比較：概念教學(xué)的有效路徑
——以“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”教學(xué)為例

江蘇張家港市教育局教學(xué)研究室（215600） 陳惠芳

比較：概念教學(xué)的有效路徑
——以“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”教學(xué)為例

江蘇張家港市教育局教學(xué)研究室（215600） 陳惠芳

結(jié)合蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材三年級(jí)“認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)”一課的教學(xué)，闡述了比較這一數(shù)學(xué)思想方法在教學(xué)中的重要作用，指出了小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，采用“比較”的數(shù)學(xué)思想方法，要注意三個(gè)方面：找準(zhǔn)“比較”前的點(diǎn)、把握“比較”時(shí)的度、關(guān)注“比較”后的思，對(duì)一線教師的數(shù)學(xué)課堂具有一定的借鑒意義和參考價(jià)值。

比較 概念教學(xué) 路徑 認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)

著名教育家烏申斯基曾經(jīng)說過：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來了解世界上的一切?！痹谔K教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，有很多基礎(chǔ)概念，例如在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中，就有小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)等。概念教學(xué)是小學(xué)階段非常重要的內(nèi)容之一，除了在日常生活中應(yīng)用廣泛，還為深入地開展認(rèn)識(shí)活動(dòng)提供了必要的理論工具。在概念教學(xué)中，如果采用比較的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生舉一反三，觸類旁通，就能幫助學(xué)生抓住概念的內(nèi)在本質(zhì)，準(zhǔn)確地理解概念，凸顯概念的重要價(jià)值?，F(xiàn)以三年級(jí)下冊(cè)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”一課為例，談?wù)勥@方面的教學(xué)思考。

一、在比較中，讓新舊知識(shí)自然對(duì)接

從蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材編排體系看，分?jǐn)?shù)這一內(nèi)容被分成了三個(gè)階段來進(jìn)行教學(xué)。三年級(jí)上學(xué)期，學(xué)生已經(jīng)初步學(xué)習(xí)了把一個(gè)物體、一個(gè)圖形平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾表示其中的一份或幾份。五年級(jí)下學(xué)期，學(xué)習(xí)把單位“1”平均分成若干份，其中的一份或者幾份可以分?jǐn)?shù)來表示。三年級(jí)下冊(cè)的分?jǐn)?shù)教學(xué)主要包括兩方面的內(nèi)容：一是把由若干個(gè)物體組成的一個(gè)整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾這樣的分?jǐn)?shù)表示這個(gè)整體里的一份或幾份；二是應(yīng)用對(duì)分?jǐn)?shù)的理解，解決求一個(gè)整體的幾分之一或幾分之幾是多少個(gè)物體的實(shí)際問題。因此，這部分內(nèi)容的教學(xué)起到了一個(gè)承上啟下的作用。新課學(xué)習(xí)時(shí)，我采用師生談話交流的方式，先讓學(xué)生回憶：“我們已經(jīng)學(xué)過了分?jǐn)?shù)，你能舉例說出一個(gè)分?jǐn)?shù)，并說說它表示什么意思嗎？”學(xué)生有的說四分之一，有的說五分之二，通過對(duì)它們意義的確認(rèn)與理解，我及時(shí)進(jìn)行總結(jié)：“通過學(xué)習(xí)我們知道，把一個(gè)物體平均分成幾份，每份就是它的幾分之一。今天這節(jié)課，我們繼續(xù)來研究分?jǐn)?shù)。”接著，出示教材例題“猴媽媽把一盤桃平均分給4只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？”……

從建構(gòu)主義理論來看，任何學(xué)習(xí)都是在學(xué)習(xí)者已有的知識(shí)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)于新的學(xué)習(xí)任務(wù)是一個(gè)關(guān)鍵的因素。因此，找到新知的認(rèn)知起點(diǎn)很重要。學(xué)生通過回憶、分析，對(duì)一個(gè)物體的幾分之一有了清晰的認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上揭示課題，顯得水到渠成。更重要的是讓舊知與新知聯(lián)結(jié)起來，讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的認(rèn)識(shí)上升到一個(gè)新的高度。

二、在比較中，讓核心概念動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)

所謂核心概念，指的是反映對(duì)象的本質(zhì)屬性的思維形式。針對(duì)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來看，從一個(gè)物體的幾分之一到一個(gè)整體的幾分之一，是學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的一次發(fā)展。一方面要讓學(xué)生理解“為什么要把許多個(gè)物體看作一個(gè)整體”，這是認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)過程中的一個(gè)難點(diǎn)。另一方面就是讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到，把一個(gè)整體平均分成幾份，這是分?jǐn)?shù)產(chǎn)生的重要因素，平均分成幾份，每一份就是幾份中的一份，也就是幾分之一，這是教學(xué)的重點(diǎn)與關(guān)鍵所在。如何能突出這一重點(diǎn)，我精心設(shè)計(jì)了多個(gè)層次的比較。

1.通過例題的變式進(jìn)行比較

第一層次，通過比較，深化對(duì)四分之一的理解。教材的例題是把一盤桃（4個(gè)桃子）平均分給4只猴子，要求每只小猴分得這盤桃的幾分之幾。教學(xué)時(shí)，我放大了例題的教學(xué)價(jià)值：把4個(gè)桃子依次變成8個(gè)桃子、12個(gè)桃子、無數(shù)個(gè)桃子，仍舊是平均分給4只猴子，每只猴子分得這盤桃的幾分之幾？讓學(xué)生通過分一分、想一想、說一說，觀察比較后得出“不管盤子里有多少個(gè)桃子（4個(gè)、8個(gè)、12個(gè)、很多很多個(gè)），桃子的總個(gè)數(shù)不同，都可以把它看作一個(gè)整體，只要把這盤桃平均分成4份，每只小猴都分得這盤桃的四分之一，都可以用分?jǐn)?shù)1/4來表示。不同的是，每一份的個(gè)數(shù)不同”。（異中有同，同中有異）學(xué)會(huì)觀察非常重要！

第二層次，通過比較，凸顯二分之一與四分之一的異同?！巴瑯邮且槐P桃，分給4只猴子、2只猴子后，同樣是四個(gè)桃子，為什么每份有的用四分之一來表示，有的卻用二分之一來表示呢？”這樣的比較不僅符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，更重要的是讓學(xué)生充分意識(shí)到“平均分成的份數(shù)”決定著不同分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生。此處教學(xué)筆墨不多，但恰到好處，學(xué)生的思維一下子動(dòng)起來了，真正給學(xué)生創(chuàng)造了一個(gè)生動(dòng)活潑的動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)過程。

2.通過習(xí)題的變式進(jìn)行比較

（1）在比較中，深化對(duì)總數(shù)、總份數(shù)、每份數(shù)的認(rèn)識(shí)。如根據(jù)教材“想想做做第2題（教材只提供了圖1-1和圖1-2），我還補(bǔ)充了圖1-3、1-4。教學(xué)時(shí)，先讓學(xué)生口答每個(gè)圖可以用幾分之幾來表示，接著讓學(xué)生依次對(duì)圖1-1和圖1-2、圖1-1和圖1-3、圖1-和圖1-4進(jìn)行比較。

我出示比較1：同樣是12個(gè)小正方體，其中的一份，為什么第一個(gè)是四分之一，第2個(gè)是三分之一？比較2：同樣是每份3個(gè)，為什么圖1-1用表示，圖1-3用表示？讓學(xué)生觀察圖1-2和圖1-4后，提出問題來考考同學(xué)。通過對(duì)這3組分?jǐn)?shù)的比較，深化了學(xué)生對(duì)于總數(shù)、總份數(shù)、每份數(shù)的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)幾分之一所表示的實(shí)際含義，及時(shí)溝通了“部分與整體”、“份數(shù)與分?jǐn)?shù)”等相互之間的關(guān)系，凸顯出分?jǐn)?shù)的本質(zhì)。

圖1-1

圖1-2

圖1-3

圖1-4

（2）在比較中，深化對(duì)平均分的理解。為了讓學(xué)生對(duì)平均分有深刻的理解，我在三組分?jǐn)?shù)比較之后，還出示了圖2，問：“現(xiàn)在圖中涂色部分還能用分?jǐn)?shù)來表示嗎？”

圖2

學(xué)生通過觀察，一致認(rèn)為圖2中的3份不是平均分，第一排有5個(gè)，第二排也是5個(gè)，第三排是6個(gè)，所以不能用三分之一來表示。我及時(shí)總結(jié)：“說得好！看來，要想得到一個(gè)分?jǐn)?shù)，必須要把這個(gè)整體平均分?！笨磥?，對(duì)圖1-1、圖1-2、圖1-3、圖1-4、圖2多種層次的比較，尤其是運(yùn)用反例，讓學(xué)生意識(shí)到分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生一定是要建立在平均分的基礎(chǔ)上。也正是這樣的比較活動(dòng)，學(xué)生的思維始終處于活躍狀態(tài)，在對(duì)比中辨析，在辨析中理解，真正做到“同中辨異，異中求同”，學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的理解自然是全面而深刻的。

三、在比較中，讓思想方法悄然浸潤(rùn)

史寧中教授在《數(shù)學(xué)思想概論》中指出：數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有三個(gè)：抽象、推理和模型……通過抽象，在現(xiàn)實(shí)生活中得到數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)的發(fā)展，然后再通過模型建立數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》也突出強(qiáng)調(diào)落實(shí)“四基”的要求，其中包括“培養(yǎng)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)思想方法”?？梢?，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，自覺滲透基本的數(shù)學(xué)思想方法十分重要。本課中，比較這一思想方法的滲透是悄然無聲的，除了上面提及的核心概念的呈現(xiàn)中，采用比較的方法，從直觀到抽象，深化對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)外，練習(xí)設(shè)計(jì)中，我還注重了一一對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的滲透。

如在12根小棒的游戲練習(xí)中，我先提出：“（課件出示）一堆小棒有12根，你能表示出這堆小棒的嗎？”學(xué)生自然想到每份是6根?！澳敲?，除了，你能表示出這些小棒的幾分之一呢？”學(xué)生通過交流，想到了還可以拿出它的

接著，我要求學(xué)生觀察：“同樣是12根小棒，為什么得到了不同的分?jǐn)?shù)呢？隨著分的份數(shù)增加，每份數(shù)怎樣變化？分?jǐn)?shù)怎樣變化？”讓學(xué)生通過比較，體會(huì)到變與不變的思想。

第二步，我把12根小棒變成了這樣一條特殊的“線段”，追問：“現(xiàn)在能把它看作一個(gè)整體嗎？說說這一份占線段全長(zhǎng)的幾分之一？”（如圖3、圖4）

圖3

圖4

在學(xué)生說出十二分之一和四分之一后，我把線段進(jìn)行了“瘦身”，讓學(xué)生繼續(xù)觀察，猜一猜：這一份是這個(gè)整體的幾分之一？（如圖5）

圖5

圖6

在此基礎(chǔ)上，我引導(dǎo)學(xué)生得出：只要把這條線段看作一個(gè)整體，平均分成幾份，每份就是它的幾分之一（如圖6）。這個(gè)練習(xí)的設(shè)計(jì)，基于教材，又創(chuàng)生教材，從小棒圖到數(shù)軸圖的巧妙變化，對(duì)小學(xué)階段“分?jǐn)?shù)的意義”做了較好的對(duì)接，既有趣味性，又讓學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)有了適當(dāng)?shù)耐卣购脱由?，而“一一?duì)應(yīng)”思想、變與不變的思想、數(shù)形結(jié)合思想等也悄然滲透其中。

基于上面的思考，我覺得在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，采用“比較”的數(shù)學(xué)思想方法，要注意以下幾點(diǎn)。

其一，找準(zhǔn)“比較”前的點(diǎn)。任何概念都有其內(nèi)涵和外延，教師進(jìn)行概念教學(xué)時(shí)，要認(rèn)真解讀教材，摸清教材的編寫意圖，熟悉概念的來龍去脈，了解核心概念在本冊(cè)教材中乃至在整個(gè)小學(xué)階段（可適量延伸至中學(xué)）中的重要地位，全面把握其內(nèi)涵和外延，找準(zhǔn)教材的邏輯起點(diǎn)、學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)和思維起點(diǎn)，確定適切的教學(xué)目標(biāo)要求。備課時(shí)，找一找與學(xué)生已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，借助于具體情境的支撐，找準(zhǔn)新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，確定課堂上圍繞該內(nèi)容的具體訓(xùn)練點(diǎn)，通過學(xué)情分析，努力挖掘其生長(zhǎng)點(diǎn)，使新概念的學(xué)習(xí)有“根”有“據(jù)”，幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

其二，把握“比較”時(shí)的度。為理解而教，這是概念教學(xué)中很重要的理念。小學(xué)生對(duì)任何概念的理解，絕不是一次完成的，都要經(jīng)歷一個(gè)比較復(fù)雜的認(rèn)識(shí)過程。縱觀一些概念教學(xué)，可以發(fā)現(xiàn)，在感性向理性的抽象思維活動(dòng)中，教者可以及時(shí)變換材料的非本質(zhì)屬性，提供充分的學(xué)習(xí)素材，通過不斷的變式、比較，豐富概念的內(nèi)涵，讓學(xué)生充分感知、觀察、操作、比較，把操作活動(dòng)與語言表達(dá)、觀察比較與思維活動(dòng)有機(jī)結(jié)合，學(xué)會(huì)“數(shù)學(xué)地思維”，從而深化概念本質(zhì)的理解。

其三，關(guān)注“比較”后的思。英國(guó)哲學(xué)家洛克曾經(jīng)指出：省思是人心對(duì)自身活動(dòng)的注意和知覺，是知識(shí)的來源之一；人通過反省心靈的活動(dòng)和活動(dòng)方式，獲得關(guān)于它們的觀念，如知覺、思維、懷疑、信仰等。對(duì)于小學(xué)生來說，對(duì)一些數(shù)學(xué)基本概念的學(xué)習(xí)、把握，主要為以后高一層次的學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)這些基本概念，不僅獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是掌握一些數(shù)學(xué)思想方法，提高數(shù)學(xué)思維能力。因此，教師在課堂上要關(guān)注“比較”后的思，讓學(xué)生通過看一看、比一比、說一說，自己來整理發(fā)現(xiàn)，自己來盤點(diǎn)收獲，在學(xué)生獨(dú)自匯報(bào)的過程中，引發(fā)其他學(xué)生卷入其中，相互激發(fā)，啟迪思考，外化學(xué)生的思維過程。這樣的由此及彼、舉一反三，有助于學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)從模糊到清晰、從淺表到深刻，不斷豐富完善，從而獲得對(duì)概念的深刻理解和整體把握，進(jìn)而內(nèi)化為數(shù)學(xué)思想方法，真正提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（責(zé)編 金 鈴）

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1007-9068（2015）08-015