非線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器的振動(dòng)特性與實(shí)驗(yàn)研究*

王光慶，張 偉，劉 創(chuàng)，楊斌強(qiáng)，廖維新

（1.浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院，杭州310018；2.香港中文大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)化工程學(xué)系，香港999077）

非線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器的振動(dòng)特性與實(shí)驗(yàn)研究*

王光慶1*，張 偉1，劉 創(chuàng)1，楊斌強(qiáng)1，廖維新2

（1.浙江工商大學(xué)信息與電子工程學(xué)院，杭州310018；2.香港中文大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)化工程學(xué)系，香港999077）

為了提高線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器的輸出特性，在線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器懸臂梁末端引入Duffing非線(xiàn)性磁力，構(gòu)造了一種雙穩(wěn)態(tài)非線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器；綜合考慮能量采集器的動(dòng)態(tài)振型與軸向應(yīng)變分布情況，建立了系統(tǒng)非線(xiàn)性機(jī)電耦合集總參數(shù)運(yùn)動(dòng)控制模型，并利用4階、5階Runge-Kutta算法對(duì)能量采集器的非線(xiàn)性振動(dòng)特性進(jìn)行了數(shù)值模擬；利用諧波平衡法計(jì)算獲得了能量采集器的幅頻響應(yīng)方程，數(shù)值分析了激勵(lì)頻率、激勵(lì)幅值以及磁鐵間距等對(duì)系統(tǒng)非線(xiàn)性振動(dòng)特性的影響，發(fā)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)可以極大地提高能量采集器的頻率響應(yīng)范圍和能量采集效率，并且能量采集器在低頻、低幅值激勵(lì)情況下可以產(chǎn)生大幅值周期運(yùn)動(dòng)；最后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

壓電能量采集器；非線(xiàn)性振動(dòng)特性；雙穩(wěn)態(tài)行為；Duffing非線(xiàn)性磁力

壓電振動(dòng)能量采集器是一種利用壓電陶瓷的正壓電效應(yīng)將環(huán)境中的振動(dòng)能量采集并轉(zhuǎn)換成電能的微機(jī)電器件，在微電子設(shè)備和微功耗器件中具有廣泛的應(yīng)用前景［1］。典型壓電振動(dòng)能量采集器的結(jié)構(gòu)是由壓電陶瓷和金屬?gòu)椥泽w粘結(jié)而成的懸臂梁結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造方便、與MEMS集成性好。但由于這種結(jié)構(gòu)是一種線(xiàn)性系統(tǒng)，工作頻帶相對(duì)比較窄，難以與環(huán)境振動(dòng)的寬頻和隨機(jī)特點(diǎn)相匹配；當(dāng)壓電能量采集器的諧振頻率與環(huán)境振動(dòng)源頻率不一致時(shí)，能量采集器不能產(chǎn)生諧振，其能量采集和轉(zhuǎn)換效率會(huì)大大降低［2］。最近研究表明，在線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量器中引入非線(xiàn)性磁力，使之構(gòu)成雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器，可以實(shí)現(xiàn)在微弱激勵(lì)下的大幅值、寬頻帶的周期或非周期的高能軌道運(yùn)動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)能量采集器在非諧振狀態(tài)下的結(jié)構(gòu)大變形，提高能量采集和轉(zhuǎn)換效率［2-3］。

Erturk［4］等將Duffing式雙穩(wěn)態(tài)模型用于壓電振動(dòng)能量采集器的分析與設(shè)計(jì)，通過(guò)理論與實(shí)驗(yàn)研究了雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁的響應(yīng)和輸出性能，并提出了實(shí)現(xiàn)能量采集器作大幅值高能軌道振動(dòng)的方法。Santon等［5］對(duì)雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁進(jìn)行了建模、數(shù)值計(jì)算和實(shí)驗(yàn)研究，得到了多吸引子共存、混沌和大幅周期運(yùn)動(dòng)等現(xiàn)象，并指出在磁場(chǎng)的作用下，壓電能量采集器的振動(dòng)勢(shì)能函數(shù)是一個(gè)與振動(dòng)幅值有關(guān)的多項(xiàng)式。Mann等［6］利用磁鐵間的吸引力構(gòu)造了一種非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)能量采集器，并建立了能量采集器的數(shù)學(xué)模型，理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)研究證明勢(shì)能阱逃脫現(xiàn)象可以大大拓寬能量采集器的響應(yīng)頻帶。Gammaitoni［7］等研究了雙穩(wěn)態(tài)非線(xiàn)性能量采集器的隨機(jī)共振機(jī)理，并指出合理選擇勢(shì)能阱函數(shù)的參數(shù)，可以大大提高能量采集器在弱環(huán)境隨機(jī)振動(dòng)的能量采集與轉(zhuǎn)換輸出功率。Ferrari等［8］建立了雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁的非線(xiàn)性方程，數(shù)值分析了懸臂梁在白噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)共振幅值響應(yīng)。孫舒等［9］研究了雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并計(jì)算分析系統(tǒng)的響應(yīng)特性，發(fā)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)可以提高系統(tǒng)的頻率響應(yīng)范圍。崔巖等［10］建立了雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁的數(shù)學(xué)模型，理論與實(shí)驗(yàn)研究證實(shí)了雙穩(wěn)態(tài)壓電振子能夠拓展能量采集器的諧振頻率范圍，并能提高能量采集器的低頻振動(dòng)能量采集效率，但對(duì)能量采集器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為未做深入研究。由于非線(xiàn)性壓電振子的動(dòng)力學(xué)行為比較復(fù)雜，且非線(xiàn)性模型的求解比較困難，如何從理論和實(shí)驗(yàn)角度深入揭示非線(xiàn)性特性對(duì)壓電振動(dòng)能量采集器性能的影響機(jī)理還缺乏統(tǒng)一的方法。此外，上述研究中未考慮能量采集器的動(dòng)態(tài)振型和軸向應(yīng)變分布對(duì)模型輸出性能的影響。

本文引入Duffing非線(xiàn)性磁力模型，構(gòu)造了一種雙穩(wěn)態(tài)非線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器；綜合考慮能量采集器的動(dòng)態(tài)振型與軸向應(yīng)變分布情況，建立了系統(tǒng)非線(xiàn)性機(jī)電耦合集總參數(shù)運(yùn)動(dòng)控制模型，并利用4、5階Runge-Kutta算法對(duì)模型非線(xiàn)性振動(dòng)特性進(jìn)行了數(shù)值模擬分析；利用諧波平衡法計(jì)算獲得了能量采集器的幅頻響應(yīng)方程，數(shù)值分析了激勵(lì)頻率、激勵(lì)幅值以及磁鐵間距等對(duì)系統(tǒng)非線(xiàn)性振動(dòng)特性的影響，最后，通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器模型

本文研究的雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器是在線(xiàn)性懸臂梁壓電振動(dòng)能量采集器的末端引入一對(duì)相互排斥的磁鐵對(duì)，如圖1（a）所示，永磁鐵A固定在懸臂梁的末端，永磁鐵B固定在距離懸臂梁自由端dr處，通過(guò)調(diào)節(jié)永磁鐵A、B之間的間距dr可以改變磁鐵排斥力FM的大小。當(dāng)磁鐵間距dr無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，兩磁鐵之間的排斥力FM為零，壓電振動(dòng)能量采集器系統(tǒng)變成線(xiàn)性系統(tǒng)；當(dāng)磁鐵間距dr減小到某個(gè)值時(shí)，懸臂梁將出現(xiàn)三個(gè)靜平衡點(diǎn)，其中包括兩個(gè)穩(wěn)定的靜平衡點(diǎn)和一個(gè)不穩(wěn)定的靜平衡點(diǎn)，此時(shí)，系統(tǒng)表現(xiàn)出雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

圖1 雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器結(jié)構(gòu)模型

圖1 中FN和FR分別為磁鐵排斥力FM在垂直和水平方向的分力。當(dāng)在線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器中引入兩永磁鐵后，根據(jù)磁場(chǎng)力的計(jì)算方法，兩磁鐵在垂直方向上產(chǎn)生的排斥力FN與磁鐵間距dr和懸臂梁末端振動(dòng)位移x(t)有關(guān)，具體為［9］：

將式（2）所示的非線(xiàn)性磁力引入到圖1（a）所示的結(jié)構(gòu)模型中，得到系統(tǒng)的集總參數(shù)模型，如圖1（b）所示。圖中M、C和K分別表示線(xiàn)性懸臂梁壓電振動(dòng)能量采集器的集總等效質(zhì)量、等效阻尼和等效剛度；α和Cp分別表示壓電陶瓷的機(jī)電耦合系數(shù)和等效夾持電容，u（t）和y（t）分別表示基礎(chǔ)和懸臂梁末端的振動(dòng)位移，且x(t)=y(t)-u(t)，V（t）為負(fù)載電阻R兩端的電壓降。

圖2中等效參數(shù)為［11-12］：

式中，ρ、S、I和E分別為線(xiàn)性懸臂梁壓電振動(dòng)能量采集器的平均密度、截面面積、截面慣性矩和平均彈性模量。e31和分別為壓電陶瓷的壓電常數(shù)和夾持介電常數(shù)，hs和hp分別為懸臂梁基板和壓電陶瓷的厚度。 βM，βK和 βα為與懸臂梁振型信息?(x)和軸向應(yīng)變分布有關(guān)的待定系數(shù)，其中［11-12］：

根據(jù)圖1（b）所示的集總參數(shù)模型，建立系統(tǒng)的非線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)控制方程，如下：

圖2 系統(tǒng)非線(xiàn)性勢(shì)能曲線(xiàn)

2 模型解分析

2.1 系統(tǒng)時(shí)域解分析

式（12）表示的非線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器機(jī)電耦合方程可以利用微分方程求解器得到其時(shí)域解，本文采用4-5階龍格庫(kù)塔算法（Ode45）在MATLAB仿真軟件中求解獲得。

2.2 系統(tǒng)頻域解分析

采用諧波平衡方法對(duì)系統(tǒng)的頻域解進(jìn)行分析，由式（10）可得：

式（20）是一個(gè)關(guān)于振動(dòng)幅值A(chǔ)的6階非線(xiàn)性多項(xiàng)式表達(dá)式，該式存在1個(gè)或3個(gè)實(shí)數(shù)解。當(dāng)存在3個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，唯獨(dú)最大和最小的兩個(gè)實(shí)數(shù)解表示非線(xiàn)性系統(tǒng)是穩(wěn)定可實(shí)現(xiàn)的，這意味著對(duì)于給定的外部激勵(lì)頻率和幅值，雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器具有兩個(gè)穩(wěn)態(tài)的諧波振動(dòng)。

同理，將式（16）和式（17）代入式（11）可得雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器輸出電壓的幅值為：

則雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)的平均輸出功率為：

3 系統(tǒng)非線(xiàn)性特性仿真分析

本文仿真參數(shù)?。?/p>

①壓電懸臂梁結(jié)構(gòu)參數(shù)：平均密度ρ=7.844 1×103kg·m-3，截面面積 S=8.172×10-6m2，截面慣性矩 I=1.403 6×10-13m4，彈性模量E=7.001 8×1010Pa，α=7.143 7×10-4，Cp=70nF，懸臂梁長(zhǎng)度L=60mm，

②磁鐵參數(shù)：mA=mB=0.93×106A/m，VA= VB=0.6×10-6mm3。

將上述參數(shù)代入系統(tǒng)模型計(jì)算得到：μ=0.04，r=1.174，θ=1.030 1×10-5，κ2=0.058 9。

3.1 時(shí)域響應(yīng)特性分析

圖3是外部激勵(lì)加速度的頻率Ω=0.8，初始平衡位置X0=0.417 3時(shí)，非線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器的末端振動(dòng)位移X、輸出電壓v以及相圖等特性在負(fù)載電阻R開(kāi)路條件下隨外部激勵(lì)加速度幅值（F=[0.02，0.08，0.20]）的變化情況。從圖3可以看出，隨著激勵(lì)加速度幅值的增大，非線(xiàn)性壓電懸臂梁能量采集器的末端振動(dòng)位移、振動(dòng)速度和輸出電壓都隨之增大。當(dāng)激勵(lì)加速度幅值很?。‵=0.02）時(shí)，由圖3（a）可知，由于能量采集器輸入的能量很小，不足以克服勢(shì)能阱的阻礙作用，能量采集器被限制在初始平衡位置（X0=0.417 3）附近作小幅值的單穩(wěn)態(tài)周期振動(dòng)（或低能軌道振動(dòng)），導(dǎo)致能量采集器的末端振動(dòng)位移、振動(dòng)速度、輸出電壓等較小。此時(shí)，相圖是一個(gè)以圓心（0.417 3，0）的圓。當(dāng)激勵(lì)加速度逐漸增大，能量采集器開(kāi)始由單穩(wěn)態(tài)的周期振動(dòng)變成為多周期振動(dòng)，進(jìn)而出現(xiàn)混沌-小幅值周期的擬周期振動(dòng)；當(dāng)激勵(lì)加速度幅值增加到F= 0.08時(shí)，由圖3（b）可知，能量采集器在兩個(gè)勢(shì)能阱之間作大幅混沌振動(dòng)，并產(chǎn)生奇異吸引子；如果繼續(xù)增大激勵(lì)加速度幅值到F=0.2時(shí)，能量采集器則由大幅不規(guī)則的混沌振動(dòng)變?yōu)樵趦蓚€(gè)勢(shì)能阱間作大幅周期振動(dòng)（或高能軌道振動(dòng)），如圖3（c）所示。此時(shí)，能量采集器的末端位移、振動(dòng)速度和輸出電壓等會(huì)大大提高，表現(xiàn)出大幅周期吸引子。

圖4是外部激勵(lì)加速度的幅值F=0.2，磁鐵間距dr=12mm，初始平衡位置X0=0.417 3時(shí)，非線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器的末端振動(dòng)位移、輸出電壓以及相圖等特性負(fù)載電阻開(kāi)路條件下隨外部激勵(lì)加速度頻率（Ω=[0.4,0.8,1.6]）的變化情況。由圖4可以看出，當(dāng)激勵(lì)頻率很小時(shí)，由于激勵(lì)遠(yuǎn)離系統(tǒng)非線(xiàn)性諧振頻率，即使外部激勵(lì)幅值很大，也很難激勵(lì)能量采集器出現(xiàn)大幅值的振動(dòng)，能量采集器只能在平衡位置附近作小幅值的周期振動(dòng)。隨著激勵(lì)頻率的增大，能量采集器逐漸進(jìn)入混沌振動(dòng)（圖4（a））和大幅值周期振動(dòng)（圖4（b））；當(dāng)激勵(lì)頻率增大遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)其固有頻率（Ω0=1.0）時(shí)，能量采集器又回到平衡點(diǎn)附近作小幅周期振動(dòng)，如圖4（c）所示。由此可見(jiàn)，要使能量采集器的輸出特性增加，激勵(lì)頻率范圍并非越大越好，而是低頻范圍下出現(xiàn)大幅振動(dòng)。

圖3 能量采集器末端振動(dòng)位移X、輸出電壓V以及相圖隨激勵(lì)加速度幅值F的變化

圖4 能量采集器相圖隨激勵(lì)加速度頻率的變化

圖5和圖6是外部激勵(lì)加速度的幅值F=0.2，激勵(lì)頻率Ω=0.8時(shí)，非線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器的相圖在負(fù)載電阻開(kāi)路條件下隨磁鐵間距dr的變化情況。由圖5、圖6可知，當(dāng)磁鐵間距dr在某個(gè)范圍內(nèi)，系統(tǒng)才會(huì)發(fā)生大幅值的高能軌道振動(dòng)；當(dāng)磁鐵間距很小時(shí)，由磁力模型可知，系統(tǒng)中的非線(xiàn)性力很大，能量采集器很難有足夠的能量越過(guò)勢(shì)壘的阻礙作用作大幅振動(dòng)，只能在平衡位置作小幅的周期振動(dòng)，如圖5所示。當(dāng)磁鐵間距趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)，磁力作用變?yōu)?，此時(shí)，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)變?yōu)榫€(xiàn)性系統(tǒng)，能量采集器在中心平穩(wěn)位置附近作小幅的周期振動(dòng)，如圖6所示。

圖5 dr=10.5 mm時(shí)系統(tǒng)相圖

圖6 雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)與線(xiàn)性系統(tǒng)相圖對(duì)比

3.2 磁鐵間距的影響

圖7是外部激勵(lì)加速度的頻率Ω=0.8，負(fù)載電阻R=136K時(shí)，非線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器的末端振動(dòng)幅值在不同磁鐵間距條件下隨激勵(lì)幅值的變化情況。

圖7 不同磁鐵間距下采集器末端位移幅值隨激勵(lì)加速度幅值的變化情況

由圖7可知，系統(tǒng)末端位移幅值隨著激勵(lì)加速度的增加逐漸增加，但增加幅度逐漸減小。當(dāng)磁鐵間距dr=14mm時(shí)，系統(tǒng)在外部激勵(lì)加速度幅值F=0.06發(fā)生跳變；當(dāng)dr=12mm時(shí)，系統(tǒng)在F= 0.35發(fā)生跳變；當(dāng)dr=11mm時(shí)，系統(tǒng)在F=0.66發(fā)生跳變。這是由于隨著磁鐵間距的增大，系統(tǒng)非線(xiàn)性磁力和勢(shì)壘均減小，系統(tǒng)克服勢(shì)壘的阻礙作用所需要的外部激勵(lì)能量減小。反之，當(dāng)磁鐵間距減小時(shí)，由于系統(tǒng)需要克服較大的勢(shì)壘才能跳躍到高能軌道振動(dòng)，因此，需要較大的外部激勵(lì)加速度；一旦系統(tǒng)跳躍進(jìn)入高能軌道，則會(huì)產(chǎn)生較大的輸出性能。

4 對(duì)比仿真分析

本文將非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器的輸出特性與線(xiàn)性壓電能量采集器的輸出特性進(jìn)行對(duì)比分析。線(xiàn)性壓電能量采集器的無(wú)量綱化運(yùn)動(dòng)控制微分方程如下［14］：

式中變量定義與式（12）是相同的。并可得到線(xiàn)性系統(tǒng)末端位移幅值表達(dá)式：

式中C=Ω3-(κ2+θμ)，D=-(μ+θ)Ω2+θ

非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器末端振動(dòng)相圖與線(xiàn)性系統(tǒng)相圖的對(duì)比結(jié)果如圖6所示，可以看出，雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器較線(xiàn)性系統(tǒng)具有更高的位移、速度和電壓輸出特性。

5 實(shí)驗(yàn)與驗(yàn)證

非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)如圖8所示。雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器由線(xiàn)性雙壓電晶片能量采集器（尺寸：60×18×0.454mm，其中每片壓電晶片厚度為0.127 mm，諧振頻率為21.6 Hz）和一對(duì)永磁鐵（磁鐵體積600 mm3，磁矩0.93×106A/m）構(gòu)成。雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器通過(guò)螺釘固定在激振器臺(tái)面上，信號(hào)發(fā)生產(chǎn)生固定頻率和幅值的正弦加速度信號(hào)，通過(guò)功率放大器后激勵(lì)激振器作正弦運(yùn)動(dòng)，臺(tái)面振動(dòng)加速度通過(guò)加速度計(jì)進(jìn)行監(jiān)控，能量采集器的末端振動(dòng)位移和速度則通過(guò)激光測(cè)振儀采集后，通過(guò)控制器送入計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算處理和分析；能量采集器的輸出電壓則通過(guò)示波器采集獲取。實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，磁鐵間距可以通過(guò)螺旋測(cè)微機(jī)構(gòu)進(jìn)行調(diào)節(jié)，系統(tǒng)初始平穩(wěn)位置為8 mm。

圖8 雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)

實(shí)驗(yàn)中磁鐵間距dr=14mm，此時(shí)雙穩(wěn)態(tài)能量采集器系統(tǒng)諧振頻率為16.2 Hz，實(shí)驗(yàn)時(shí)選取激勵(lì)頻率 f=17Hz，逐漸增大激勵(lì)幅值，測(cè)量雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器不同激勵(lì)幅值下的影響特性。圖9為激勵(lì)幅值A(chǔ)=13m/s2時(shí)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象，此時(shí)系統(tǒng)在初始平衡位置作小幅周期振動(dòng)。當(dāng)激勵(lì)幅值增大到A=19m/s2時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生幅值混沌運(yùn)動(dòng)，如圖10所示；若繼續(xù)增大激勵(lì)幅值A(chǔ)=24.6 m/s2，則系統(tǒng)由混沌運(yùn)動(dòng)變?yōu)榇蠓档闹芷谶\(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)振動(dòng)幅值達(dá)到15 mm，振動(dòng)速度達(dá)到1 500 mm/s，如圖11所示。此時(shí)，當(dāng)若增大激勵(lì)頻率 f=23Hz時(shí)，由于激勵(lì)頻率遠(yuǎn)離系統(tǒng)諧振頻率，系統(tǒng)恢復(fù)在初始平衡位置附近做小幅值的周期振動(dòng)，如圖12所示。圖9～圖12的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與4.1節(jié)的理論仿真結(jié)果是一致的。

圖9 末端位移時(shí)域圖、相圖實(shí)驗(yàn)結(jié)果（A=13m/s2，f=17 Hz，dr=14 mm）

圖10 末端位移時(shí)域圖、相圖實(shí)驗(yàn)結(jié)果（A=19 m/s2，f=17 Hz，dr=14 mm）

圖11 末端位移時(shí)域圖、相圖實(shí)驗(yàn)結(jié)果（A=24.6 m/s2，f=17 Hz，dr=14 mm）

圖12 末端位移時(shí)域圖、相圖（A=24.6 m/s2，f=23 Hz，dr=14 mm）

圖13是激勵(lì)頻率 f=17Hz、激勵(lì)幅值F=8m/s時(shí)磁鐵間距dr對(duì)雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器輸出性能的影響實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從圖中可以看出，當(dāng)磁鐵間距很?。╠r＜11mm）時(shí)，由于此時(shí)磁鐵之間的磁力很大，能量采集器沒(méi)有足夠的能量越過(guò)勢(shì)壘做大幅振動(dòng)，只能在一個(gè)平衡點(diǎn)附件做小幅周期振動(dòng)，此時(shí)，系統(tǒng)末端輸出位移幅值比較小；當(dāng)且僅當(dāng)磁鐵間距在區(qū)間內(nèi)dr∈[12,16]時(shí)，系統(tǒng)做大幅值的周期振動(dòng)，并且表現(xiàn)為雙穩(wěn)態(tài)特征；隨著磁鐵間距dr的持續(xù)增大，磁鐵間的磁力也持續(xù)減小直到為零，此時(shí)系統(tǒng)變?yōu)榫€(xiàn)性系統(tǒng)，其幅值輸出將比雙穩(wěn)態(tài)周期振動(dòng)時(shí)要小很多，這與4.1節(jié)的理論仿真分析是相符合的。

圖13 磁鐵間距對(duì)能量采集器末端位移的影響

圖14是非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器分別在無(wú)量綱激勵(lì)幅值作用下的升頻、降頻響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果?？梢钥闯?，隨著激勵(lì)幅值的增大，系統(tǒng)的頻率響應(yīng)幅值和作大幅值周期振動(dòng)的頻帶寬均增大。由于非線(xiàn)性振動(dòng)的影響，雙穩(wěn)態(tài)能量采集器的頻率響應(yīng)特性在升頻激勵(lì)過(guò)程中具有跳躍現(xiàn)象，這種現(xiàn)象容易使能量采集器由低能小幅值振動(dòng)軌道瞬間進(jìn)入高能大幅值振動(dòng)軌道，從而極大地提高能量采集器的輸出性能。此外，從圖14中還可以看出，隨著激勵(lì)幅值的增加，不僅系統(tǒng)的振動(dòng)幅值有所增大，而且系統(tǒng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象的頻率點(diǎn)逐漸提前，這有利于擴(kuò)寬系統(tǒng)的頻率響應(yīng)帶寬。在降頻激勵(lì)過(guò)程中，能量采集器的頻率響應(yīng)特性與升頻過(guò)程中的頻率響應(yīng)特性存在滯后現(xiàn)象，這種現(xiàn)象主要是由于壓電陶瓷材料的遲滯效應(yīng)引起的。

圖14 不同激勵(lì)幅值下的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)

6 結(jié)論

本文建立非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)壓電振動(dòng)能量采集器的非線(xiàn)性機(jī)電耦合運(yùn)動(dòng)方程，并能量采集器非線(xiàn)性振動(dòng)特性進(jìn)行了研究分析，仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了本文方法的正確可行性，得到如下結(jié)論：①引入非線(xiàn)性磁力模型，線(xiàn)性壓電振動(dòng)能量采集器變成非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)能量采集器，可以提高能量采集器輸出特性；②雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器存在三個(gè)初始平衡位置；增大激勵(lì)幅值，可以使非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)能量采集器經(jīng)歷：小幅值周期振動(dòng)-多周期振動(dòng)-擬周期振動(dòng)-混沌振動(dòng)-大幅值周期振動(dòng)；③雙穩(wěn)態(tài)壓電能量采集器存在跳躍、多解現(xiàn)象；在低頻范圍內(nèi)會(huì)出現(xiàn)大幅值周期振動(dòng)，且響應(yīng)頻帶很寬；④磁鐵間距對(duì)系統(tǒng)輸出性能影響比較大，當(dāng)磁鐵間距落在［12，16］之間時(shí)，系統(tǒng)做大幅值周期振動(dòng)，出現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)振動(dòng)行為，有利于提高能量采集器的輸出性能。

致謝

本文在理論與實(shí)驗(yàn)方面受到香港中文大學(xué)智能材料與結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)室的大力支持和指導(dǎo)，在此表示感謝!

［1］Priya S S，Daniel D J.Energy Harvesting Technologies［M］.Springer Sciece+Bussiness Media，LLc，2009.

［2］Harne R L，Wang K W.A Review of the Recent Research on Vi?bration Energy Harvesting Via Bistable［J］.Smart Materials and Structures，2013，22：023001.

［3］Sergio P P，Nima T，Mark S，et al.Bistable Vibration Energy Har?vester：A Review［J］.Journal of Intelligent Material Systems and Structures，2012，24（11）：1303-1312.

［4］Erturk A，Inman D J.Broadband Piezoelectric Power Generation on High-Energy Orbits of the Bistable Duffing Oscillator with Electromechanical Coupling［J］.Journal of Sound and Vibration，2011，330（10）：2339-2353.

［5］Santon S C，McGehee C C，Mann B P.Nonlinear Dynamics for Broadband Energy Harvesting：Investigation of a Bistable Piezo?electric Inertial Generator［J］.Physical D，2010，239（10）：640-653.

［6］Mann B P，Owens B A.Investigations of a Nonlinear Energy Har?vester with A Bistable Potential Well［J］.Journal of Sound and Vi?bration，2010，329：1215-1226.

［7］Gammaitoni L，Neri I，Vocca H.Nonlinear Oscillators for Vibra?tion Energy Harvesting［J］.Applied Physics Letters，2009，94（16）：164102.

［8］Ferrari M，F(xiàn)errari V，Guizzetti M，et al.Improved Energy Harvest?ing from Wideband Vibrations by Nonlinear Piezoelectric Convert?ers［J］.Procedia Chemistry，2009（1）：1203-1206.

［9］孫舒，曹樹(shù)謙.雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模及分析［J］.物理學(xué)報(bào)，2012，61（21）：210505-1.

［10］崔巖，王飛，董維杰，等.非線(xiàn)性壓電式能量采集器［J］.光學(xué)精密工程，2012，20（12）：2737-2743.

［11］王光慶金文平展永政，等.壓電振動(dòng)能量采集器的力電耦合模型及其功率優(yōu)化［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2014，26（8）：1092-1100.

［12］展永政，王光慶.雙自由度壓電振動(dòng)能量采集器的力-電輸出特性分析［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2014，27（6）：871-877.

［13］賈尚帥，孫舒，李明高.基于諧波平衡法的雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)非線(xiàn)性振動(dòng)特性研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2014，33（6）：170-173.

［14］佘引，溫志渝，趙興強(qiáng)，等.MEMS壓電陣列振動(dòng)能量采集器［J］.傳感技術(shù)學(xué)報(bào)，2014，27（8）：1033-1037.

王光慶（1975-），男，博士，教授，主要從事傳感檢測(cè)與信號(hào)處理、壓電超聲驅(qū)動(dòng)器、壓電振動(dòng)能量采集器的理論與應(yīng)用研究，kele76@163.com；

張 偉（1990-），男，碩士研究生，主要從事壓電振動(dòng)能量采集和壓電超聲波電機(jī)方面的研究工作，510293991@qq.com。

Vibration Performances and Experiments of Nonlinear Piezoelectric Vibration Energy Harvester*

Wang Guangqing1*，Zhang Wei1，Liu Chuang1，Yang Binqiang1，Liao Weihsin2
（1.School of Information and Electronic Engineering，Zhajing Gongshang University，Hangzhou 310018，China；2.Department of Mechanical and Automation，The Chinese University of Hong Kong，Hongkong 999077，China）

In order to improve the output performances of the linear piezoelectric vibration energy harvester（PVEH），a bistable nonlinear PVEH was developed by adding a Duffing nonlinear magnetic force to a tip end of the linear PVEH.The governing motion of the nonlinear electromechanical lumped parameter of the bistable PVEH was derived with considering the dynamic shape and the axial strain of the cantilevered beam of the linear PVEH，a four or five order Runge-Kutta algorithm was used to analyze the dynamic behaviors.The frequency responding function was derived with the resonant balance method；the effects of the exciting frequency，the exciting amplitude and the distance between the two magnets were numerically studied.The research results have shown that the bistable mo?tion can not only improve the operating frequency wideband and the energy harvesting efficiency，but also easily make it move in a periodic large-amplitude orbit under a low exciting frequency and amplitude.At last，some experi?ments are carried out to testify the validity of the numerical results.

Piezoelectric energy harvester；nonlinear vibration characteristics；bistable behavior；Duffing nonlinear magnetic force

TH825

A

1004-1699(2015)10-1494-09

??2860A

10.3969/j.issn.1004-1699.2015.10.014

項(xiàng)目來(lái)源：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51277165）；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（LY15F010001，Y1080037）；浙江省教育廳項(xiàng)目（Y201223050）；浙江工商大學(xué)青年人才計(jì)劃項(xiàng)目（QY11-23）

2015-05-20 修改日期：2015-07-20