LQR控制的柔性機械臂快速定位方法研究

王清清，方傳智，李夢

（安徽工程大學(xué)機電學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

LQR控制的柔性機械臂快速定位方法研究

王清清，方傳智，李夢

（安徽工程大學(xué)機電學(xué)院，安徽蕪湖 241000）

為了快速實現(xiàn)柔性機械臂的精確定位，減小機械臂移動過程中的抖動，本文利用Lagrange方法建立了柔性機械臂的動力學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上利用線性二次最優(yōu)控制LQR（Linear Quadratic Regulator）方法設(shè)計了機械臂快速定位控制器.在LabVIEW虛擬儀器軟件中進行了仿真實驗驗證，結(jié)果表明：利用LQR方法控制的機械臂系統(tǒng)響應(yīng)更快，能更快地到達目標(biāo)位置，速度提高約2.8倍，大幅減小了達到穩(wěn)態(tài)的時間，同時削弱了運動過程中產(chǎn)生的抖動，機械臂的整體性能得到提高.

柔性機械臂；精確定位；LQR控制器；系統(tǒng)響應(yīng)

隨著現(xiàn)代工業(yè)化生產(chǎn)率大幅提升，多是通過現(xiàn)代自動化的生產(chǎn)線所得，而未來的機械人的發(fā)展一定是高速、精密、大承載和輕量化等方向.在特殊行業(yè)以及特殊環(huán)境中的特種微型機器人，在結(jié)構(gòu)的設(shè)計過程中，也需要考慮的重要因素是構(gòu)件的柔性變形以及影響其運動性能和動力性能等.在研究柔性機器人的研究中有三類[1]，包括針對連桿柔性、關(guān)節(jié)柔性和綜合考慮兩者，研究前兩者的較多，綜合連桿柔性和關(guān)節(jié)柔性因素的文獻較少，具有一定的發(fā)展前途.

目前，大多數(shù)的機器人開始向柔性方向發(fā)展，由于機器人的傳動機構(gòu)也是多采用諧波減速器等，所以機器臂在工作的過程中就會產(chǎn)生抖動的現(xiàn)象，這也是本文研究的一個重點問題.

大多研究機器人的國內(nèi)外的專家學(xué)者，都是將關(guān)節(jié)為常值剛度條件進行展開，來研究柔性關(guān)節(jié)的機器人建模與控制問題[2].機器人的剛度增強的原因[3]有很多種，例如減速器內(nèi)部的齒輪在工作期間的離心力、慣性和最為關(guān)鍵的，一對齒輪在嚙合時，嚙合點隨著齒輪的轉(zhuǎn)動會發(fā)生實時的變化[4]，形成嚙合線，在這些原因中，都會使機器人在運動過程中，關(guān)節(jié)的剛度成動態(tài)的表現(xiàn).關(guān)節(jié)動態(tài)剛度是通過機構(gòu)系統(tǒng)的振動環(huán)境進行判斷預(yù)測，而預(yù)測環(huán)境包括對已知系統(tǒng)和響應(yīng)過程，求解激勵[5].朱長春等在振動環(huán)境試驗響應(yīng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測方法[6]中提到預(yù)測、響應(yīng)結(jié)構(gòu)抖動環(huán)境可以將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)運用其中.雷曉燕等在高架軌道誘發(fā)環(huán)境振動預(yù)測與評價研究中對高架軌道結(jié)構(gòu)的環(huán)境運用有限元瞬態(tài)分析方法針對抖動進行預(yù)測與分析.鄧長華等在管道聯(lián)接件參數(shù)識別的行波法[7]中，識別管道結(jié)構(gòu)聯(lián)接件處物理參數(shù)運用行波理論的方法，上述文獻都是對對結(jié)構(gòu)的振動分析，通過已知系統(tǒng)和響應(yīng)過程，求解激勵.莊未等在運動狀態(tài)下柔性關(guān)節(jié)機器入振動環(huán)境預(yù)測[8]中的結(jié)論是判斷預(yù)測關(guān)節(jié)動態(tài)剛度和阻尼是機構(gòu)系統(tǒng)激勵的基礎(chǔ)，針對機械臂系統(tǒng)的3自由度[9]，提出相結(jié)合行波理論與關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)變換矩陣，預(yù)測下機器人的柔性關(guān)節(jié)在運動狀態(tài)中的振動情況以及實驗分析，建立機器人機構(gòu)系統(tǒng)的波動方程.

柔性機械臂作為柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)分析與控制理論研究的重要對象，是新型機器人的重要組成成分，在現(xiàn)代工業(yè)和國防領(lǐng)域中占有十分重要的地位.相對于傳統(tǒng)的剛性機械臂，柔性機械臂具有更好的高速操作性，更低的能耗，所以擁有更大的工作空間.由于柔性機械臂在動作時會產(chǎn)生彈性變形，從而帶來機械臂動力學(xué)系統(tǒng)方程的非線性、強耦合等問題，這給柔性機械臂的分析和控制帶來了困難.近年來，國內(nèi)外學(xué)者致力于柔性機械臂的控制分析問題，提出了多種控制方案.非線性反饋控制通過求解逆動力學(xué)方程[10]計算控制力矩以實現(xiàn)近似解耦和線性控制，該方法以機械臂動力學(xué)模型精確已知為前提，對于具有未知負(fù)載、存在外界擾動的機械臂難以保證控制性能；自適應(yīng)控制方法能夠通過自適應(yīng)方法[11～12]辨識機械臂參數(shù)，不需要預(yù)先已知，但是對于高速運行的柔性機械臂控制需要在線計算大量位置、速度等非線性函數(shù)，計算量大且控制器實現(xiàn)困難；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[13～14]通過學(xué)習(xí)模型中的未知信息來逼近機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型以實現(xiàn)控制，但是該方法學(xué)習(xí)速度較慢，計算量過大，難以滿足實時性要求.

柔性機械臂控制系統(tǒng)的最優(yōu)控制要兼顧系統(tǒng)響應(yīng)和系統(tǒng)控制兩方面，綜合考慮使性能達到最優(yōu).本文在分析現(xiàn)有機械臂控制方法的優(yōu)缺點后，選取線性二次最優(yōu)控制方法（LQR）作為機械臂動力學(xué)系統(tǒng)的控制器.使用LQR方法[15～16]的優(yōu)點是不必根據(jù)要求的性能確定閉環(huán)極點的位置，只需要根據(jù)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線尋找出合適的狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)矩陣即可，因為求得的控制器是誤差指標(biāo)J最優(yōu)意義下的控制器，所以系統(tǒng)的性能也是誤差指標(biāo)意義下最優(yōu)的.

1 柔性機械臂的動力學(xué)模型

本文以電機和齒輪減速箱驅(qū)動的單連桿柔性機械臂作為研究對象，模型建立過程如下：

系統(tǒng)的彈性勢能：

式中k為彈性系數(shù)，α為擺動角.

系統(tǒng)動能：

式中J1為載荷帶來的等效轉(zhuǎn)動慣量，J2為機械臂轉(zhuǎn)動慣量，θ為機械臂的定位角度.

利用Lagrange方法：

應(yīng)用Lagrange方程：

式中T0為系統(tǒng)輸出動能，Be為等效阻尼，T0表達式如下：

T0表達式中各參數(shù)定義：kt為電機轉(zhuǎn)矩常量，km為電機反電動勢，kg為齒輪箱總傳動系數(shù)，Rm為電機線圈電阻值，Vm為外加電壓，ηm為電動機效率，ηg為齒輪箱效率.

將公式（5）分別代入公式（6）、（7）并求解得到以下結(jié)果：

以上就是柔性機械臂系統(tǒng)的動力學(xué)模型.

系統(tǒng)控制的關(guān)鍵在于如何使u=[k1k2k3k4][θ α θ'α']T最優(yōu)，其中k1～k4為待定系數(shù).

將式（9）、（10）的模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)方程，便于構(gòu)建控制器對模型進行最優(yōu)控制，轉(zhuǎn)換后的方程如下：

2 建立LQR控制器

LQR控制器的設(shè)計原理是線性二次最優(yōu)控制思路，在系統(tǒng)由于本身因素或者外界干擾影響而失去平衡狀態(tài)時，該控制器能在較低能耗下控制系統(tǒng)各分量回歸接近于平衡狀態(tài)[17].經(jīng)過控制的系統(tǒng)實現(xiàn)可線性化，所以解答簡單，適用于對柔性機械臂系統(tǒng)的控制.

對線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程描述一般如下：

其中A,B,C分別為時間的矩陣函數(shù)，最優(yōu)控制的目的是將系統(tǒng)由非平衡狀態(tài)控制返回接近至平衡狀態(tài).

LQR方法給定了決定性能的目標(biāo)函數(shù)：

其中u不受限制，Q為半正定矩陣，是對狀態(tài)變量的加權(quán)矩陣，R為正定矩陣，是對輸入量的加權(quán)矩陣.

對于本文建立的柔性機械臂動力學(xué)模型，相應(yīng)的LQR控制器指標(biāo)函數(shù)可以表達為：

只要上式的J達到最小，就實現(xiàn)了LQR控制器對柔性機械臂的最優(yōu)控制.

3 仿真實驗及結(jié)果分析

對式（11）模型中的各參數(shù)計算賦值：Rm=2.6Ω，k=0.8，kt=0.00767N·m/A，km=0.00767V/(rad/s)，kg= 70，J1=2.6×10-3kg·m2，J2=3.5×10-3kg·m2，Be=4×10-3Nm·s/rad，ηg=0.9，ηm=0.69.將以上參數(shù)代入式（11）計算，結(jié)果轉(zhuǎn)化為式（12）、（13）的模式如下：

在LabVIEW軟件中搭建了LQR模型，模型的參數(shù)經(jīng)過試驗比較選擇如下：

本文研究的柔性機械臂性能評定指標(biāo)是定位角θ和機械臂移動過程中的擺角α，要求θ在響應(yīng)過程中能迅速達到目標(biāo)定位值，要求α能迅速達到期望值0，并且在響應(yīng)過程中出現(xiàn)盡量少的抖動.

將上述機械臂動力學(xué)模型參數(shù)和LQR控制器模型參數(shù)加載到控制程序中，在系統(tǒng)的階躍響應(yīng)情況下比較加入控制器和未加控制器的響應(yīng)結(jié)果，結(jié)果如下圖1所示.

圖1 LQR控制前后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)圖

將圖1中表示θ和α的階躍響應(yīng)參數(shù)提取列表如下.

表1 LQR控制前后的角度響應(yīng)參數(shù)對比

得到反饋的LQR控制器最優(yōu)參數(shù)為：K=[1.15 -2.510.22-0.04].分析圖1中兩組階躍響應(yīng)圖：圖（a）中定位角θ的響應(yīng)曲線經(jīng)過LQR控制前后有明顯區(qū)別，在設(shè)定一個共同的期望定位角后，LQR控制的系統(tǒng)相對無控制的系統(tǒng)響應(yīng)時間較快，從表1可知無控制的θ角達到期望值的時間為7.7s，而LQR控制的θ角達到期望值的時間僅為2.75s，效率提高近2.8倍，柔性機械臂的定位速度得到大幅提高.

擺動角α表示機械臂移動過程中的抖動強弱，是機械臂穩(wěn)定性評估的重要參數(shù).從圖（b）結(jié)合表1可知，施加LQR控制前后，α到達期望值0的時間接近，分別為控制前的2.2s和控制后2.1s.但是未加LQR控制的α響應(yīng)曲線在達到期望過程中存在較多峰值，抖動效果太強，在工作過程中會對作用對象造成破壞，長時間抖動也會影響機械臂本身壽命和精度.而經(jīng)過LQR控制的α角在響應(yīng)過程中只存在一個較高峰值，隨后迅速削弱向期望值0逼近并保持，說明經(jīng)過LQR方法控制的系統(tǒng)自動調(diào)節(jié)平衡能力遠強于未加LQR控制的系統(tǒng)，同時大幅度削弱了抖動，對作用對象和柔性機械臂都有較好的保護.

分析了LQR控制系統(tǒng)響應(yīng)的優(yōu)越性后，作出LQR控制的柔性機械臂系統(tǒng)的輸出效果曲線，如圖2所示.

圖2 LQR控制的系統(tǒng)輸出

圖2中定位角θ穩(wěn)定上升到目標(biāo)位置，控制效果偏差從初始位置迅速降低到0，由于LQR系統(tǒng)很好的消除了機械臂動作過程中的抖動，擺動角α輸出曲線基本保持在0位置，圖1、圖2的分析結(jié)果表明經(jīng)過LQR控制的柔性機械臂系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)快速精確定位，并且能有效削弱定位過程中機械臂的抖動.

4 總結(jié)

目前，機器人的方向開始往柔性方向發(fā)展，而機器人的傳動機構(gòu)多采用諧波減速器等，所以機器臂在工作的過程中就會產(chǎn)生抖動的現(xiàn)象，這也是本文研究的一個重點問題.

柔性機械臂的快速定位和抖動消除是一個復(fù)雜的問題，建立柔性機械臂系統(tǒng)控制器模型不僅要考慮定位的快速準(zhǔn)確，更要保證模型能夠削弱機械臂動作過程中的抖動.本文提出利用LQR方法建立柔性機械臂的控制模型，在LabVIEW軟件中進行了仿真實驗.實驗結(jié)果表明，LQR方法控制后的柔性機械臂可以快速精確地到達目標(biāo)位置，并且可以大幅削弱定位過程中機械臂的抖動，該方法效果穩(wěn)定快速，能夠用于控制柔性機械臂的快速定位.

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