壓氣機靜子有限元建模簡化方法及驗證

屈美嬌，王克明，孫 陽，辛桂雨

（1.沈陽航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)部，沈陽110136；2.中航工業(yè)航空動力機械研究所，湖南株洲412002）

0 引言

靜子系統(tǒng)動力特性計算是研究航空發(fā)動機整機振動的必要途徑。國內(nèi)外學(xué)者普遍采用有限元數(shù)值計算方法來獲取靜子支承動剛度[1]。靜子葉片數(shù)量多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜、形狀不規(guī)則，導(dǎo)致有限元計算規(guī)模大、效率低，甚至無法計算。為了快速準(zhǔn)確地確定靜子系統(tǒng)的動力特性，開展壓氣機靜子葉片的有限元簡化建模方法研究具有重要意義。

有限元法是將復(fù)雜方程系統(tǒng)通過離散方法近似成具有有限自由度問題的數(shù)值計算方法，因此，離散后總自由度數(shù)（Degree of Freedom，DOF）是衡量有限元模型規(guī)模的標(biāo)準(zhǔn)之一[2]。對于幾何外形非常復(fù)雜的研究對象，采用有限元計算時，對單元的形式、數(shù)量要求較高，增加了有限元模型的自由度數(shù)。因此，如何通過對具有復(fù)雜幾何外形的零部件結(jié)構(gòu)進行適當(dāng)簡化，減少有限元模型的總自由度數(shù)，進而實現(xiàn)快速有效地確定航空發(fā)動機的動力特性成為研究人員關(guān)注的重要課題。Moore J等[3]采用實體單元計算了渦輪壓縮機的整機動力特性；Hong J等[4]用3維實體單元建立了航空發(fā)動機整機有限元模型；Sch?nrock A等[5]用有限元法計算并驗證了BR710的整機動力特性。但是上述研究均未提及葉片建模。航空發(fā)動機動力特性的大部分有限元計算分析用集中質(zhì)量單元或直板簡化來代替真實葉片模型[6-8]，在一定程度上影響計算精度。高金海等[9]提出復(fù)雜幅板類零件簡化前后橫截面積、彎曲剛度和剪切模量均不變的簡化原則進行算例驗證，計算結(jié)果表明簡化前后誤差可控制在5%以內(nèi)，但是并未給出明確算法。張力等[10]進行了大涵道比渦扇發(fā)動機低壓轉(zhuǎn)子葉片的簡化研究，采用等效圓環(huán)法，將大尺寸葉片等效為剛性圓環(huán)，在一定范圍內(nèi)解決了葉片建模的問題，但該方法不適用于靜子葉片。本文針對壓氣機靜子葉片，分別提出8、6、4和2個截面等效簡化方法，將簡化前后葉片結(jié)構(gòu)的振動特性進行對比分析。以實際航空發(fā)動機某級整流器為例，來驗證方法的有效性。

1 葉片模型和截面等效簡化法

1.1 葉片模型結(jié)構(gòu)

壓氣機靜子葉片大多為實心薄葉片，外端常帶緣板，內(nèi)端多帶內(nèi)環(huán)。葉片包括具有葉型形狀的“葉身”和葉身以外的“基體”部分。葉身外形由若干規(guī)定剖面上的1組離散點確定，葉型的葉背與葉盆型線在前、后緣以圓弧、橢圓或特定曲線連接。實心葉片葉身的建模簡化如圖1所示。葉身較為平直，各截面重心連線可取為1條直線（即x 軸），沿x 向略有扭轉(zhuǎn)，葉片厚度是變化的。葉身自上而下由8個規(guī)定的葉型截面沿x 軸掃略而成。葉型截面最大厚度Cmax、弦長L 自上而下逐漸減小，中弧線最大高度h 先減小后增大，在截面5處最小。葉片用點焊的方式與整流器外環(huán)和內(nèi)環(huán)連接，可視為兩端固支。葉身材料參數(shù)見表1。

圖1 實心葉片葉身的建模簡化

表1 葉身材料參數(shù)

1.2 壓氣機典型靜子葉片受力分析

典型的壓氣機靜子葉片包括承力靜子、帶內(nèi)環(huán)的整流器和懸臂靜子葉片。其中，后二者對轉(zhuǎn)子支承動剛度以及臨界轉(zhuǎn)速計算影響較大。

承力靜子葉片承受由轉(zhuǎn)子重力、轉(zhuǎn)子不平衡力、機動載荷（含陀螺力矩）和軸向力等所產(chǎn)生的轉(zhuǎn)子支承力所作用。在計算分析時，通常分別在葉片的內(nèi)、外端加支承力和位移邊界條件，在內(nèi)端的受力情況如圖2所示。從圖中可見，葉片1、5發(fā)生拉壓變形；葉片3、7發(fā)生彎曲變形；葉片2、4、6、8發(fā)生拉彎組合變形。葉片內(nèi)端固定，葉身整體以彎曲和拉壓變形為主。帶內(nèi)環(huán)的整流器結(jié)構(gòu)與承力靜子結(jié)構(gòu)相似，其葉片兩端約束形式與承力葉片的一樣，內(nèi)環(huán)或外環(huán)發(fā)生形變時，葉片受力特點與承力葉片的類似，以拉壓和彎曲變形為主。

圖2 靜子承力葉片受力情況

1.3 截面等效法

從葉片受力分析可知，壓氣機靜子葉片以橫向彎曲和縱向（拉壓）形變?yōu)橹?。因此，為得到?zhǔn)確的發(fā)動機動力特性，建模時壓氣機靜子葉片應(yīng)該保留本身的橫向彎曲和縱向振動特性。本文依據(jù)2種振動特征對葉片進行等效簡化及效果評價。

將實際葉片考慮為變截面梁，如圖3所示。取各截面重心連線為x 軸，設(shè)葉高為c，記葉片在坐標(biāo)x處的橫截面積為A(x)，u(x，t)表示坐標(biāo)為x 的截面在時刻t 的縱向位移，材料性質(zhì)各向均勻，彈性模量為E，密度為ρ，變截面梁的縱向自由振動微分方程為

圖3 變截面梁縱向振動和彎曲振動參數(shù)

變截面梁的彎曲振動頻率通常低于其縱向振動頻率，更容易被激發(fā)。記坐標(biāo)x 的截面慣性矩為J(x)，w (x，t)表示坐標(biāo)x 的截面中性軸在時刻的t 橫向位移，則變截面梁的彎曲自由振動微分方程為

從式（1）、（2）可見，變截面梁的縱向自由振動位移只與A(x)有關(guān)，彎曲自由振動位移與A(x)和J(x)有關(guān)。因此，建立壓氣機靜子葉片有限元簡化模型要求簡化前后各截面面積A(x)和慣性矩J(x)不變。

基于上述原則，對葉片葉身實體模型進行幾何簡化。根據(jù)有限元網(wǎng)格劃分，葉片葉身截面采用長方形。簡化葉片模型時，需要確定的模型參數(shù)為E、ρ、c，以及長方形等效截面的截面積A′(x)、慣性矩J′(x)、長a(x)、寬b(x)。其中，已知簡化前、后模型的E、ρ、c 與簡化前模型相同；A′(x)、J′(x)、a(x)、b(x)需要通過式（3）～（6）聯(lián)立解出，通過軟件從3維模型直接提取

建立葉片3維幾何模型選取葉型截面1，運用CAD得出A(0)=158.00mm2，J(0)=524.26mm2。

代入式（3）~（6）為

解方程組可得

上述為葉型截面1等效長方形的尺寸。

運用3維軟件查看任意截面的參數(shù)，因此，葉身任意位置的葉型截面均可以等效。本文所取各截面均為葉身離散點所在的規(guī)定剖面，但該方法并不受此限制。經(jīng)過計算得到原葉型各截面的等效截面，從截面實現(xiàn)整個葉片葉身的等效簡化。

2 有限元建模分析

2.1 未簡化的復(fù)雜葉片模型

基于原葉片圖紙，將8個規(guī)定剖面上的離散點輸入UG3維幾何建模軟件，運用逆向點造型方法，沿葉高方向掃掠完成幾何建模。

建立的葉片幾何模型導(dǎo)入Hypermesh有限元前處理軟件進行網(wǎng)格劃分。由于模型1結(jié)構(gòu)復(fù)雜、形狀不規(guī)則，選取四面體進行網(wǎng)格劃分，為保證網(wǎng)格劃分的質(zhì)量和計算精度，對曲率較大的曲面進行網(wǎng)格細(xì)化。將劃分好單元的有限元模型導(dǎo)入Ansys軟件進行模型的固有特性計算。在有限元計算中，模型規(guī)模會對計算結(jié)果產(chǎn)生很大影響，為排除網(wǎng)格對結(jié)構(gòu)本身固有特性計算的影響，對模型進行了單元敏感性分析。固有頻率隨著單元數(shù)量的變化曲線如圖4所示。

從圖4中可見，在單元數(shù)大于105時，葉片前3階彎曲振動固有頻率趨于穩(wěn)定，表明該規(guī)模的網(wǎng)格能較準(zhǔn)確地反映該葉片結(jié)構(gòu)的固有特性。本文其他模型計算都經(jīng)過網(wǎng)格敏感性驗證。

圖4 固有頻率隨單元數(shù)變化趨勢

2.2 截面等效簡化模型

在x軸各截面位置上畫出計算得到的等效長方形，沿葉高方向掃掠生成變截面梁，截面連接線為多點擬合的曲線。分別選取8、6、4和2個截面建立等效簡化幾何模型，如圖5所示。相應(yīng)為模型2～5。簡化后的模型幾何形狀規(guī)整，在Hypermesh軟件中可用六面體進行單元劃分，有限元模型如圖6所示。

圖5 等效葉片幾何模型

圖6 有限元模型

3 模態(tài)計算結(jié)果與討論

本文分別選取前2、3階拉伸模態(tài)和彎曲模態(tài)的計算數(shù)據(jù)，對比簡化前后模型的模態(tài)振型與固有頻率，見表2。從表中可見，模型1（原模型）進氣邊厚度大于排氣邊的，彎曲小于排氣邊的。若沿x方向劃分成多個細(xì)長微元，各微元的彎曲形狀和方向都相同，可以準(zhǔn)確識別彎曲振型。簡化后模型的各階彎曲模態(tài)振型與模型1吻合較好；同時其縱向振動振型也對應(yīng)較好。

表2 葉片葉身模型模態(tài)計算結(jié)果

簡化后的模型總自由度數(shù)明顯減小。模型2～5的總自由度數(shù)分別從87987降至9072、8112、7056、3564，為模型1的10.30%、9.22%、8.02%和4.05%；在相同計算條件下CPU占用時間分別從12.1s縮短為2.0、1.8、1.7和1.5s。

模型2～4前3階彎曲振動固有頻率相對于模型1的最大誤差僅為3.1%；模型5的前3階彎曲固有頻率誤差分別2.35%、6.02%、7.66%。簡化后模型的前2階拉壓固有頻率相比原模型誤差均在3%以內(nèi)，計算精度滿足要求。

4 某型航空發(fā)動機壓氣機典型整流器算例

典型整流器的結(jié)構(gòu)為機匣+整流葉片+內(nèi)環(huán)（或帶封嚴(yán)裝置）。本文選取某型航空發(fā)動機某級整流器對截面等效建模簡化法的正確性進行驗證。該級整流器包含垂直于發(fā)動機中軸線的靜子機匣的1個截段、1圈靜子葉片和內(nèi)環(huán)。葉片以一定安裝角置于機匣，對結(jié)構(gòu)采用四面體單元劃分，為模型Ⅰ，如圖7（a）所示。

圖7 整流器有限元模型

保持模態(tài)分析參數(shù)、約束、機匣和內(nèi)環(huán)結(jié)構(gòu)不變，采用截面等效法建立靜子葉片的8、6、4、2截面等效簡化模型，分別為模型Ⅱ～Ⅴ簡化前、后的葉片相同的方式安裝至結(jié)構(gòu)，葉片8個截面的安裝角度均不同，但差別不大，選取其平均值作為簡化后葉片的安裝角。采用六面體單元劃分網(wǎng)格，模型Ⅱ如圖7（b）所示，模型III～Ⅴ的網(wǎng)格劃分與模型Ⅱ的類似。

選取前5階模態(tài)，對比簡化前、后模型的模態(tài)振型與固有頻率，見表3。

表3 整流器模型模態(tài)計算結(jié)果

（1）模型Ⅱ～Ⅴ的前5階模態(tài)振型特征與模型Ⅰ（未簡化整流器結(jié)構(gòu)）的相同、形狀相似，吻合良好。

（2）簡化后的模型規(guī)模（DOF）明顯減小。模型Ⅱ～Ⅴ的總自由度數(shù)分別從2464899降為62871、60723、57903和56829，下降為原模型的2.55%、2.46%、2.35%和2.31%；在相同計算條件下，CPU占用時間分別從530s縮至10.0、9.1、8.7和7.5s，計算時間分別為原模型的1.89%、1.72%、1.65%和1.42%。

（3）模型Ⅱ～Ⅴ的前5階固有頻率計算結(jié)果與原模型最大誤差分別為2.72%、4.23%、4.73%和7.32%。

5 結(jié)論

本文針對航空發(fā)動機壓氣機靜子葉片結(jié)構(gòu)復(fù)雜，整機有限元計算時模型規(guī)模過大、計算耗時過長甚至無法計算的問題，對壓氣機靜子葉片有限元建模簡化方法進行了研究。

（1）8、6、4截面等效簡化前、后，葉片模型的前2、3階拉伸、彎曲固有頻率相比，計算誤差均在3.1%以內(nèi)，模型總自由度數(shù)分別減至10.30%、9.22%和8.02%，計算時間縮至16.5%、14.9%和14.1%；2截面等效簡化葉片固有頻率誤差最大為7.66%，DOF、計算時間分別為原模型的4.05%、12.4%。

（2）以某型航空發(fā)動機某級帶內(nèi)環(huán)的整流為例，建立了8、6、4和2簡化模型，前5階模態(tài)振型與原模型吻合較好，固有頻率最大誤差分別為2.72%、4.23%、4.73%和7.32%；模型總自由度數(shù)分別減至原模型的2.55%、2.46%、2.35%和2.31%；在相同條件下，計算時間縮至1.89%、1.72%、1.65%和1.42%。

（3）仿真計算結(jié)果表明，截面等效葉片建模簡化方法不僅大大簡化了有限元模型規(guī)模，而且達到了一定的計算精度，具有一定的工程應(yīng)用價值。

[1]Sinou J J，Villa C，Thouverez F，et al.Experimental and numerical investigations of a flexible rotor on flexible bearing supports[J].International Journal of Rotating Machinery，2005（3）：179-189.

[2]Hanhart A L，Gobbert A M，Izu L T.A memory-efficient finite element method for systems of reaction diffusion equations with non-smooth forcing [J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2004，169（2）：431-458.

[3]Morre J J，Vannini G，Camatti M，et al.Rotor dynamic analysis of a large industrial turbo-compressor including finite element substructure modeling[J].Journal of Engineering for Gas Turbines and Power，2010，132（8）：1-9.

[4]Hong J，Chen M，Liu S G.Application of whole engine finite element models in aeroengine rotor dynamic simulation analysis[C]//Proceedings of ASME Turbo Expo 2007.Power for Land，Sea and Air，Montreal：ASME，2007:771-778.

[5]Sch?nrock A，Dascotte E，Dufour K H.Validation of an aeroengine carcass finite element model by means of computational model updating based on static stiffness testing[C]//2nd MSC Aerospace Conference，Long Beach:CA,1999：1-8.

[6]王海濤.某型航空發(fā)動機整機振動特性分析[D].南京：南京航空航天大學(xué)，2010.WANG Haitao.Research on whole body vibration of aeroengine[D].Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2010.(in Chinese)

[7]洪杰，郝勇，張博，等.葉片丟失激勵下整機力學(xué)行為及其動力特性[J].航空發(fā)動機，2014，40（2）：19-23.HONG Jie，HAO Yong，ZHANG Bo，et al.Mechanical behaviors and dynamic characteristics of turbofan engine due to fan blade off[J].Aeroengine，2014，40（2）：19-23.(in Chinese)

[8]趙文濤，陳果，李瓊，等.航空發(fā)動機機匣支承動剛度有限元計算及驗證[J].航空計算技術(shù)，2011（5）：34-38，41.ZHAO Wentao，CHEN Guo，LI Qiong，et al.Finite element modeling and experiment verification of dynamic stiffness of casing bearing in aircraft engine[J].Aeronautical Computing Technique，2011，41（5）：34-38，41.(in Chinese)

[9]王相平，徐鶴山.有限元計算中的葉片邊界條件的選取[J].航空發(fā)動機，1998（4）：43-46，57.WANG Xiangping，XU Heshan.Finite element method of blade boundary conditions[J].Aeroengine，1998，9（4）：43-46，57.(in Chinese)

[10]白中祥，吳偉亮，劉閎釗.支承系統(tǒng)的剛度對轉(zhuǎn)子動力特性的影響[J].機械設(shè)計與研究，2012，28（4）：19-21，25.BAI Zhongxiang，WU Weiliang，LIU Hongzhao.The effect of the stiffness of a rotor’s supporting system on its dynamic characteristics[J].Machine Design and Research，2012，28（4）：19-21，25.(in Chinese)

[11]高金海，洪杰.航空發(fā)動機整機動力特性建模技術(shù)研究[J].戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈技術(shù)，2006（3）：29-35.GAO Jinhai，HONG Jie.Study of modeling technique for dynamic characteristics of engine casing[J].Tactical Missile Technology，2006（3）：29-35.(in Chinese)

[12]張力，洪杰，馬艷紅.航空發(fā)動機轉(zhuǎn)子系統(tǒng)建模方法和振動特性分析[J].北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2013（2）：148-153，163.ZHANG Li，HONG Jie，MA Yanhong.Modeling method and vibration characteristics of aero-engine rotor system [J].Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics，2013（2）：148-153，163.(in Chinese)

[13]邵帥，周柏卓，王相平.失諧葉盤結(jié)構(gòu)振動模態(tài)局部化研究[J].航空發(fā)動機，2014，40（3）：56-59.SHAO Shuai，ZHOU Baizhuo，WANG Xiangping.Investigation of vibration mode localization of mistuned bladed-disk assemblies[J].Aeroengine，2014，40（3）：56-59.(in Chinese)

[14]馬輝，能海強，宋溶澤，等.基于變厚度殼單元的旋轉(zhuǎn)葉片固有特性分析[J].航空發(fā)動機，2013，39（5）：26-30.MA Hui，NAI Haiqiang，SONG Rongze，et al.Natural characteristic analysis of rotating blade based on variable thickness shell element[J].Aeroengine，2013，39（5）：26-30.(in Chinese)

[15]漆文凱，王向輝.基于轉(zhuǎn)靜子耦合的組合壓氣機動力特性分析[J].航空發(fā)動機，2014，40（4）：46-50.QI Wenkai，WANG Xianghui.Analysis on dynamic characteristics of combined compressor based on coupling of rotor and stator[J].Aeroengine，2014，40（4）：46-50.(in Chinese)