小議差分方程的應(yīng)用

周曉燕（福建省福州職業(yè)技術(shù)學(xué)院350108）

小議差分方程的應(yīng)用

周曉燕（福建省福州職業(yè)技術(shù)學(xué)院350108）

本文主要討論了數(shù)學(xué)中的差分方程在實際生活中的應(yīng)用。

差分方程蛛網(wǎng)模型減肥模型

一、定義：差分方程的概念

我們將含有未知函數(shù)yt的差分的方程稱為差分方程。一般地，n階差分方程的形式為：F（t，yt，△yt，△2yt，…，△nyt）。也可表示為：G（t，yt，yt+1，yt+2，…，yt+n）=0。

二、應(yīng)用

（一）籌集教育經(jīng)費模型

隨著人們生活水平日益提高，人們對于收入的理財認(rèn)識逐步提高。部分家庭會考慮存入一小部分空余的資金，以供子女長大后完成學(xué)業(yè)。有一戶家庭從現(xiàn)在開始從每個月的家庭總收入中取出一部分資金存到銀行，計劃20年以后，每個月從該賬戶取出1000元，一直到子女全部完成學(xué)業(yè)，估計一共支取10年后賬戶資金全部用完。如果要實現(xiàn)這一計劃，在存錢的20年內(nèi)一共要存入多少資金？每個月要存多少錢到賬戶中？假設(shè)銀行的月利率一直保持不變?yōu)?.6%。

假設(shè)前面存錢的20年內(nèi)一共要存入x元資金，每個月存入該賬戶a元資金，該賬戶第個月的資金總額為Ii元，20年后的第i個月的資金總額為Si元。

從而，得到20年以后，關(guān)于Si的差分方程模型為：Si+1=1.006Si-1200并且：S120=0，S0=x

從開始存錢到20年之內(nèi)，該賬戶第i個月的資金總額為Ii滿足差分方程：

Ii+1=1.006Ii+a且I0=0，I240=97560.12

解這一差分方程，得到：a=182.78

從而，要實現(xiàn)這一教育投資計劃，在存錢的20年內(nèi)一共要存入97560.12元，平均每個月要存182.78元到賬戶中。

（二）減肥計劃——節(jié)食與運動

隨著人們生活水平的提高，肥胖的人越來越多。針對東方人的特點，聯(lián)合國世界衛(wèi)生組織頒布的體重指數(shù)，當(dāng)18.5≤BMI≤24為正常，24＜BMI＜29為超重，29＜BMI為肥胖。

1.模型假設(shè)

假設(shè)此人身體狀況正常，且肥胖不是遺傳性的；只考慮一周里由于與體重成正比的運動而消耗的總的能量；體重的增加與所吸收的熱量是成正比，平均每8000kcal增加體重1kg（kcal為非國際單位制單位1kcal=4.2kj）；正常代謝引起的體重減少以及運動（與運動形式有關(guān)）引起的體重減少都正比于體重，每周每公斤體重消耗熱量一般在200kcal至320kcal之間；安全起見，每一周體重的減少要小于1.5公斤，每一周吸收熱量大于10000千卡。

模型求解：

（1）在不運動只通過控制飲食來進(jìn)行減肥的情況下安排如下計劃。

第一階段：要使得每周體重減少1公斤，則需要通過控制每周的飲食，使每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；

設(shè)：w(k)～第k周(末)體重c(k)～第k周吸收熱量

熱量轉(zhuǎn)換系數(shù)α=1/8000（公斤/千卡）β～代謝消耗系數(shù)(因人而異)

則：w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)

確定此人的代謝消耗系數(shù)每周吸收20000千卡w=100公斤不變

即每一周每公斤體重消耗熱量20000/ 100=200千卡

吸收熱量為：c(k+1)=12000-200k，k=0，1，…，9

第二階段：通過每周吸收熱量一直保持下限，直至減肥達(dá)到目標(biāo)。

每周c(k)保持Cmin,體重w(k)減至75公斤。

w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-βw(k)?w(k+1)=（1-β）w(k)+αCmin

第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按照：w(n)=40×0.975n+50(n=1，2，…，19)減少至75公斤。

如果適當(dāng)增加運動：

根據(jù)資料每小時每公斤體重消耗的熱量γ（千卡）：

t～每周運動時間(小時)

w(k+1)=w(k)+αc(k+1)-(β+αγt)w(k)

取αγt=0.003，即γt=24，分析計算后知：n=14

則有上述討論有：運動γt=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可。

增加運動相當(dāng)于提高代謝消耗系數(shù)β

β(=0.025)→β′=β+αγt(=0.028)，即代謝消耗系數(shù)β提高了12%。

減肥所需時間從19周降至14周，即減肥所需時間減少25%。

從模型的結(jié)果來看，該模型對于代謝消耗系數(shù)β很敏感。所以，在應(yīng)用該模型時要仔細(xì)確定代謝消耗系數(shù)β，對不同的人，即使是同一個人在不同的環(huán)境，β可能都不一致。

（2）考慮達(dá)到目標(biāo)體重75公斤后維持不變的方案

每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變

①若不運動：C=8000×0.025×75=15000（千卡）

②有運動：與上述討論保持一致，仍取αγt=0.003

則：C=8000×0.028×75=16800（千卡）

（三）市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型

在自由市場經(jīng)濟(jì)中，有些商品的生產(chǎn)、銷售呈現(xiàn)明顯的周期性。試分析市場經(jīng)濟(jì)中經(jīng)營者根據(jù)市場經(jīng)濟(jì)的規(guī)律，如何建立數(shù)學(xué)模型來表現(xiàn)和分析市場趨勢的。這就需要利用到差分方程建模。

設(shè)：xk～第k時段商品數(shù)量；yk～第k時段商品價格。k=1，2，…

這里我們將市場演變模式劃分為若干時段，用自然數(shù)k來表示，1個時段相當(dāng)于商品的1個生產(chǎn)周期，如瓜果、蔬菜的生產(chǎn)周期是指種植周期，肉類則是指動物的飼養(yǎng)周期。

由經(jīng)濟(jì)學(xué)的知識知道：

消費者的需求關(guān)系（需求函數(shù)）：yk=f（xk）這是一個減函數(shù)

生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系（供應(yīng)函數(shù)）：xk+1=h（yk）這是一個增函數(shù)

也可以表示為：yk=g（xk+1）

f與g的交點p0（x0，y0）是平衡點，從某個時段以后的每個時段的商品的數(shù)量和價格會一直保持在p0（x0，y0）。但這只是理想的狀態(tài)，實際中的各種狀況會干擾到商品的數(shù)量以及價格發(fā)生偏離，不會一直保持在p0（x0，y0）。這種通過需求曲線和供應(yīng)曲線的來分析市場經(jīng)濟(jì)的方法叫做蛛網(wǎng)模型。

為了進(jìn)一步分析市場經(jīng)濟(jì)中的供需關(guān)系，我們通過蛛網(wǎng)模型的另外一種表達(dá)形式——差分方程來描述。

建立模型：

在平衡點p0（x0，y0）附近可以用“以直代曲”的方法，即在p0附近近似地用直線來代替曲線f和g。

設(shè)需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)分別近似為：

進(jìn)而：α=Kf，1/β=Kg，通過對k進(jìn)行遞推，可以得出：xk+1-x0=(-αβ)k(x1-x0)

從而αβ＜1即(α＜1/β)也就是Kf＞Kg?xk→x0，p0穩(wěn)定。

αβ＞1即(α＞1/β)也就是Kf＞Kg?xk→∞，p0不穩(wěn)定。

所以，α體現(xiàn)著消費者對商品需求的敏感程度；β體現(xiàn)著生產(chǎn)者對商品價格的敏感程度。α小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定，β小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定。

從上述分析可以得出，當(dāng)市場經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定的時候政府有兩種干預(yù)辦法。

1.使α盡量小，如可以考慮極特殊的情況α=0，?需求曲線變?yōu)樗?/p>

不論供應(yīng)函數(shù)如何變化，即使β再大，都有αβ＜1，因此總體經(jīng)濟(jì)都是穩(wěn)定的。這可以通過政府以強(qiáng)制的行政手段控制價格不變來實現(xiàn)。

2.使β盡量小，如可以考慮極特殊的情況β=0，?供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直

不論需求函數(shù)如何變化，即使α再大，都有αβ＜1，因此總體經(jīng)濟(jì)都是穩(wěn)定的。這可以通過政府依靠強(qiáng)大的經(jīng)濟(jì)實力來嚴(yán)格控制市場上的商品數(shù)量。

模型的進(jìn)一步延伸：

如果生產(chǎn)者管理水平有所提高，不僅僅只是依據(jù)前一個時段的價格來決定下一階段的生產(chǎn)規(guī)模。

延伸情況一：

生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時段的價格來決定下一時段的產(chǎn)量。為了簡化模型，可以考慮假設(shè)生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段價格yk和前一時段的價格yk-1的平均值來決定下一時段的產(chǎn)量xk+1，即：x=

同樣的用“以直代曲”的方法：

供應(yīng)函數(shù)可以近似為：xk+1-x0=β[(yk+yk+1)/ 2-y0]

又因為需求函數(shù)不變，仍然是：yk-y0=-α (xk-x0)

由于二階線性常系數(shù)差分方程的平衡點穩(wěn)定的條件是：該差分方程對應(yīng)的特征方程的根都要落在單位圓內(nèi)。分析可得：αβ＜2

平衡點的穩(wěn)定條件從原來的αβ＜1放寬為αβ＜2。

延伸情況二：上一時段的商品的銷售情況也在影響著下一時段這一商品的價格。也就是如果上一時段的市場內(nèi)的商品沒有銷售完，則未銷售完的商品的數(shù)量就會影響著下一時段的價格。因此，第k和第k+1時段的商品數(shù)量xk和xk+1共同決定這第k+1時段的商品價格yk+1。假設(shè)第k+1時段的商品數(shù)量xk+1僅僅只由yk來決定。

類似上面的討論得到，平衡點的條件是：αβ＜2

延伸情況三：生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時段的價格來決定下一時段的產(chǎn)量；并且，上一時段的商品的銷售情況也在影響著下一時段這一商品的價格，進(jìn)而單前時段的商品數(shù)量和前一時段的數(shù)量共同決定本時段的商品價格。

類似于延伸情況一、二一致，平衡點的條件是：αβ＜2

顯然，生產(chǎn)者的管理水平、素質(zhì)對市場經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定性有著一定的有利影響。所以，提高生產(chǎn)者的管理水平和素質(zhì)是很重要的。使他們可以把目光放長遠(yuǎn)一些，不要熱衷于追求一時的高利潤，應(yīng)該要對整體的生產(chǎn)有著長遠(yuǎn)的規(guī)劃。

三、結(jié)論

差分方程還有著很多廣泛的應(yīng)用，如：最優(yōu)的捕魚策略問題、買房貸款、按年齡分組的種群增長問題等等。

[1]姜啟源.數(shù)學(xué)模型[M].北京:高等教育出版社，1993.

[2]段勇，黃廷祝.將數(shù)學(xué)建模思想融入線性代數(shù)課程教學(xué)[J].中國大學(xué)數(shù)學(xué)，2009(3)：34-35.

（責(zé)編 趙建榮）