凝土的要求，也不能直接導入其他有限元軟件進行分析計算.為此，本研究將有限元軟件COMSOL 與MATLAB 軟件相結(jié)合，利用COMSOL 軟件自帶的功能簡化了全級配混凝土細觀幾何模型的生成程序，高效完成了有限元網(wǎng)格模型的自動生成.

1 隨機骨料模型的自動生成

1.1 骨料粒徑和投放量的確定

混凝土粗骨料按表面形狀，可分為卵石、碎石和人工破碎卵石.

為了使混凝土細觀分析能在二維平面上進行，Walraven等［15］在球形骨料與等概率空間分布假定的基礎上，建立了混凝土試件空間內(nèi)骨料含量與其內(nèi)截面的骨料面積之間的關系，即二維截面試件內(nèi)任一點骨料直徑D＜D0（篩孔直徑）的概率Pc為：

式中：Pk為骨料（包括粗骨料和細骨料）體積占混凝土總體積的百分比；Dmax為最大骨料顆粒粒徑；D 的上標均表示指數(shù).

1.2 骨料庫的生成

關于凸多邊形骨料的形成，文獻［10］先隨機投放三角形或四邊形骨料，再進行隨機延凸來限定骨料的凸性；文獻［16－17］在圓形骨料圓周上隨機生成3個或4個點以形成多邊形骨料基框架，然后在以多邊形最長邊為直徑的圓內(nèi)生成多邊形的新頂點進行延凸；文獻［18］用消除骨料凹面的方法來保持凸性.本文在隨機生成的圓形或橢圓形骨料基礎上，提出一種簡單的凸多邊形骨料生成方法，能在圓或橢圓形邊界上隨機生成凸多邊形的頂點以保證其凸性，凸多邊形頂點的位置由極角θ（j）確定，如圖1所示.

圖1 多邊形骨料極坐標表示Fig.1 Polygonal aggregate in polar coordinates

凸多邊形任意一邊的對角φ（j）＝θ（j＋1）－θ（j）.因它有h條邊，故φ（j）的平均值為2π／h.假定φ（j）根據(jù)平均值進行變化，則可表示為：

為滿足所獲得的所有φ（j）之和等于2π這一條件，需對φ（j）作如下修正：

修正后，各頂點的極角為：

式中：rand為0～1 間按均勻分布產(chǎn)生的隨機數(shù)；δ表示φ（j）的波動程度，取值為0～1間的任意數(shù)，這里取0.5；α為骨料方位的相角，取值為0～2π間均勻分布的隨機數(shù)；j為凸多邊形的頂點編號.

順時針連接各個頂點，即生成圓基或橢圓基凸多邊形，調(diào)用MATLAB 中polyarea函數(shù)可計算該凸多邊形的面積.骨料庫的生成步驟概述如下：

（1）計算各級配段骨料生成的控制參數(shù).根據(jù)實際需要選取全級配混凝土二維試件尺寸作為骨料投放區(qū)域的大小，將混凝土三維試件骨料體積分數(shù)Pk和骨料粒徑最大值Dmax代入式（1），分別得到粒徑小于某級配段粒徑上限（Du）和下限（Dd）的骨料在二維試件截面上出現(xiàn)的概率Pc（D＜Du）和Pc（D＜Dd），兩者差值即為該級配段骨料投放面積占混凝土二維試件截面的面積率，將其作為各級配段骨料生成的控制參數(shù).

（2）分級配段生成骨料庫.在某級配段內(nèi)隨機生成骨料并計算其面積率.若累積面積率小于該級配段骨料生成控制參數(shù)，則繼續(xù)該級配段骨料的生成；若累積面積率大于該級配段控制參數(shù)，則放棄最后這顆骨料的生成，重新在該級配段內(nèi)生成一顆更小的骨料，直到當前級配段生成的骨料累積面積率達到該級配段骨料生成控制參數(shù)的0.99～1.01倍，即可終止骨料生成.

1.3 基于數(shù)值圖像處理的隨機骨料投放

就全級配混凝土而言，由于骨料顆粒較多，未定位的骨料易與前面已定位的骨料發(fā)生沖突.為了提高骨料的投放效率，用數(shù)值圖像處理技術將骨料在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布轉(zhuǎn)化為服從條件均勻分布，即在投放區(qū)域中若某些區(qū)域被前面投放的骨料所占據(jù)，則給這些被占區(qū)域一個0的選擇概率，而給那些自由區(qū)域一個較大的選擇概率.

對一幅圖像采樣時，若每行采樣數(shù)為M，每列采樣數(shù)為N，則圖像大小為M×N 個像素.如果每個像素點的顏色用紅、綠、藍3 種顏色的強度值表示，取值為0～255，則MATLAB 讀取一幅M×N個像素點的RGB 圖像時可用三維數(shù)組X 表示.若圖像中某像素點P 的顏色強度值為（255，0，0），則該像素點為紅色；若某像素點的顏色強度值為（255，255，255），則該像素點為白色.

基于上述成像原理，以一幅與骨料投放區(qū)大小一致的白色圖像作為骨料投放背景區(qū)，以圖形窗口左上角為坐標原點，投放的骨料用紅色表示.初始投放時，圖像中各像素點的顏色強度值均為（255，255，255）.開始投放時，從數(shù)組X 的第3面X（∶，∶，3）中找出數(shù)據(jù)為255的元素所在的行號和列號（即取樣點的坐標），將它們分別儲存在矩陣H 和L 中.從矩陣H 中隨機選取1個元素s作為待投放骨料形心的橫坐標，在矩陣L 中選取1個與矩陣H 中元素s相對應的元素t 作為待投放骨料形心的縱坐標，這樣便隨機選擇到一個未被骨料占據(jù)的點作為骨料投放的形心位置.為加強骨料位置的隨機性，按下式修正骨料形心位置：

投放骨料成功后，調(diào)用MATLAB 中的patch函數(shù)將其所占據(jù)的區(qū)域填充為紅色，像素點顏色強度值變?yōu)椋?55，0，0），如圖2所示.后繼骨料的投放只需尋找顏色強度值為（255，255，255）的像素點作為隨機樣本進行遴選，重復上面的工作即可.

圖2 數(shù)值圖像處理骨料投放示意圖Fig.2 Placing process represented by numerical image processing technology

骨料投放時，骨料影響范圍系數(shù)的大小直接影響骨料投放的成功率：骨料影響范圍系數(shù)越大，骨料間距就越大，骨料投放率會變得很低，反之，骨料投放間距越小，骨料投放就越容易.Schlangen等［19］給出的骨料影響范圍系數(shù)為1.1；Wittmann等［20］認為骨料影響范圍系數(shù)與骨料含量有關，骨料含量越高，骨料影響范圍系數(shù)越??；Wang等［21］通過觀察混凝土中大量骨料交界面，發(fā)現(xiàn)界面厚度與骨料粒徑有關.本文將骨料影響范圍系數(shù)取為1.05.

圓形骨料相互嵌入的判斷條件相對簡單，判斷兩圓心之間的距離是否大于它們的半徑之和乘以骨料影響范圍系數(shù)即可.

關于橢圓形骨料相互嵌入的判斷條件，文獻［22］利用橢圓的外接多邊形逼近橢圓，把橢圓之間的嵌入判斷轉(zhuǎn)化為多邊形之間的嵌入判斷，此方法的缺點是：若多邊形邊數(shù)太少，將影響逼近精度而出現(xiàn)誤判；若邊數(shù)太多，又會影響判斷效率.文獻［23］利用兩橢圓的代數(shù)條件來判斷是否相互嵌入，該方法雖然在效率上得到了優(yōu)化，但是所建立的廣義特征多項式為一元三次方程，求解方程時如果精度設定不當，也會出現(xiàn)誤判.本文提出一種新的判斷兩橢圓間位置關系的算法，其基本原理是根據(jù)橢圓－橢圓外切的代數(shù)條件，利用仿射變換和逆變換方法，推導出橢圓－橢圓的不適合邊界（NFB）軌跡方程［24］來判斷二者的關系.兩橢圓的平面位置關系如圖3所示，橢圓E（n）和E（i）的不適合邊界軌跡方程可表示為：

圖3 兩橢圓的平面位置關系Fig.3 Planar position relationship of the two ellipses

函數(shù)F＞0表示橢圓E（i）的中心點在NFB外，兩橢圓不相互嵌入；函數(shù)F＝0表示橢圓E（i）的中心點在NFB上，兩橢圓不相互嵌入；F 為虛數(shù)表示橢圓E（i）的中心點在NFB內(nèi)，兩橢圓相互嵌入.

凸多邊形骨料相互嵌入情況有兩種，如圖4所示.目前的判斷方法主要有3種，分別是夾角之和測試法［16，18，25］、面積判別準則［10，17］和基于背景網(wǎng)格的侵入判斷［26］.本文直接調(diào)用MATLAB中的inpolygon函數(shù)來判斷凸多邊形骨料是否相互嵌入.

圖4 凸多邊形的嵌入形式Fig.4 Intersection forms of the convex polygons

2 有限元網(wǎng)格的自動剖分

2.1 黏結(jié)界面和砂漿基質(zhì)的生成

為了在細觀層面上進行全級配混凝土的數(shù)值模擬，需要在生成的細觀隨機骨料模型基礎上生成黏結(jié)界面和砂漿基質(zhì).假定黏結(jié)界面等厚度包裹在骨料外面，對圓形、圓基凸多邊形、橢圓形和橢圓基凸多邊形骨料以形心為縮放中心，以骨料影響范圍系數(shù)為縮放因子進行縮放，可生成隨機骨料的黏結(jié)界面.砂漿基質(zhì)是除骨料及黏結(jié)界面以外的投放區(qū)域.

2.2 細觀有限元網(wǎng)格的剖分

對細觀幾何模型進行有限元網(wǎng)格剖分常用方法有：映射網(wǎng)格法［17］、改進的推進波前法（AFT）［23］、Delaunay三角剖分法［27］和改進的Delaunay三角剖分法（漸變網(wǎng)格剖分法）［28］等.本文采用的COMSOL軟件可以自動進行結(jié)構(gòu)化或非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格剖分，并支持移動網(wǎng)格、虛擬幾何剖分網(wǎng)格、穩(wěn)態(tài)及瞬態(tài)自適應網(wǎng)格.COMSOL軟件中非結(jié)構(gòu)化三角形網(wǎng)格剖分內(nèi)置了2種算法，即Delaunay算法和前沿算法.Delaunay三角剖分使得所有三角形互不重疊，完整地覆蓋了整個問題域，所有的節(jié)點都成為Delaunay三角形的頂點，且能夠盡可能地避免病態(tài)三角形的出現(xiàn)，生成比較規(guī)則的三角形.應用COMSOL軟件及MATLAB軟件，可以方便地完成混凝土二維細觀模型的自動生成.

3 數(shù)值模型實例

3.1 骨料投放實例

為了驗證隨機骨料模型算法的有效性，以截面尺寸為450mm×450mm 的混凝土試件為例，混凝土中骨料級配設定為：m（ELA（特大石））∶m（LA（大石））∶m（MA（中石））∶m（SA（小石））＝3∶3∶2∶2，將每個級配段粒徑等分為兩級，根據(jù)式（1）確定試件內(nèi)截面各級配段骨料應投放的面積占試件截面面積的百分比，體積分數(shù)為72%的目標骨料二維隨機骨料投放統(tǒng)計結(jié)果見表1，所建立的隨機骨料模型如圖5所示.用配置為AMD Athlon（tm）ⅡX2 215Processor 2.70GHz，內(nèi)存為2.0GB的計算機進行計算，完成圓形、橢圓形、圓基凸多邊形和橢圓基凸多邊形模型分別耗時19.890，20.670，20.417，22.026s.

表1 二維隨機骨料投放統(tǒng)計結(jié)果Table 1 Statistic results of placing aggregates in two－dimensional models

圖5 4種隨機骨料幾何模型Fig.5 Geometric models of four kind of random aggregates

二維試件骨料實際投放量在70%左右，完全可以滿足全級配混凝土試件數(shù)值仿真模擬的要求.這里的模型是按各級配骨料粒徑比例和相應的骨料含量，在每一粒徑范圍內(nèi)等機率選取粒徑大小而生成連續(xù)粒徑的隨機骨料模型.然而本文提出的隨機骨料投放方法還可以生成任意代表粒徑的隨機骨料模型.如取各級配粒徑范圍的平均值作為代表粒徑，按照上述各級配粒徑骨料比例和目標投放量，可分別得到特大石4顆、大石15顆、中石44顆、小石127顆.所建立的代表粒徑隨機骨料模型見圖6.

圖6 4種代表粒徑骨料幾何模型Fig.6 Geometric models of four kind of representative aggregate particles

3.2 網(wǎng)格劃分實例

選取試驗編號為QS1的某大壩全級配混凝土數(shù)據(jù)建立劈拉試驗二維細觀模型，試件尺寸為450mm×450mm×450mm，混凝土骨料用量2 212 kg／m3，密度2 717.5kg／m3.通過式（1）將三維骨料級配轉(zhuǎn)換為二維級配，得到試件截面內(nèi)骨料粒徑115～150 mm，80～115 mm，60～80 mm，40～60mm，30～40mm，20～30mm，15～20mm，10～15mm 的面積率分別為0.070 5，0.112 5，0.082 2，0.099 7，0.059 8，0.071 1，0.066 3，0.026 4，骨 料總體積分數(shù)為58.85%.

進行細觀有限元網(wǎng)格剖分時黏結(jié)界面最大單元尺寸取界面厚度的1／3.骨料區(qū)域單元尺寸相對較大，砂漿區(qū)域單元尺寸較小，劃分網(wǎng)格后的二維有限元模型見圖7.由圖7 可以看出，這些網(wǎng)格質(zhì)量較好，能滿足骨料和黏結(jié)界面、黏結(jié)界面和砂漿基質(zhì)交界處網(wǎng)格一致性的要求.

圖7 二維有限元模型中的4種隨機骨料網(wǎng)格Fig.7 Meshes of four kind of random aggregates in two－dimensional finite element models

4 結(jié)論

全級配混凝土二維細觀模型自動生成算法，在細觀層面上為全級配混凝土數(shù)值模擬提供了一種有效的建模手段.在圓或橢圓上隨機取點生成凸多邊形保證了骨料的凸性，省去了繁瑣的延凸編程.投放骨料時采用數(shù)值圖像處理技術隨機選取形心，分級配逐個隨機投放，保證了各級配骨料體積分數(shù)能滿足投放要求，提高了骨料的投放效率.將細觀幾何模型導入COMSOL 軟件進行細觀有限元網(wǎng)格剖分，可以對不同區(qū)域剖分不同尺寸的網(wǎng)格.在進行材料屬性賦值時，可以按材料性質(zhì)成集后直接賦值.數(shù)值實例表明，所建立的全級配混凝土細觀模型，對4種形狀骨料的投放率都能達到70%左右，生成的有限元網(wǎng)格能滿足進一步計算的需要.

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