同軸結(jié)構(gòu)半徑突變處補(bǔ)償電容的計(jì)算分析

焦重慶 李明洋

（新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（華北電力大學(xué)）北京 102206）

0 引言

在電力測(cè)試線、GIS 套管、微波傳輸和耦合電路等同軸結(jié)構(gòu)中，常會(huì)出現(xiàn)導(dǎo)體半徑的突變。半徑的突變會(huì)激發(fā)起高階電磁模式[1]。在單模工作狀態(tài)下，這些高階模式主要分布在突變處附近，沿兩側(cè)會(huì)呈指數(shù)衰減。文獻(xiàn)[2-4]基于全波的方法分析得出，高頻時(shí)，在半徑突變處兩邊的外導(dǎo)體上電位連續(xù)、電流不連續(xù)。在某些實(shí)際情況中，比如GIS 的開(kāi)關(guān)操作，同軸導(dǎo)體外徑在半米以內(nèi)，而最高感興趣的頻率一般不超過(guò)100MHz[5-7]，此時(shí)波長(zhǎng)遠(yuǎn)大于同軸結(jié)構(gòu)的外徑。半徑突變對(duì)橫向電磁場(chǎng)（Transverse Electric and Magnetic Field，TEM）模傳播的影響可等效為一個(gè)位于半徑突變處的集總補(bǔ)償電容[4]。

文獻(xiàn)[4]基于全波的方法，可以考慮補(bǔ)償電容的頻變效應(yīng)，推導(dǎo)過(guò)程和計(jì)算公式均較復(fù)雜；對(duì)于本文尺寸，參照文獻(xiàn)[4]的計(jì)算，靜態(tài)補(bǔ)償電容與100MHz 時(shí)的補(bǔ)償電容的相對(duì)誤差不超過(guò)5%，在工程應(yīng)用允許的誤差范圍內(nèi)，即可以忽略補(bǔ)償電容的頻變效應(yīng)，用靜態(tài)電容代替。本文利用分離變量法，基于同軸結(jié)構(gòu)半徑突變處電位分布的精確計(jì)算，推導(dǎo)了靜態(tài)補(bǔ)償電容的精確計(jì)算模型。該計(jì)算模型計(jì)算簡(jiǎn)單，便于工程應(yīng)用。

1 計(jì)算模型

同軸結(jié)構(gòu)的半徑突變模型如圖1 所示。半徑突變處位于區(qū)域A、B 的分界面oo'上，假設(shè)突變處兩邊的同軸線均勻且無(wú)限延伸。取同軸線的軸向?yàn)閦向，z 軸的坐標(biāo)原點(diǎn)在半徑突變處的分界面上，z 軸的正方向由區(qū)域A 指向區(qū)域B。內(nèi)導(dǎo)體的半徑為r1，區(qū)域A 外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為r2，區(qū)域B 外導(dǎo)體的內(nèi)半徑為r3。內(nèi)導(dǎo)體施加電壓U0，外導(dǎo)體電位為0。

圖1 同軸結(jié)構(gòu)半徑突變模型Fig.1 Model of abrupt change of radius in coaxial structure

圖1 所示結(jié)構(gòu)的電路模型可由特征阻抗分別為Z0A、Z0B，傳播常數(shù)分別為γ0A、γ0B的傳輸線和表征半徑突變效應(yīng)的補(bǔ)償電容Cc來(lái)等效，如圖2 所示。

圖2 半徑突變的同軸結(jié)構(gòu)的等效電路Fig.2 Equivalent circuit of a coaxial structure with abrupt change of radius

先利用分離變量法[8]解出區(qū)域A、B 的電位分布，再由導(dǎo)體上的電荷分布及內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓求出補(bǔ)償電容Cc的值。

區(qū)域A 的電位分布表達(dá)式為

式中，J0、Y0分別為第一、第二類貝塞爾函數(shù)；U0為內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓（V）；式（1）等號(hào)右邊的第一項(xiàng)表示均勻同軸線內(nèi)的電位分布。φA1是利用分離變量法解得的圓柱坐標(biāo)系中拉普拉斯方程的一般解[9]，φA1表示由于半徑突變的存在引起的電位分布的畸變，并且 φA1在區(qū)域A 中的內(nèi)外導(dǎo)體表面邊界上滿足條件

將式（3）、式（4）分別代入式（2），可得

求解由式（5）、式（6）組成的方程組，若En、Fn有非0 解，必有系數(shù)行列式為0，如式（7）所示。

求解式（7），得kn為一系列正數(shù)[10]。

由式（5）可得

將式（8）代入式（2），并定義

則式（2）可表示為

式（10）、式（15）中的未知系數(shù)An、Bm可利用區(qū)域A、B 分界面上的邊界條件[11]確定，邊界條件為

由式（12）、式（13）可以證明，當(dāng)n ≠i 時(shí)，式（22）中等號(hào)左邊的項(xiàng)的積分為0，則式（22）可以簡(jiǎn)化為

式（23）表明系數(shù)iA 可以用系數(shù)Bm表示，即

在z=0，r1＜ ρ＜r3邊界上，由式（19）、式（20）可得

將式（1）、式（14）代入式（26），并利用正交性得

將式（24）代入式（27），整理式（27）可得關(guān)于Bm的線性方程

對(duì)j、m 分別從1 取到M，且m≠j，就構(gòu)成了由M 個(gè)方程組成的方程組，并可解出系數(shù)Bm的值，進(jìn)而由式（24）解出nA 的值。

補(bǔ)償電容的值僅與結(jié)構(gòu)突變處高階模式的電位引起的電荷分布有關(guān)，即僅需考慮由 φA1和 φB1引起的導(dǎo)體上的電荷分布。

區(qū)域A 內(nèi)由 φA1引起的內(nèi)導(dǎo)體表面的電荷密度分布為

區(qū)域A 內(nèi)由 φA1引起的內(nèi)導(dǎo)體表面總電荷量為

同理，區(qū)域B 內(nèi)由 φB1引起的內(nèi)導(dǎo)體表面的總電荷量為

則由尺寸突變引起的該同軸結(jié)構(gòu)的補(bǔ)償電容為

2 對(duì)比驗(yàn)證及規(guī)律分析

以變分原理為基礎(chǔ)建立的有限元法[13]已被普遍推廣并成功應(yīng)用于電磁場(chǎng)工程問(wèn)題等應(yīng)用技術(shù)領(lǐng)域。本文利用Ansys 和Maxwell 兩種有限元軟件計(jì)算驗(yàn)證了上述公式的正確性。有限元計(jì)算模型如圖3 所示。利用同軸結(jié)構(gòu)的軸對(duì)稱特性，畫(huà)出二維軸面；模型的總長(zhǎng)度L 遠(yuǎn)大于區(qū)域B 的外導(dǎo)體半徑r3。在模型的左、右邊界分別施加電場(chǎng)平行邊界條件；內(nèi)導(dǎo)體施加1V 電壓，外導(dǎo)體電位為0。

圖3 補(bǔ)償電容的有限元計(jì)算模型Fig.3 Model in FEM for calculating the compensation capacitance

本文分別對(duì)比了“z=0，r1＜ρ＜r2線上的電位分布”和“內(nèi)導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度”，以驗(yàn)證本文公式在不同點(diǎn)上的計(jì)算結(jié)果與有限元結(jié)果一致，如圖4、圖5 所示。其中，計(jì)算模型的尺寸為r1=0.1m、r2=0.2m、r3=0.3m。由圖4、圖5 可見(jiàn)，圖中的公式計(jì)算結(jié)果與有限元軟件的計(jì)算結(jié)果的一致性很好，說(shuō)明本文公式的正確性。

圖4 z=0，r1＜ρ＜r2線上的電位分布的對(duì)比Fig.4 Comparison of potential distribution at z=0,r1＜ρ＜r2

圖5 內(nèi)導(dǎo)體表面電場(chǎng)強(qiáng)度的對(duì)比Fig.5 Comparison of electric field intensity at inner conductor surface

有限元計(jì)算模型的補(bǔ)償電容Cd為

式中，Ctotal為內(nèi)外導(dǎo)體間的總電容；CA、CB分別為均勻區(qū)域A、B 段的電容，利用區(qū)域A、B 的同軸結(jié)構(gòu)單位長(zhǎng)電容公式乘以長(zhǎng)度計(jì)算。

文獻(xiàn)[5]基于Schwarz-Christoffel（施瓦茲-克里斯多菲）變換[14]，給出了平行平板結(jié)構(gòu)的尺寸突變處的橫向單位長(zhǎng)度靜態(tài)補(bǔ)償電容的精確計(jì)算公式

由式（37）乘以同軸結(jié)構(gòu)內(nèi)導(dǎo)體周長(zhǎng)可近似應(yīng)用于同軸結(jié)構(gòu)半徑突變處補(bǔ)償電容的計(jì)算，即

圖6 和圖7 給出了不同半徑取值下補(bǔ)償電容的四種計(jì)算方法的對(duì)比結(jié)果。由圖6 和圖7 可見(jiàn)，本文計(jì)算模型與有限元軟件的計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差較小。近似公式與有限元軟件的相對(duì)誤差較大；且r2/r1越小，r3/r1越大，補(bǔ)償電容的值越大。

圖6 r1=0.1m，r3=0.3m，不同r2/r1時(shí)補(bǔ)償電容的對(duì)比Fig.6 Comparison of compensation capacitance value among different r2/r1with r1=0.1m and r3=0.3m

圖7 r1=0.1m，r2=0.2m，不同r3/r1時(shí)補(bǔ)償電容的對(duì)比Fig.7 Comparison of compensation capacitance value among different r3/r1with r1=0.1m and r2=0.2m

3 應(yīng)用算例

為分析補(bǔ)償電容對(duì)時(shí)域信號(hào)傳輸?shù)挠绊?，作了“有補(bǔ)償電容”和“忽略補(bǔ)償電容”時(shí)半徑突變的同軸結(jié)構(gòu)的終端電壓的對(duì)比?；贓MTP[15,16]仿真平臺(tái)的仿真模型如圖8 所示。其中，計(jì)算模型的尺寸為r1=0.1m，r2=0.2m，r3=0.3m，區(qū)域A、B 的同軸線的長(zhǎng)度均為1m。在區(qū)域B 的始端加上升時(shí)間為5ns、下降時(shí)間為50ns、幅值為10kV 的雙指數(shù)函數(shù)信號(hào)源，仿真的時(shí)間步長(zhǎng)為0.005ns。區(qū)域A 的終端接不同負(fù)載R，對(duì)比區(qū)域A 終端的電壓。

圖8 EMTP 仿真模型Fig.8 Simulation model using EMTP

區(qū)域A 終端電壓的對(duì)比結(jié)果如圖9 所示。由圖9 可見(jiàn)，當(dāng)區(qū)域A 終端接匹配電阻時(shí)，臺(tái)階電容對(duì)時(shí)域信號(hào)的傳輸影響很小。當(dāng)區(qū)域A 終端接1MΩ或0.1Ω電阻時(shí)，由于阻抗不匹配產(chǎn)生了信號(hào)的折反射，由圖9b、圖9c 可見(jiàn)，在多次折反射后，忽略補(bǔ)償電容時(shí)的電壓波形比有補(bǔ)償電容時(shí)的電壓波形超前。

圖9 補(bǔ)償電容對(duì)時(shí)域信號(hào)傳輸?shù)挠绊慒ig.9 Comparison of influence of compensation capacitance to transmission of the time domain signal

4 結(jié)論

本文推導(dǎo)出同軸結(jié)構(gòu)半徑突變處?kù)o態(tài)補(bǔ)償電容的精確計(jì)算模型，該模型計(jì)算簡(jiǎn)便，準(zhǔn)確度高，計(jì)算結(jié)果與有限元軟件的結(jié)果的相對(duì)誤差不超過(guò)1%，也說(shuō)明了本文計(jì)算模型的正確性；并且當(dāng)負(fù)載不匹配時(shí)，相比考慮半徑突變同軸結(jié)構(gòu)等效電路的補(bǔ)償電容時(shí)，忽略補(bǔ)償電容時(shí)會(huì)產(chǎn)生信號(hào)超前。平行平板結(jié)構(gòu)尺寸突變處?kù)o態(tài)補(bǔ)償電容的精確公式近似應(yīng)用于同軸結(jié)構(gòu)時(shí)誤差較大，在一些尺寸下甚至超過(guò)了10%；近似公式形式簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是準(zhǔn)確度低。有限元軟件能以較高的準(zhǔn)確度求解復(fù)雜工程電磁問(wèn)題，但是需要使用者能熟練、正確地使用軟件。

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