空間幾何體知識(shí)點(diǎn)解讀及考點(diǎn)分析

陳昕+李偉玉

一、知識(shí)點(diǎn)解讀

1.熟練掌握棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，熟練掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)以及球的結(jié)構(gòu)特征。

2.空間幾何體的三視圖畫(huà)法要求：正視圖（從前向后看）、俯視圖（從上往下看）、側(cè)視圖（從左往右看，也叫左視圖）；正視圖和側(cè)視圖的高度一樣，俯視圖和正視圖的長(zhǎng)度一樣，俯視圖與側(cè)視圖的寬度一樣。即正、側(cè)一樣高，正、俯一樣長(zhǎng)，俯、側(cè)一樣寬。

3.空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫(huà)法，其基本步驟是：（1）畫(huà)幾何體的底面。（2）畫(huà)幾何體的高。

4.熟練掌握柱、錐、臺(tái)和球的側(cè)面積與體積公式的應(yīng)用。

5.球的組合體常見(jiàn)結(jié)論及解法。（1）球與長(zhǎng)方體的組合體：長(zhǎng)方體的外接球的直徑是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)。（2）球與正方體的組合體：正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長(zhǎng)，正方體的棱切球的直徑是正方體的面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，正方體的外接球的直徑是正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)。（3）球與正四面體的組合體：棱長(zhǎng)為“的正四面體的內(nèi)切球的半徑為√6/12a，外接球的半徑為√6/4a。

二、考點(diǎn)分析

考點(diǎn)l：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

例1 下列四個(gè)命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；③四棱錐的四個(gè)側(cè)面都可以是直角三角形；④棱臺(tái)的相對(duì)側(cè)棱延長(zhǎng)后必交于一點(diǎn)；⑤直角三角形繞其任一邊所在直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐。其中真命題的序號(hào)是

。

解：對(duì)于命題①，顯然符合平行六面體的定義，①是正確的。

對(duì)于命題②，底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直，②是錯(cuò)誤的。

對(duì)于命題③，如圖1，PD⊥平面ABCD，其中底面ABCD為矩形，容易證明∠PAB，∠PCB為直角，這樣四個(gè)側(cè)面都是直角三角形。

由棱臺(tái)的定義知，命題④是正確的。

當(dāng)以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，⑤是錯(cuò)誤的。

答案為①③④。

跟蹤訓(xùn)練1：下列結(jié)論正確的是（）。

A. 各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.棱錐的側(cè)棱與底面多邊形的邊長(zhǎng)都相等，則該棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線(xiàn)都是母線(xiàn)

提示：顯然選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤。應(yīng)選D。

考點(diǎn)2：空間幾何體的三視圖

例2 已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖2所示，俯視圖是邊長(zhǎng)為2的正三角形，側(cè)視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能是（）。

解：當(dāng)正視圖為等腰三角形時(shí)，則高應(yīng)為2，且高應(yīng)為虛線(xiàn)，排除A，D。當(dāng)正視圖是直角三角形時(shí)，F(xiàn)f1條件得一個(gè)直觀圖如圖3所示，中間的線(xiàn)段是看不見(jiàn)的線(xiàn)段PA形成的投影，應(yīng)為虛線(xiàn)。應(yīng)選B。

跟蹤訓(xùn)練2：一幾何體的直觀圖如圖4所示，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是（）。

提示：由直觀圖可知，該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)方體和一個(gè)截角三棱柱組成。從上往下看，外層輪廓線(xiàn)是一個(gè)矩形，矩形內(nèi)部有一條線(xiàn)段連接的兩個(gè)三角形。應(yīng)選B。

考點(diǎn)3：空間幾何體的直觀圖

例3 用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為圖5所示的一個(gè)正方形，則原來(lái)的圖形是（）。

解：由直觀圖可知，在直觀圖中多邊形為正方形，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為√2，所以原圖形為平行四邊形且位于y軸上的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為2√2。應(yīng)選A。

跟蹤訓(xùn)練3：用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的某平面圖形的直觀圖如圖6所示，邊AB平行于y軸，BC、AD平行于z軸。已知四邊形ABCD的面積為2√2 cm²，則原平面圖形的面積為（）。

A. 4 cm²

B. 4√2 cm²

C. 8 cm²

D. 8√2 cm²

提示：依題意可知么BAD=45°，則原平面圖形為直角梯形，上、下底的長(zhǎng)與BC、AD相等，高為梯形ABCD的高的2√2倍，所以原平面圖形的面積為8 cm²。應(yīng)選C。

考點(diǎn)4：空間幾何體的表面積

例4 圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖7所示。若該幾何體的表面積為l6+20π，則r=（）。

考點(diǎn)5：空間幾何體的體積

例5 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖8，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問(wèn)：米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）。

A. 14斛

B. 22斛

C. 36斛

D. 66斛

考點(diǎn)6：與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題

例6 已知A，B是球O的球面上兩點(diǎn)，∠AOB=90°，C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）。

A. 36π

B.64π

C. l44π

D. 256π

因?yàn)樵邳c(diǎn)D由P到B的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ADE的兩腰長(zhǎng)先減小后增大，所以△ADE周長(zhǎng)也會(huì)先減小后增大，可排除B、D，但不是直線(xiàn)變化，可排除A。應(yīng)選C。endprint