一類非線性四階波動方程初邊值問題解的有限時間爆破

張哲，李德生

（沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽110034）

一類非線性四階波動方程初邊值問題解的有限時間爆破

張哲，李德生

（沈陽師范大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，遼寧 沈陽110034）

研究四階帶有阻尼項(xiàng)的非線性波動方程的解的初邊值問題，利用位勢井方法，證明了當(dāng)初值滿足一定條件時解發(fā)生爆破.將有關(guān)該系統(tǒng)爆破性質(zhì)的研究結(jié)果一般化，通過證明得到了該系統(tǒng)較好的性質(zhì).

四階非線性波動方程；初邊值問題；位勢井；有限時間爆破

1 引言

在本文中，考慮如下的非線性波動方程的初邊值問題：

這里??Rn是具有光滑邊界??的有界域，u（x，t）是未知函數(shù)，?是拉普拉斯算子.

眾所周知，非線性波動方程解的整體適定性問題一直是研究熱點(diǎn)，也取得了豐碩的成果［1-5］，并已經(jīng)發(fā)展了不少有效的處理方法.但由于方程包含的范圍十分廣泛，非線性的具體特點(diǎn)又多種多樣，不少結(jié)果往往只是針對某一特定的物理模型，對某一類具體方程的定解問題而得到的.具有阻尼項(xiàng)的非線性波動方程

是從具有黏性效應(yīng)物體的運(yùn)動中提出來的.1980年，文獻(xiàn)［6］首次研究了方程（4）具有初邊值條件（2）和（3）的初邊值問題.在n≤3的條件下，證明了整體強(qiáng)解的存在性，并且討論了解的漸近性質(zhì).文獻(xiàn)［7］同樣研究了問題（2）-問題（4），并把結(jié)果推廣到n≥4，得到了整體強(qiáng)解的存在性.文獻(xiàn)［8］研究了問題（2）-問題（4）解的漸近性質(zhì).上述工作都是在方程具有正定能量的前提下進(jìn)行的.文獻(xiàn)［9］首次研究了不具有正定能量的問題（2）-問題（4），得到了較好的結(jié)果.文獻(xiàn)［10］證明了如果E（0）＜0，則問題（2）-問題（4）的解會在有限時間內(nèi)發(fā)生爆破.文獻(xiàn)［11］改進(jìn)了文獻(xiàn)［10］的結(jié)果，指出了當(dāng)E（0）＜d且初值位于井外集合時該結(jié)論同樣成立.

文獻(xiàn)［12］考慮了具有弱阻尼ut以及強(qiáng)阻尼?ut的非線性波動方程的初邊值問題

證明了只要初值屬于穩(wěn)定集且E（0）＜d，則整體解存在且能量以多項(xiàng)式形式衰減.當(dāng)E（0）＜d且初值屬于不穩(wěn)定集合時，整體解不存在.

隨后，文獻(xiàn)［13］改進(jìn)了文獻(xiàn)［12］的結(jié)果.通過引入一種合適的李雅普諾夫輔助函數(shù)證明了上述方程的初邊值問題的解會以指數(shù)形式衰減.

從物理上看，在原始構(gòu)型的運(yùn)動過程中，方程（1）由外部介質(zhì)所產(chǎn)生的非線性阻尼項(xiàng)對于原始構(gòu)型中的能量積聚起耗散或抑制作用，而非線性力源項(xiàng)則加劇原始構(gòu)形中的能量積聚.如果由非線性力源和其它非線性因素所引起的原始構(gòu)形中的能量積聚不能同步耗散，構(gòu)形中剩余的能量積聚最終可能導(dǎo)致構(gòu)形在有限時刻發(fā)生破裂或燒毀.這就使問題（1）-問題（3）的解在有限時刻發(fā)生爆破現(xiàn)象.因此本文討論問題（1）-問題（3）的解的爆破問題是非常有意義的.

1968年，文獻(xiàn)［14］提出了位勢井方法，用以證明不具有正定能量的雙曲方程的整體解的存在性，此后有很多作者用位勢井方法研究了不同的非線性發(fā)展方程解的整體存在性與不存在性［15-16］.本文研究一般情況下問題（1）-問題（3）解的有限時間爆破.

2 基本定理及符號假設(shè)

為了證明本文的主要結(jié)果，首先給出一些符號、假設(shè)和已知結(jié)果.為了方便，本章用Lp（?）表示由所有定義在?上的Lp泛函構(gòu)成的一般空間，其中2≤p＜∞，范數(shù)

在本文要研究的問題（1）-問題（3）中，f（u）滿足

對于問題（1）-問題（3），首先定義泛函

以及井外空間

這里

下面給出解在有限時間爆破的定義.

定義2.1令u（t）是問題（1）-問題（3）的弱解，如果解的最大存在時間T是有限的，并且有則稱u（t）在有限時間內(nèi)爆破.

引理2.1（Sobolev嵌入定理）設(shè)?有界且有錐性質(zhì)，則當(dāng)2m≤n時，Hm（?）可嵌入Lp（?）.其中，當(dāng)2m＜n時，當(dāng)2m=n時，1≤p＜∞且‖u‖p≤C‖u‖m，2；當(dāng)2m＞n時，Hm（?）嵌入C（?）（?上的有界連續(xù)函數(shù)空間）且均為與u無關(guān)的常數(shù).

引理2.2令f（u）滿足（H），可得到

引理2.3如果d由（9）式定義，則有

3 解的爆破

下面給出本文的主要定理，關(guān)于問題（1）-問題（3）的解的爆破結(jié)果.

定理3.1假設(shè)u0（x）∈H2（?）∩H10（?），u1（x）∈L2（?），I（u0）＜0，E（0）＜d，其中γ滿足：

這里C是Sobolev常數(shù)，則問題（1）-問題（3）的解會在有限時間內(nèi)發(fā)生爆破.

［1］Liu Y C.On potential wells and vacuum isolating of solutions for semilinear wave equations［J］.Journal of Differential Equations，2003，192（1）：155-169.

［2］Liu Y C.Nonlinear pseudoparabolic equations in arbitrary dimensions［J］.Acta.Math.Appl.Sinica.，1997，13（3）：265-278.

［3］Tsutsumi M.Existence and nonexistence of global solutions for nonlinear equations［J］.Publ.Res.Inst. Math.Sci.，1972，8（2）：211-229.

［4］Payne L E，Sattinger D H.Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations［J］.Israel J. Math.，1975，22（3/4）：273-303.

［5］Wang Y J.A sufficient condition for finite time blow up of the nonlinear Klein-Gordon equations with arbitrarily positive initial energy［J］.Proc.Amer.Math.Soc.，2008，136（10）：3477-3482.

［6］Webb G F.Existence and asypmtotic behavior for a strongly damped nonlinear wave equation［J］.Canadian Journal of Mathematics，1980，32：631-643.

［7］Liu Y C，F(xiàn)eng W，Liu D C.Strongly damped nonlinear wave equation in arbitrary dimensions［J］.Math. Appl.，1995，8（3）：262-266.

［8］Xu R Z，Liu Y C.Asymptotic behavior of solutions for initial boundary value problem for strongly damped nonlinear wave equations［J］.Nonlinear Analysis，2008，69（8）：2492-2495.

［9］Liu Y C，Liu P.On potential well and application to strongly damped nonlinear wave equations［J］.Acta. Math.Appl.Sin.，2004，27（4）：710-722.

［10］Ono Kosuke.On global existence，asymptotic stability and blowing up of solutions for some degenerate nonlinear wave equations of Kirchhoff type with a strong dissipation［J］.Mathematical Methods in the Applied Sciences，1997，20（2）：151-177.

［11］Ohta Masahito.Remarks on blow up of solutions for nonlinear evolution equations of second order［J］. Advances in Mathematical Sciences and Applications，1998，8：901-910.

［12］Gazzola Filippo，Squassina Marco.Global solutions and finite time blow up for damped semilinear wave equations［J］.Annales de L′Institut Henri Poincare，Analyse Non Lineaire，2006，23（2）：185-207.

［13］Gerbi St′ephane，Said-Houari Belkacem.Exponential decay for solutions to semilinear damped wave equation［J］.Discrete and Continuous Dynamical Systems Series S.，2012，5（3）：559-566.

［14］Sattinger D H.On global solution of nonlinear hyperbolic equations［J］.Arch.Rat.Mech.Anal.，1968，30：148-172.

［15］Tsutsumi M.On solutions of semilinear differential equations in a Hilbert space［J］.Math.Japon，1972，17：173-193.

［16］Ikehata R.Some remarks on the wave equations with nonlinear damping and source terms［J］.Nonlinear Analysis，1996，27（10）：1165-1175.

Finite time blow up for a class of fourth order nonlinear wave equations with the initial boundary value problem

Zhang Zhe，Li Desheng

（School of Mathematics and System Sciences，Shenyang Normal University，Shenyang110034，China）

This paper deals with the initial boundary value problem for a class of fourth order damped nonlinear wave equations.By using the potential well method，some results of blow up solutions with certain initial profiles are established.We generalize the results of blowup criteria to this system and gain some good properties by proof.

fourth order nonlinear wave equation，potential well，initial boundary value problem，finite time blow up

O175.29

A

1008-5513（2015）04-0432-09

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.04.012

2014-09-06.

張哲（1989-），碩士生，研究方向：函數(shù)空間上的算子論.

2010 MSC:35G31