少齒數(shù)齒輪副的優(yōu)化設(shè)計*

程 偉，王保民

(1．陜西理工學(xué)院機械工程訓(xùn)練中心，陜西漢中 723003;2．陜西理工學(xué)院機械工程學(xué)院，陜西漢中 723001)

0 引言

少齒數(shù)齒輪減速器具有單級傳動比大、結(jié)構(gòu)緊湊、重量輕等優(yōu)點，在礦山、冶金、起重運輸?shù)刃袠I(yè)具有廣泛的應(yīng)用價值。少齒數(shù)齒輪減速器一般采用單級傳動，小齒輪是齒數(shù)為1～7的漸開線圓柱斜齒輪，因其特殊的傳動結(jié)構(gòu)，在滿足齒輪副尺寸結(jié)構(gòu)、傳動質(zhì)量、承載能力等方面存在在較大的設(shè)計難題，主要問題表現(xiàn)在齒頂變尖、根切、重合度低、點蝕和磨損失效等，阻礙了少齒數(shù)齒輪減速器的推廣應(yīng)用［1-2］。少齒數(shù)齒輪減速器傳統(tǒng)的設(shè)計方法是按照給定的條件，根據(jù)經(jīng)驗，采用類比和理論計算的方法，在滿足一些限制條件的基礎(chǔ)上，通過試湊的方法來確定主要參數(shù)，但由于限制條件和主要參數(shù)過多，缺少有效的方法，很難找到符合要求的一組參數(shù)，因而設(shè)計出來的減速器在壽命、承載能力、傳動效率、平穩(wěn)性等方面不夠理想。

1 少齒數(shù)齒輪副設(shè)計限制條件數(shù)學(xué)模型

1．1 兩齒輪的根切指數(shù)

當(dāng)Δ1≥0，無根切;Δ1＜0，會出現(xiàn)根切的情況。小齒輪端面最小變位系數(shù)為:

1．2 重合度指數(shù)

少齒數(shù)齒輪傳動端面重合度總是小于1，需要增加軸向重合度來保證少齒數(shù)齒輪傳動的平穩(wěn)性和承載能力。許用端面重合度和總重合度一般要求［εa］≥0．5 和［εγ］＞1．5。端面重合度指數(shù):

式中:εa為設(shè)計值。當(dāng)Δ2≥0，符合端面重合度的要求;Δ2＜0，端面重合度不夠。總重合度指數(shù):

式中:εγ為設(shè)計值。當(dāng) Δ21≥0，符合總重合度的要求;Δ21＜0，總重合度不夠。

1．3 兩齒輪齒頂厚度指數(shù)

為了避免小齒輪齒頂變尖，通常要求齒頂厚sat＞0，小齒輪齒頂厚指數(shù)為:

式中:sat為設(shè)計值。當(dāng)Δ3＞0，小齒輪不會出現(xiàn)齒頂變尖的情況;Δ3≤0，小齒輪齒頂會變尖，有些情況下允許變尖，并通過削尖的方法來保證接觸強度。

1．4 干涉指數(shù)

當(dāng) Δ41，42≥0，不發(fā)生干涉;Δ41或 Δ42＜ 0，發(fā)生干涉。

1．5 節(jié)點外嚙合指數(shù)

當(dāng)Δ5＞0，不出現(xiàn)節(jié)點外嚙合情況;Δ5≤0出現(xiàn)節(jié)點外嚙合情況。

1．6 等滑動系數(shù)程度指數(shù)

Δ6越小越，兩齒輪最大滑動系數(shù)差值越小，抗磨損和膠合能力越強。磨損和膠合是少齒數(shù)齒輪傳動的主要破壞形式之一。

1．7 法向最小側(cè)隙指數(shù)

Δ7≥0時，選取法向側(cè)隙符合要求或在法向側(cè)隙給定下的選取的參數(shù)符合要求;Δ7＜0時，需要調(diào)整法向側(cè)隙或參數(shù)。

1．8 接觸強度指數(shù)

由于節(jié)點不在少齒數(shù)齒輪副的嚙合線上，普通齒輪的接觸應(yīng)力公式不再適用于少齒數(shù)齒輪，可以取實際嚙合線的中點作為齒面接觸強度的應(yīng)力計算點［3］，則有:

當(dāng) Δ81，82≥0，接觸強度符合要求。

2 優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型的建立

2．1 目標函數(shù)的建立

(1)大、小齒輪齒根處最大滑動系數(shù)差值越小，對齒輪副的抗膠合能力和耐磨性越有利，則建立目標函數(shù):

min f1(X)=

(2)變位系數(shù)之和越大或小齒輪齒根處的類幾何壓力系數(shù)越小，接觸強度越好，則建立目標函數(shù):

min f2(X)=-(xt+xt2)

min f3(X)=ψ'

(3)減小體積可以減小使用空間，節(jié)省材料以及降低成本，則建立目標函數(shù):

min f4(X)=

2．2 設(shè)計變量的確定

一般情況下，輸入功率P1、小齒輪轉(zhuǎn)速n1、實際中心距a1、傳動比i21是給定的設(shè)計始條件，齒輪副的主要參數(shù)為:小齒輪齒數(shù)z1，端面模數(shù)mt，螺旋角β，小齒輪變位系數(shù)xt1，壓力角αn，齒寬系數(shù)ψa(小齒輪齒寬b=a1*ψa)。則設(shè)計變量為:

2．3 約束條件

(1)邊界約束條件

小齒輪為主動輪，為保證其彎曲強度，模數(shù)一般要大于2;螺旋角對少齒數(shù)齒輪的齒形和傳動質(zhì)量影響很大，選擇重合度要兼顧強度、平穩(wěn)性及齒形;為了彌補端面重合度εa的不足一般都采用較大的齒寬;壓力角小，傳動效率高、重合度大，噪音小，但輪齒的強度差，壓力角大，承載能力強，壽命高，需要根據(jù)設(shè)計要求來選取，一般情況下，為了便于小齒輪加工，壓力角為20°。邊界約束條件如表1所示。

表1 邊界約束條件

(2)齒形和傳動質(zhì)量約束

2．4 優(yōu)化方法

少齒數(shù)齒輪傳動相比與普通齒輪，由于其特殊的結(jié)構(gòu)，限制條件和質(zhì)量要求更多，追求某一項質(zhì)量指標沒有意義，必須綜合協(xié)調(diào)各質(zhì)量指標，因此，少齒數(shù)齒輪副的優(yōu)化設(shè)計需要采用多目標優(yōu)化設(shè)計。若對其進行單目標優(yōu)化設(shè)計時，必須將其它目標轉(zhuǎn)換成限制條件。求解多目標優(yōu)化設(shè)計的基本方法是評價函數(shù)法［4］，借助幾何或應(yīng)用中的直觀背景構(gòu)造評價函數(shù)，將多目標優(yōu)化問題轉(zhuǎn)變成單目標優(yōu)化問題，然后用單目標優(yōu)化的方法求解。

基于理想點法，構(gòu)造少齒數(shù)齒輪副多目標優(yōu)化的評價函數(shù):

先求解p個單目標問題的解f*i:

并構(gòu)造評價函數(shù):

再求解

將其最優(yōu)解x*作為多目標問題的最優(yōu)解。

少齒數(shù)齒輪副優(yōu)化設(shè)計屬于非線性的約束優(yōu)化問題。MATLAB優(yōu)化工具箱采用序列二次規(guī)劃法(SQP)來求解這種優(yōu)化問題，它是將原問題化為一系列的二次規(guī)劃子問題進行求解，再通過使用BFGS法構(gòu)造變尺度矩陣，以保留超線性收斂性，最后調(diào)用fmincon函數(shù)求解得到最優(yōu)解［5］。

3 優(yōu)化設(shè)計軟件開發(fā)及實例

3．1 基于MATLAB GUI軟件開發(fā)

MATLAB可視化設(shè)計模塊(GUI)除了開發(fā)軟件功能外，還可使用MATLAB優(yōu)化函數(shù)，并且具有強大的數(shù)值計算功能，復(fù)合運算功能和圖像處理功能，方便優(yōu)化計算和可視化對話框的開發(fā)［6］。MATLAB GUI模塊可構(gòu)建含有圖形窗口、圖軸、按鈕、菜單、文本框等圖形對象的可視化界面，這些是人機交流信息的途徑和方式，其功能的實現(xiàn)是基于C語言編寫的底層程序。創(chuàng)建一個GUI的過程大致分為9步，如圖1。

圖1 創(chuàng)建GUI的基本步驟

基于理想點法的少齒數(shù)齒輪副優(yōu)化設(shè)計流程:輸入已知參數(shù)數(shù)據(jù)，包括輸入功率、小齒輪轉(zhuǎn)速、傳動比、中心距等;設(shè)置限制條件，包括邊界約束條件、傳動性能約束條件等;單目標優(yōu)化;將各單目標優(yōu)化的結(jié)果作為已知條件輸入到多目標優(yōu)化對話框中，進行理想點法的多目標優(yōu)化;輸出結(jié)果，包括齒數(shù)、大小齒輪變位系數(shù)、端面重合度等;附加功能，包括齒輪副嚙合圖、接觸強度計算等。根據(jù)優(yōu)化設(shè)計的流程，設(shè)計各環(huán)節(jié)的界面和要實現(xiàn)的功能，基于MATLAB GUI編輯界面和編寫底層程序，檢測修改無誤后，acc編譯成軟件。

3．2 IE33汽油機傳動結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計

由文獻［7］可知，IE33汽油機功率為 p=0．4 kW，小齒輪最高轉(zhuǎn)速為n1=6 000 r/min，該機采用一對少齒數(shù)齒輪副減速，其中心距a=60 mm，其余參數(shù)數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 基本參數(shù)數(shù)據(jù)

表3 優(yōu)化結(jié)果

這對少齒數(shù)齒輪經(jīng)過較長時間跑合才能正常工作，原因是小齒輪根部已經(jīng)發(fā)生過渡曲線干涉;重合度不高，齒頂變尖;工作一段時間后，破壞形式是點蝕和磨損，為了保證有一定的壽命，采用了硬齒面，并對表面進行了修研，再通過適當(dāng)跑合降低接觸應(yīng)力。

在不改變中心距、兩齒輪齒數(shù)及模數(shù)的情況下，以提高重合度和接觸強度及減小最大滑動系數(shù)差為目標，對齒輪副進行優(yōu)化設(shè)計。參數(shù)數(shù)據(jù)輸入如圖2所示。

圖2 輸入?yún)?shù)

圖3 齒輪副嚙合圖

如表3所示，采用理想點法對少齒數(shù)齒輪副進行多目標優(yōu)化設(shè)計的結(jié)果與傳統(tǒng)試湊法設(shè)計出來的結(jié)果相比，端面重合度提高了(0．5949-0．481)/0．481=23．68%;接觸強度提高了(1495-1097．41)/1495=26．59%;最大滑動系數(shù)差降低了(5．172-2．904)/5．172=43．85%，并且齒輪副不存在齒頂變尖和根切的問題。齒輪副嚙合圖如圖3所示。

4 結(jié)論

(1)對少齒數(shù)齒輪傳動的限制條件進行了分析，建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;建立了少齒數(shù)齒輪副優(yōu)化設(shè)計的模型，包括目標函數(shù)、設(shè)計變量、約束條件、優(yōu)化方法，保證了少齒數(shù)齒輪減速器的傳動性能;

(2)為少齒數(shù)齒輪副的參數(shù)設(shè)計提供了一種新的更合理有效的方法，解決了綜合考慮各限制因素和質(zhì)量要求協(xié)調(diào)地設(shè)計主要參數(shù)的難題;

(3)基于MATLAB GUI平臺和可視化技術(shù)開發(fā)了少齒數(shù)齒輪副優(yōu)化設(shè)計軟件，大大提高了設(shè)計效率。

［1］ 王保民，張國海，李 鵬．少齒數(shù)漸開線圓柱齒輪傳動研究現(xiàn)狀綜述［J］．陜西理工學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2010，26(1):1-4．

［2］ 王寧俠，王 鴻，王乃信．少齒數(shù)漸開線圓柱齒輪機構(gòu)的研究［J］．機械科學(xué)與技術(shù)，2000，15(6):941-943．

［3］ 張國海，王保民，蔣學(xué)全．少齒數(shù)齒輪傳動接觸強度的研究［J］．機械設(shè)計，2004，21(8):16-18．

［4］ 李萬祥．工程優(yōu)化設(shè)計與MATLAB實現(xiàn)［M］．北京:清華大學(xué)出版社，2010．

［5］ 席平原．應(yīng)用MATLAB工具箱實現(xiàn)機械優(yōu)化設(shè)計［J］．機械設(shè)計與研究，2003，19(3):40-42，7．

［6］ 羅華飛．MATLAB GUI設(shè)計學(xué)習(xí)手記［M］．北京:北京航空航天大學(xué)出版社，2011．

［7］ 施雄泉．少齒數(shù)大傳動比圓柱齒輪副傳動有關(guān)問題的研究［J］．職大期刊，1995(1):41-46．