公理化局部有限空間中映射連續(xù)性的擴展＊

韓相彥

（韓國全北國立大學數(shù)學理論與應(yīng)用研究所數(shù)學系，韓國全州 561-756）

公理化局部有限空間中映射連續(xù)性的擴展＊

韓相彥

（韓國全北國立大學數(shù)學理論與應(yīng)用研究所數(shù)學系，韓國全州 561-756）

用公理化方法研究了局部有限空間中的連續(xù)映射及其擴張問題。給出了局部有限空間的公理化定義方法；利用鄰近關(guān)系研究了局部有限空間中的連續(xù)映射、同胚和局部同胚等問題；通過對局部有限空間變形的研究，定義了局部有限空間的一種特殊收縮核，有效地解決了局部有限空間中連續(xù)映射的擴張問題。

局部有限空間；ALF空間；最小開鄰域；邊界；鄰近關(guān)系；同胚；局部同胚；組合同胚；抽象胞腔復形；擴張問題；收縮核

在應(yīng)用拓撲理論中（如數(shù)字拓撲學），連續(xù)映射的擴張問題是一個非常重要的研究對象。映射的擴張一般定義如下：對于一個映射f：X→Y，稱映射F：X′→Y是f的擴張，如果f是F在X?X′上的限制，即F′|X＝f。本文將用公理化方法研究局部有限空間中的連續(xù)映射及其擴張問題。

Alexandroff空間［1］可以直接推廣到多值情形下（不同于模糊，譯者注），如局部有限空間（LFS）等。在計算機中，LFS可被清晰地表達出來，幫助人們利用計算機進行拓撲的探索、實驗和計算。在現(xiàn)代數(shù)學中，LFS是一個大家熟知的非常寬泛的概念，它的每個元素可用一些幾何圖形來描述，如三角形、矩形、平行四邊形、梯形等（見圖1）。而Khalimsky空間可以視為LFS空間的特例。

圖1 ALF空間中元素p，ci和fi的最小鄰域，i∈｛1，2，3，4，5，6｝，k＝i（mod6）＋1［11］Fig.1 Smallest neghbourhoods of elements p，ciand fiof an ALF space，i＝｛1，2，3，4，5，6｝and k＝i（mod6）＋1［11］

另一方面，從應(yīng)用的角度來說，LFS太寬泛，因此KOVALEVSKY［2－3］建議給出LFS理論的公理化研究方法。稱滿足相應(yīng)公理的LFS為公理化的局部有限空間（簡稱ALF空間）。在ALF空間中，所有元素的鄰域關(guān)系具有自反性、反對稱性和傳遞性?；卩徲蜿P(guān)系的這些性質(zhì)，每個ALF空間的子空間的邊界具有如下特征：所有邊界都比較稀疏，邊界F的邊界仍然是F。這些特征在應(yīng)用中顯得非常重要。

現(xiàn)已有若干關(guān)于ALF空間的研究［2，4－5］，然而對于ALF空間之間連續(xù)映射的研究還相對較少。因此，本文在文獻［4］、文獻［2］和文獻［5］研究的基礎(chǔ)上，將提出自己獨特的研究內(nèi)容。本文所要研究的ALF空間之間連續(xù)映射的擴張問題對于ALF空間本身的研究也是非常有幫助的。設(shè)X，Y是2個ALF空間，F(xiàn)：X→Y是一個映射，稱F：X→Y保持鄰域關(guān)系，如果y∈SN（x，X）蘊含F(xiàn)（y）∈SN（F（x），Y），其中SN（x，X）（相應(yīng)地，SN（F（x），Y））表示x（相應(yīng)地，F(xiàn)（x））的最小鄰域（參見公理1和公理2）。由于ALF空間是利用鄰域定義的（定義9），所以可以利用保持鄰域關(guān)系的映射來表現(xiàn)連續(xù)映射和同胚。對ALF空間的變形，還可以討論其收縮核（定義14）。另外，受文獻［4，6-7］中對于連續(xù)映射擴張問題研究的啟發(fā)，還可以利用收縮核來處理ALF空間之間連續(xù)映射的擴張問題。

本文中，第2節(jié)，主要列舉關(guān)于ALF空間的一些基本概念和基本性質(zhì)；第3節(jié)，討論ALF空間之間連續(xù)映射和同態(tài)的性質(zhì)；第4節(jié)，引入ALF空間收縮核的概念并且結(jié)合同態(tài)討論相應(yīng)性質(zhì)，還將通過收縮核來處理連續(xù)映射的擴張問題；第5節(jié)，作一總結(jié)，并且對于ALF空間連續(xù)映射擴張問題的應(yīng)用進行討論。

2 ALF空間的一些性質(zhì)

文獻［5］給出了局部有限空間的各公理的合理解釋，為了本文的自封性，將在這里重復一些定義和例子。需要指出的是，前面的公理體系中涉及到的一類特殊的最小鄰域，不一定是經(jīng)典點集拓撲中的鄰域。

用公理化方法定義的鄰域［5］實際上是所謂的鄰域空間［8］的特征的一個抽象，然而在現(xiàn)代拓撲理論中，“鄰域”是一個在拓撲空間之后定義的概念。本文中所考慮的鄰域空間（或僅稱為空間）是指一個序?qū)＝（E，U），其中E是一個非空集合，U是E的一個子集族，它們滿足：E的每一個元素都含在U的一些成員中（U中含有e∈E的成員稱為e的鄰域）。一個空間稱為局部有限的，如果E的每一個元素只有有限個鄰域。接下來，將考慮一種特殊的鄰域空間，稱為ALF空間，它滿足下面的公理1—公理4。

公理1 空間中的每一個元素的鄰域系對有限交封閉（不含空交），即如果A，B∈U且e∈A∩B，則A∩B∈U。

需要注意的是，本文中的鄰域在概念上并不是點集拓撲學中的鄰域，其性質(zhì)將被逐步展開討論。由于空間是局部有限的，每一點e都存在最小鄰域（即所有鄰域的交），記作SN（e）。從而每一個鄰域都包含它的最小鄰域。在后面的內(nèi)容中，將證明ALF空間的最小鄰域都是經(jīng)典意義下的開集（見推論1）。

公理2 空間中必然有些元素擁有多于一個的鄰域。

圖1給出了ALF空間作為抽象胞腔復形的最小鄰域的例子［2－3］，元素e∈E的最小鄰域及其勢依賴于e的類型。圖1a）中的點p的最小鄰域SN（p）＝｛p，fi，ci|i∈［1，6］Z｝具有13個元素；圖1b）中點ci的最小鄰域有3個元素，而其他點的最小鄰域則只有2個元素；圖1c）中每個點fi的最小鄰域都是單點集。

為了建立公理3和公理4，需要利用以下基本概念。

定義1［2］如果b∈SN（a）蘊含a∈SN（b），則稱a和b是相伴的。

從上述定義可以看出，相伴關(guān)系是對稱的。又因為a∈SN（a），所以相伴關(guān)系是自反的。相伴關(guān)系的定義和文獻［9］中鄰接關(guān)系的定義非常相似（多維的情形可以參見文獻［10］、文獻［11］和文獻［12］），但是它們又顯然不同，因為相伴關(guān)系并不要求相伴元素的個數(shù)相同。

對于ALF空間S以及e∈S，假設(shè)與e相伴的元素個數(shù)不超過某個固定的自然數(shù)。這一假設(shè)是非常重要的，原因有如下2點。第一，它保證了ALF空間中極大元素的存在性。這里，稱e是極大元，如果它的最小鄰域是單點集（可與文獻［2］和文獻［3］中的引理MM比較）；第二，它還保證了極小元素的存在性。這里，稱e是極小元，如果它除自身外不包含于任何最小鄰域。這也說明了一個ALF空間的維數(shù)是有限的。

定義2［5］設(shè)S＝（E，U）是一個LF空間，A?E。如果序列（a1，a2，…，ak），ai∈A（i：1，2，…，k）滿足：對任意的果i≠j，ai和aj相伴，則稱A是a1到ak的相伴路徑。

定義3［2］集合A?E被稱為是連通的，如果對任意的a，b∈A，存在相伴路徑B?A，且a，b∈B。

文獻［3］（第34頁）中指出，對于一個ALF空間，基于相伴關(guān)系定義的連通性等價于拓撲連通性。

文獻［2］和文獻［3］中對于拓撲空間的邊界定義如下。

定義4 設(shè)S＝（E，T）是一個拓撲空間，A是E的非空子集。令

則稱Fr（A，S）是A在S中的邊界，其中N（e）表示e在拓撲空間S＝（E，T）中的鄰域系。

從定義4可以看出，e的每一個鄰域都包含一個含有e的開集。在ALF空間情形下，鑒于公理1的要求，我們定義邊界時要求這個開子集是包含e的最小鄰域。

接下來的2個公理都與邊界有關(guān)。

KOVALEVSKY［2－3］假設(shè)ALF空間中的最小鄰域都是經(jīng)典拓撲意義下開集，并把定義4應(yīng)用到鄰域空間中，這一點將在下面被考慮。

定義5［5］設(shè)S＝（E，U）是一個ALF空間，SN：E→2E是最小鄰域映射。定義二元關(guān)系N為（a，b）∈N當且僅當a∈SN（b），稱N是S＝（E，U）的鄰域關(guān)系。

定義6［2］任意a，b∈Fr（A，S），其中A?E，稱元素a和b相互對立，若a∈SN（b），b∈SN（a），且其中一個元素屬于A，另一個屬于E＼A。

定義7［2］A的邊界Fr（A，S）稱為稠密的，若Fr（A，S）至少包含1組相互對立的元素，否則Fr（A，S）稱為稀疏的。

考慮在邊界上存在相互對立的元素的情形，“稠密”的意思是指在邊界上有2個子集互相“平行”（共用一部分邊界）。

公理3 E的任意子集A的邊界Fr（A，S）都是稀疏的。

由定義4可知，A和E＼A有相同的邊界。

定理1［2－3］局部有限空間S滿足定理3當且僅當S的鄰域關(guān)系N是反對稱的。

關(guān)于邊界還有另一個重要性質(zhì)：A的邊界F＝Fr（A，S）與Fr（F，S）的邊界相同。文獻［9］和文獻［10］證明了，只有當鄰域關(guān)系不具有傳遞性時，F(xiàn)r（A，S）與F＝Fr（A，S）才不相同，這一事實在證明滿足以上公理的最小鄰域都是開集中將起到重要作用。

公理4 Fr（A，S）的邊界與Fr（A，S）相等，即Fr（Fr（A，S），S）＝Fr（A，S）。

為了構(gòu)造ALF空間的拓撲結(jié)構(gòu)，文獻［2］和文獻［3］引入了ALF空間的開集和閉集的概念，并用鄰域空間做了等價刻畫（對比文獻［8］第24頁）。

定義8［2］設(shè)S＝（E，U）是一個ALF空間，O，C?E。稱O為S中的開集，若O中不含F(xiàn)r（O，S）中的點；稱C為S中的閉集，若Fr（O，S）?O。

引理1［2］設(shè)S＝（E，U）是一個ALF空間，SN：E→2E為最小鄰域映射且A?E，根據(jù)定義8，A為S中的開集當且僅當?e∈A有SN（e）?A。

由公理1、定義4和定義8，可以證明以下定理，即ALF空間中的開集滿足一般拓撲的3條公理。

定理2［2－3］每個ALF空間S的開子集族形成S上的一個拓撲。

推論1［2－3］設(shè)S＝（E，U）是一個ALF空間，e∈E。則e的最小鄰域既是定義8意義下的開集，也是通常的拓撲意義下的開集，并且它是包含e的最小開子集。

相應(yīng)的證明可以參照文獻［2］和文獻［3］。

從推論1可以看出，對于一個ALF空間，它的所有元素的最小開鄰域構(gòu)成了其對應(yīng)的拓撲空間的一個基，ALF空間的子集的性質(zhì)可以由這些最小鄰域族來表達。下面給出ALF空間的具體定義。

定義9［5］設(shè)E是一個集合，N是E上的一個二元關(guān)系，序?qū)＝（E，N）被稱為是一個公理化的局部有限空間，如果S滿足公理1—公理4。特別的，二元關(guān)系確定了每個元素的最小鄰域SN（e）＝｛x：（x，e）∈N｝。

ALF空間就是一類可以完全由其最小鄰域族確定的特殊的拓撲空間。文獻［3］中還證明了每個ALF空間是Alexandrov空間（也可參見文獻［13］），從而對于ALF空間理論的研究可以作為對Alexandrov空間理論研究的一部分。

3 ALF空間的連續(xù)映射

連續(xù)映射是一般拓撲學中的重要概念之一。設(shè)X和Y是拓撲空間，f：X→Y為映射，x∈X，如果對f（X）的任意開鄰域Of（x）?Y，存在x的開鄰域Ox?X使得f（Ox）?Of（x），則稱f在點x連續(xù)。換言之，對f（x）的任意開鄰域Of（x）?Y，Of（x）在映射f下的原像是x的開鄰域。然而，ALF空間的連續(xù)映射必須將X中任一點x的最小鄰域映射到F（x）的最小鄰域中（見定義10）。由于ALF空間中的鄰域有不同于Hausdorff空間的性質(zhì)，因此，ALF空間的連續(xù)映射對于研究ALF空間有重要作用。文獻［3］給出了ALF空間中連續(xù)映射的定義：設(shè)X和Y是2個ALF空間，映射f：X→Y稱為連續(xù)的，若開集的原像是開集。但是，由于任意x∈X（相應(yīng)地，y∈Y）SN（x）（相應(yīng)地，SN（y））都存在，則可以給出ALF空間的連續(xù)映射的等價刻畫。

定義10 設(shè)X和Y是2個ALF空間，稱映射F：X→Y是一個連續(xù)映射，如果對任意a∈X有F（SN（a，X））?SN（F（a），Y）。映射F：X→Y稱為在點x∈X連續(xù)，如果F（SN（x，X））?SN（F（x），Y）。

與一般拓撲學中的連續(xù)映射相比，ALF空間的連續(xù)映射有其自身的特性：即使映射F：X→Y在點a∈X連續(xù)，F(xiàn)在SN（a）?X上也不一定連續(xù)。

例1 考慮圖1a）中的SN（p），并且定義映射F：SN（p）→SN（p）為

由于F（SN（p））?SN（p），所以映射F在點p連續(xù)，但在點ci和fi，i∈［1，6］Z不連續(xù)。例如，f1，f2∈SN（c1），而F（f1）和F（f2）不包含于SN（F（c1）），因此，F(xiàn)在點c1不連續(xù)。

下面介紹ALF空間中連續(xù)映射的性質(zhì)（見圖2）。

例2 1）ALF空間X上的常值映射是連續(xù)的。

圖2 ALF空間中的連續(xù)映射Fig.2 A continuous map between ALF spaces

2）考慮ALF空間X和圖2a）中的SN（c3），其中，SN（c3）＝｛c3，f3，f4｝，X為圖1a）中的SN（p），即X＝SN（p），映射F：X→SN（c3）定義為

則F在SN（p）中連續(xù)。

3）在圖2b）中，設(shè)X由六邊形｛gi|i∈［0，6］Z｝中的7個點、線段｛di|i∈［1，12］Z｝中的12個點以及｛pi|i∈［1，6］z｝中的6個點構(gòu)成，滿足

定義映射G：X→SN（p）為

則映射G在X上連續(xù)。例如：驗證G在g0和p1處的連續(xù)性如下：首先，由于SN（g0）＝｛g0｝，G（SN（g0））?SN（p），可知G在g0處連續(xù)。其次，由于SN（p1）＝｛g0，g1，g2，d7，d1，d8，p1｝（見圖2c）），G（SN（p1））?SN（p），可知，G在p1處連續(xù)。

4）考慮圖1a）中的SN（p）。定義G：SN（p）→SN（p）為G（p）＝p，G（ci）＝fi（mod6）＋1，以及G（fi）＝ci，i∈［1，6］Z。則G在任意ci（i∈［1，6］Z）處都不連續(xù)。

由定義10，可以得到以下性質(zhì)。

1）設(shè)f：X→Y和g：Y→Z是ALF空間的連續(xù)映射，則復合映射g?f：X→Z也連續(xù)。

2）任取a∈X，令F：X→Y是ALF空間的連續(xù)映射，則對于任意x，y∈SN（a，X）且y∈SN（x，X），都有F（y）∈SN（F（x），Y）。

同胚映射也是一般拓撲學的基本概念之一。2個空間稱為同胚的或者拓撲等價的，如果存在從一個空間到另一個空間的連續(xù)雙射，且它的逆映射也連續(xù)。然而，由于雙射意味著有相同的元素個數(shù)，因此，這個定義不可能直接適用于2個不同元素個數(shù)的有限空間。

由于ALF空間的映射f的連續(xù)性與保持f的定義域的鄰域關(guān)系相關(guān)，因此可以按如下方式定義ALF空間的同胚映射（見圖3）。

圖3 ALF空間中的同胚Fig.3 A homeomorphism between ALF spaces

定義11 設(shè)X和Y是2個ALF空間，稱F：X→Y是同胚映射，若F是連續(xù)雙射，且它的逆映射也連續(xù)。若F：X→Y是ALF空間中的同胚映射，則記為X≈Y。

例3 如圖3，令X＝XN（p）＼｛p｝，Y由去掉邊界的六邊形｛gi|i∈［1，6］Z｝的6個點以及去掉邊界的線段｛di|i∈［1，6］Z｝的6個點組成，并且滿足對任意的i∈［1，6］Z，SN（di）＝｛gi，di，gi（mod6）＋1｝，SN（gi）＝｛gi｝。

1）定義映射F：X→Y為F（ci）＝di，F(xiàn)（fi）＝gi，i∈［1，6］Z，則F是同胚映射。

2）在1）中，定義映射G：X→Y為G（ci）＝gi，G（fi）＝di，i∈［1，6］Z，則G不是同胚映射。事實上，雖然G是雙射，但是G和G－1都不連續(xù)。

為了討論ALF空間的局部性質(zhì)，給出ALF空間的局部同胚（見圖4）的定義。

圖4 ALF空間中的局部同胚Fig.4 A local homeomorphism between ALF spaces

定義12 設(shè)X和Y是2個ALF空間，稱F：X→Y是局部同胚映射，若對任意x∈X，F(xiàn)在SN（x）上的限制，記為F|SN（x），是一個從SN（x，X）到SN（F（x），Y）上的同胚映射。

例4 1）在圖4a）中，令X＝SN（p）＼｛p｝由去掉邊界的三角形｛fi|i∈［0，7］Z｝的8個點以及去掉邊界的線段｛ci|i∈［0，7］Z｝的8個點組成，并且滿足對任意i∈［0，7］Z，SN（ci）＝｛fi，ci，fi＋1（mod8）｝，以及SN（fi）＝｛fi｝。令Y＝SN（q）＼｛q｝由去掉邊界的長方形｛gi|i∈［0，3］Z｝的4個點以及去掉邊界的線段｛di|i∈［0，3］Z｝的4個點組成，并且滿足對任意i∈［0，3］Z，SN（di）＝｛gi，di，gi＋1（mod4）｝以及SN（gi）＝｛gi｝。

定義映射F：X→Y為F（ci）＝di（mod4），F(xiàn)（fi）＝gi（mod4），i∈［0，7］Z，則F不是同胚映射，但是是局部同胚映射。

2）在圖4b）中，令Z由去掉邊界的三角形｛f1｝的3個點以及去掉邊界的線段｛ci|i∈［1，2］Z｝的2個點組成，并且滿足SN（c1）＝｛f1，c1｝，SN（c2）＝｛c2｝以及SN（f1）＝｛f1｝。令W由去掉邊界的長方形｛g1｝的一個點以及去掉邊界的線段｛di|i∈［1，2］Z｝的2個點組成，并且滿足SN（g1）＝｛g1｝以及SN（di）＝｛di，g1|i∈［1，2］Z｝。

定義映射G：Z→W為G（ci）＝di，i∈［1，2］Z，以及G（f1）＝g1，則G是一個連續(xù)雙射，但是，G既不是局部同胚映射，也不是同胚映射。

由例3和例4，可以得到以下結(jié)論。

注1 ALF空間的同胚映射是局部同胚映射，反之不成立。

ALF空間的映射具有以下重要性質(zhì)。

定理3 設(shè)X和Y是2個ALF空間，F(xiàn)：X→Y為映射。若F是局部同胚的雙射，則F是同胚映射。

證明：只需證F的逆映射連續(xù)。任取b∈X，b的最小鄰域為SN（b，X），令c＝F（b）∈Y，其最小鄰域為SN（c，Y）。事實上，由于F在SN（b，X）上的限制（記為F|SN（b，X）：SN（b，X）→SN（F（b），Y）是同胚映射。F（SN（b，X））是c的最小鄰域使得

由F－1和式（1），可以得到：

因此，F(xiàn)是同胚映射。

到此，證明了2個有限ALF空間同胚當且僅當它們有相同的元素。另外，還有另一種方法定義同胚，它直接適用于抽象胞腔復形，被稱為組合同胚，它的定義基于胞腔的初等細分的概念（見文獻［14］第24頁）。更確切地說，一個歐氏復雜的三角剖分可以通過它的胞腔的初等細分的方法得到，而初等細分的概念可以應(yīng)用到ALF空間。為了這個目的，一個ALF空間應(yīng)被視為一個在文獻［2］中定義的抽象多面復形（簡稱AC復形）。例如在三角測量的情況下，一個給定的AC復形可以通過一系列的胞腔的初等細分方法得到（更多內(nèi)容參見文獻［2］和文獻［3］）。而文獻［2］和文獻［3］利用邊界的關(guān)系定義了一個組合同胚，也可以按以下定義用鄰域關(guān)系來表示。

定義13 2個抽象復形稱為組合同胚的，如果它們擁有相同的三角剖分，或者更確切地說，存在三角剖分之間的保持鄰域關(guān)系的雙射。

這個定義與文獻［15］中定義的同胚以及文獻［10］、文獻［11］和文獻［12］中的數(shù)字同構(gòu)都不相同。

注2 每一個同胚映射都是組合同胚映射，反之不成立。

4 ALF空間中連續(xù)映射的擴張

在第3節(jié)中提到，無論是在純粹的拓撲理論中還是在應(yīng)用拓撲理論（如數(shù)字拓撲）中，連續(xù)映射的擴張起到了非常重要的作用。因此，非常有必要研究ALF空間中連續(xù)映射的擴張問題，其方法和結(jié)果可用來研究LFS理論。事實上，HAN［4］和MELIN［7］在數(shù)字拓撲空間框架下討論了若干類型的連續(xù)映射的擴張問題，并且從數(shù)字拓撲的角度建立了多種類型的收縮核。在本文中，ALF空間之間的連續(xù)映射與文獻［4］和文獻［7］中連續(xù)映射有明顯不同，并且基于連續(xù)映射定義的收縮核和同胚也與文獻［4］和文獻［7］中相應(yīng)的概念存在明顯差異。確切地說，設(shè)X，Y，X′是ALF空間，F(xiàn)：X→Y是一個連續(xù)映射，稱F′：X′→Y是F的擴張，如果F是F′在X?X′上的限制，記作F′|X。

下面介紹文獻［6］中關(guān)于拓撲空間之間連續(xù)映射擴張的一個結(jié)論。

設(shè)（X′，T′）是一個拓撲空間，（X，T）是（X′，T′）的一個子空間，則（X，T）是（X′，T′）的收縮核當且僅當對任意的拓撲空間（Y，T″）以及連續(xù)映射f：（X，T）→（Y，T′），存在連續(xù)映射F：X′→Y使得F|X＝f。

由于ALF空間是以鄰域為工具定義的，ALF空間之間的連續(xù)映射有自己獨有的性質(zhì)，并且連續(xù)映射的擴張也有自身的本質(zhì)特征。因此，有必要討論ALF空間框架下連續(xù)映射的擴張以及相應(yīng)的收縮核（見圖5）。

圖5 ALF空間的收縮核Fig.5 A retract on ALF spaces

定義14 設(shè)X，X′是ALF空間，映射F：X′→X連續(xù)，稱F是一個收縮映射，如果它滿足：

1）X?X′；

2）?x∈X，F(xiàn)（x）＝x。

相應(yīng)地，稱X是X′的一個收縮核，稱元素x∈X′＼X相對于收縮核是可去除的。

例5 1）考慮圖2a）中的空間SN（c3），單點集｛c3｝是SN（c3）的收縮核。

2）考慮圖3中的空間X＝SN（p）＼｛p｝，X不是SN（p）的收縮核。下面采用反證法說明這一點。假設(shè)存在連續(xù)映射r：SN（p）→X使得r（x）＝x，則由r的連續(xù)性可知，r（p）∈X。方便起見，假設(shè)存在i∈［1，6］Z使得r（p）＝fi或者r（p）＝ci。

情形1：r（p）＝fi。對任意的i∈［1，6］Z，SN（fi）＝｛fi｝。從而，r（SN（p））?SN（fi）＝｛fi｝。顯然，這與r（x）＝x矛盾。

情形2：r（p）＝ci。對任意的i∈［1，6］Z，SN（ci）＝｛fi（mod6）＋1，ci，fi｝。從而，r（SN（p））?SN（ci）。顯然，r不是收縮映射。

3）考慮圖5中的空間X，SN（p）是X的一個收縮核，相應(yīng)的收縮映射r：X→SN（p）定義為

從例5對于ALF空間變形的研究中可以看出，收縮核的概念對于ALF空間的討論是非常有用的。關(guān)于ALF空間收縮核的同胚性質(zhì)，有如下結(jié)論。

命題1 設(shè)X，Y，X′是ALF空間，X是X′的一個收縮核，h：X′→Y是一個同態(tài)。則h（X）是Y的一個收縮核。

證明 令r：X′→X是ALF空間上的收縮映射。由于連續(xù)映射的復合仍然是連續(xù)映射，從而復合映射h?r?h－1是收縮映射。

例6 圖6所示為ALF空間與收縮核相關(guān)的同胚。設(shè)X由4個六邊形、一條割線和p1，p22個點構(gòu)成，Y由1個平行四邊形、1個梯形、1條割線和q1，q22個點構(gòu)成。

圖6 ALF空間與收縮核相關(guān)的同胚Fig.6 A homeomorphism between ALF spaces in relation with a retract on ALF spaces

定義映射r：X→SN（p1）為

容易驗證，SN（p1）是X的收縮核。進一步，考慮映射h：X→Y為

容易驗證，SN（p1）是X的收縮核。相應(yīng)的映射h：X→Y為

容易驗證，h（SN（p1））＝Y(jié)＼｛q2，d4，g4，d5｝＝SN（q1）是Y的收縮核。相應(yīng)的映射r1：Y→SN（q1）為

下面通過收縮核來研究ALF空間中連續(xù)映射的擴張問題。

定理4 設(shè)X，X′是ALF空間，則X是X′的一個收縮核當且僅當對任意的ALF空間Y以及任意的連續(xù)映射F：X→Y，存在連續(xù)映射G：X′→Y使得G|Y＝F。

證明 必要性：令r：X′→X是ALF空間上的收縮映射，f：X→Y是連續(xù)映射。則復合映射G：＝F?r：X′→Y是連續(xù)映射，并且是F的擴張。

充分性：假設(shè)對任意的ALF空間Y，每個連續(xù)映射F：X→Y有一個擴張G：X′→Y，則恒等映射1X有擴張r：X′→X。因此，X是X′的收縮核。

例7 圖7所示為ALF空間中連續(xù)映射擴張的不存在性，集合X＝SN（p）＼｛p｝，X′＝SN（p），集合Y由3個沒有邊的三角形和2條邊構(gòu)成，使得SN（d1）＝｛d1，g1｝，SN（d2，g1｝，SN（g1）＝｛g1｝。按照例5 2）中的討論，X不是X′的收縮核。

圖7 ALF空間中連續(xù)映射擴張的不存在性Fig.7 Non-existence of the extension of a continuous map between ALF spaces

定義映射G：X→Y為

容易驗證G是一個連續(xù)映射。但是，由于X不是X′的收縮核，所以不存在G的擴張G′：X′→Y使得G′|X＝G。以下采用反證法進行驗證，假設(shè)存在G的擴張G′：X′→Y，由于SN（p）＝X′，所以G′（SN（p））∈Y且G′（SN（p））的最小鄰域是Y。顯然，Y中不包含這樣的元素。這是一個矛盾。

5 結(jié) 語

對于ALF空間，研究了連續(xù)映射、同胚和局部同胚的一些性質(zhì)；對于ALF空間的變形，定義和研究了與ALF空間中連續(xù)映射的擴張問題強相關(guān)的收縮核。對比一般的LFS理論，ALF空間理論能夠更好地應(yīng)用到計算機科學中去。

［1］ ALEXANDORFF P.Diskrete raume［J］.Mat Sb，1937，2：501-518.

［2］ KOVALEVSKY V.Axiomatic digital topology［J］.J Math Imaging and Vision，2006，26（1/2）：41-58.

［3］ KOVALEVSKY V.Geometry of Locally Finite Spaces［M］.Berlin：Publishing House，2008.

［4］ HAN Sangeon.Extension problem of several continuties in computer topology［J］.Bull Korean Math Soc，2010，47（5）：915-932.

［5］ KOVALEVSKY V，HAN Sangeon.Remarks on axiomatic locally finite space［J］.Theoretical Computer Science，preprint.

［6］ BORSUK K.Theory of Retracts［M］.Warsaw：Polish Scientific Publisher，1967.

［7］ MELIN E.Extension of continuous functions in digital spaces with the Khalimsky topology［J］.Topology and Its Applications，2005，153（1）：52-65.

［8］ SEIFERT H，THRELFALL W.A Textbook of Topology［M］.New York：Academic Press，1980.

［9］ ROSENFELD A.Connectivity in digital pictures［J］.J ACM，1970，17（1）：146-160.

［10］HAN Sangeon.Strong-deformation retract and its applications［J］.J Korean Math Soc，2007，44（6）：1479-1503.

［11］HAN Sangeon.Equivalent-covering and generalized digital lifting［J］.Information Sciences，2008，178（2）：550-561.

［12］HAN Sangeon.The-homotopic thinning and a torus-like digital image in［J］.J Math Imaging and Vision，2008，31（1）：1-16.

［13］KHALIMSKY E，KOPPERMAN R，MEYER P R.Computer graphics and connected topologies on finite ordered sets［J］.Topology and Its Applications，1991，36（1）：1-17.

［14］STILLWELL J.Classical Topology and Combinatorial Group Theory［M］.Michigan：Springer-Verlag，1995.

［15］HAN Sangeon.Continuities and homeomorphisms in computer topology［J］.J Korean Math Soc，2008，45（4）：923-952.

譯者注：

拓撲學方法在大數(shù)據(jù)分析與研究中的應(yīng)用是一個潛在和新穎的研究方向。由于距離函數(shù)是拓撲的一種重要研究對象，而在大數(shù)據(jù)分析和研究中又不可避免地涉及數(shù)據(jù)間的距離等問題，因此拓撲在大數(shù)據(jù)分析和研究中將具有重要作用。其實早在1985年，LEVOY等（LEVOY M，WHITTED T.The Use of Points as Display Primitives［R］.North Carolina：University of North Carolina at Chapel Hill，1985）就提出點云（point cloud）概念用于數(shù)據(jù)分析和研究。所謂點云，是指一個帶有距離函數(shù)的有限集合，這種有限集合不同于通常的有限集合，主要指數(shù)據(jù)量特別大且用普通方法無法在短時間內(nèi)實現(xiàn)遍歷的集合，因此其思想方法和研究內(nèi)容正好和大數(shù)據(jù)的特征相吻合。CARLSSON的文章（CARLSSON G.Topology and data［J］.Bulletin of the American Mathematical Society，2009，46（2）：255-308）對此作了全面的闡述。

Extension of continuity of maps between axiomatic locally finite spaces

HAN Sangeon
（Department of Mathematics，Institute of Pure and Applied Mathematics，Chonbuk National University，Jeonju 561-756，Korea）

The paper studies the extension problem of continuous maps between axiomatic locally finite spaces（for short，ALF spaces）.Indeed，an ALF space is a topological space satisfying a set of axioms suggested in［9，10］.Further，an ALF space is defined by using a special kind of neighborhood different from the topological neighborhood in classical topology so that the continuity of maps between ALF spaces can be defined by preserving the neighborhood relation（see Definition 10）.Therefore，it is necessary to develop the notions of continuity，homeomorphism and local homeomorphism for such spaces by using the neighborhood relation，which can be applicable in computer science.In the study of a deformation of an ALF space，we can develop a special kind of retract on ALF spaces.By using the retract，we can efficiently deal with the extension of continuous maps between ALF spaces.

locally finite space；axiomatic locally finite（ALF）space；smallest open neighbourhood；frontier；neighbourhood relation；homeomorphism；local homeomorphism；combinatorial homeomorphism；abstract cell complex；extension problem；retract

O189.1

A

1008-1542（2015）01-0081-09

10.7535/hbkd.2015yx01017

2014-11-12；

2014-12-16；責任編輯：王海云

韓相彥（1958—），男，韓國全北人，教授，主要從事數(shù)學拓撲理論方面的研究。

E-mail：sehan＠jbnu.ac.kr

韓相彥.公理化局部有限空間中映射連續(xù)性的擴展［J］.河北科技大學學報，2015，36（1）：81-89.

HAN Sangeon.Extension of continuity of maps between axiomatic locally finite spaces［J］.Journal of Hebei University of Science and Technology，2015，36（1）：81-89.

＊本文由姚衛(wèi)和李云紅翻譯，原文發(fā)表于International Journal of Computer Mathematics，2011，88（14）：2889-2900.