關(guān)于丟番圖方程χ2＋7＝2n*

陳向陽(yáng)

（廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西　南寧　530006）

關(guān)于丟番圖方程χ2＋7＝2n*

陳向陽(yáng)

（廣西民族大學(xué)理學(xué)院，廣西南寧530006）

用完全初等的方法即Pell方程、遞推序列和指數(shù)的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)證明了丟番圖方程χ2＋7＝2n僅有五組正整解.

Pell方程；遞推序列；最小非負(fù)剩余；指數(shù)

1913年，印度數(shù)學(xué)家Ramanujan[1]發(fā)現(xiàn)方程

有五組正整數(shù)解

他問(wèn)：方程（1）除開(kāi)給出的解之外還有沒(méi)有其他的正整數(shù)解？三十多年以后，瑞典數(shù)學(xué)家Nagell[2]第一個(gè)回答了這個(gè)問(wèn)題，他證明了

定理：方程（1）僅有正整數(shù)解（2）.

后來(lái)，英國(guó)數(shù)學(xué)家Mordell，德國(guó)數(shù)學(xué)家Hasse，以及美國(guó)數(shù)學(xué)家Chowla，Lewis，W.Johnson等[3]又分別給出了四個(gè)不同的證明，上述五種證明都用到了代數(shù)數(shù)論中的一個(gè)重要的性質(zhì)：二次域唯一分解定理成立.50年代以來(lái)，這個(gè)方程在組合數(shù)學(xué)中得到了應(yīng)用.下面，我們給出一個(gè)僅僅用到Pell方程和同余性質(zhì)的初等的簡(jiǎn)單證明.

定理的證明：

首先，若n偶數(shù)，設(shè)n＝2k，則（1）式給出

兩式相加得2k＋1＝8，k＝2，n＝4，χ＝3.

再設(shè)n為奇數(shù)，n＝2k＋1，以下只需證明k＜8即可.我們考慮二次丟番圖方程

熟知[3]：（3）的解由下列式子給出

若k＞7，我們對(duì)（9）和（10）分別取（mod 256）得周期序列（對(duì)m＝0，1，2，…）周期為128（如文后計(jì)算數(shù)據(jù)），由此可知僅當(dāng)m＝61＋128t時(shí)，有256|u61＋128t，m＝67＋128t時(shí)，有256|v67＋128t，由（8）式有

注意到7681|χ64，容易計(jì)算出u61＋128t≡±2988（mod 7681），v67＋128t≡±2988（mod 7681），從而當(dāng)k＞7時(shí)有2k≡±2988（mod 7681），當(dāng)k＝1，2，3，…時(shí)，2k（mod 7681）的最小非負(fù)剩余將形成一個(gè)周期為3840的周期序列：2，4，8，16，32，64，…，7201，6721，5761，3841，1；2，4，8，…，（mod 7681），在這個(gè)周期序列里沒(méi)有一個(gè)數(shù)等于2988或7681－2988＝4693.這說(shuō)明在k＞7時(shí)，（5）和（6）式是不可能的.這就證明了定理.

計(jì)算數(shù)據(jù)：

[1]Ramanujan S..Question 464[J].J Indian Math Soc，1913，5：120.

[2]T.Nagell.The Diophantine equation[J].Arkiv.matematik，1960（4），185－187.

[3]曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1989.

[責(zé)任編輯 蘇 琴]

[責(zé)任校對(duì) 方麗菁]

On the Diophantine Equation χ2＋7＝2n

CHEN Xiang－yang
（College of Sciences，Guangχi University for Nationalities，Nanning530006，China）

In this paper，give an elementary solution of the Diophantine equation by using simple properties of Pell'equation，recurrence sequence，minimal non－negative residue and index.

Pell'equation；recurrence sequence；minimal non－negative residue；index

O156.7

A

1673－8462（2015）02－0064－02

2014－11－20.

陳向陽(yáng)（1965－），女，廣西桂林人，廣西民族大學(xué)講師，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué).