可交換投影矩陣的刻畫

周家華， 張雯婷，2， 徐小明

（1.上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院，上海 201418；2.中國石油長慶油田第一采油廠，延安 716009）

可交換投影矩陣的刻畫

周家華1， 張雯婷1，2， 徐小明1

（1.上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院理學(xué)院，上海 201418；2.中國石油長慶油田第一采油廠，延安 716009）

設(shè)U和V是有限維Hilbert空間X的2個子空間，PU和PV分別表示從X到U和V上的正交投影矩陣.在一定的條件下，給出了PU和PV在空間分解X=U⊕U⊥下的分塊矩陣表示.利用此結(jié)果和矩陣分塊的技巧，研究了2個正交投影矩陣可以交換的充要條件.

正交投影矩陣；分塊矩陣；交換矩陣

設(shè)U和V是有限維Hilbert空間X的2個子空間，B（U，V）表示從U到V的全體線性變換構(gòu)成的集合，將B（U，U）簡記為B（U）.眾所周知，如果dim（U）=m且dim（V）=n，則B（U，V）在同構(gòu)意義下可理解為全體n×m階矩陣構(gòu)成的集合.任給T∈B（U，V），分別記T*，λ（T），N（T）和R（T）為矩陣T的共軛轉(zhuǎn)置、特征值、零空間和值域.若T是U上的一個半正定矩陣，用表示T的平方根.

定義1 設(shè)U和V是有限維Hilbert空間X的 2個子空間.如果則稱U和V是互不相容的2個子空間.

定義2［1］設(shè)A是一個n×n階的矩陣.若A2= A，則稱A是一個冪等矩陣；若A2=A且A*=A，則稱A是一個正交投影矩陣.

設(shè)PU和PV分別表示從X到U和V上的正交投影矩陣.如果PUPV=PVPU，則稱PU和PV可以交換.一般情況下，PU和PV不可以交換.

例1 設(shè)X=C2.令則易驗證PU和PV是X上的2個正交投影矩陣，且PUPV≠PVPU.

許多學(xué)者已對矩陣的可交換性進行了深入研究［2-9］.本文在空間分解X=U⊕U⊥下，給出了PU和PV的分塊矩陣表示.利用此結(jié)果和矩陣分塊的技巧，研究了正交投影矩陣可以交換的充要條件.

1 主要結(jié)果和證明

引理1［10］設(shè)U和V是有限維Hilbert空間X的2個子空間，且X=U⊕V.設(shè)A11∈B（U），A12∈B（V，U），A21∈B（U，V），A22∈B（V），則矩陣

是X上的半正定矩陣當(dāng)且僅當(dāng)下列命題同時成立：

（1）A11和A22分別是U和V上的半正定矩陣；

定理1 設(shè)U和V是有限維Hilbert空間X的2個互不相容子空間.則在空間分解X=U⊕U⊥下，PU和PV分別具有如下的分塊矩陣形式：

式中，IU表示子空間U上的恒等矩陣；x為U上的壓縮半正定矩陣且0，1ελ（x）；D是從U⊥到U的酉矩陣.

證明 根據(jù)引理1，PU和PV在空間分解X= U⊕U⊥上分別具有的分塊矩陣形式為

其中，x和z分別是U和U⊥上的半正定壓縮矩陣；D是從U⊥到U上的壓縮矩陣.

比較式（3）等號兩邊，有

即

因為U和V是互不相容的子空間，所以易驗證0，1ελ（x），即x和IU-x都是可逆矩陣.進而根據(jù)式（4），有

因此，在空間分解X=U⊕U⊥上，正交投影矩陣PV具有分塊矩陣形式：

證畢.

推論1 設(shè)X是一個有限維非零Hilbert空間，U和V是X的2個互不相容子空間，則PUPV≠PVPU.

證明 因U和V是互不相容的子空間，故根據(jù)定理1，PU和PV在空間分解X=U⊕U⊥下分別具有如下分塊矩陣形式：

其中，x為U上的壓縮半正定矩陣且0，1ελ（x），D是從U⊥到U的酉矩陣.注意到X≠｛0｝，故x≠0.直接計算可得

假設(shè)PUPV=PVPU，則

比較式（5）等號兩邊，有

因D是從U⊥到U的酉矩陣，故矛盾.故假設(shè)不真，即PVPU.證畢.

根據(jù)推論1，如果U和V是互不相容的非零子空間，則PU和PV一定不可交換.2個正交投影矩陣的可交換性將在更加一般的情況下討論.

設(shè)U和V是有限維Hilbert空間X的2個子空間，分別記根據(jù)定理1， PU和PV在空間分解下分別具有分塊矩陣形式：

式中，I表示相應(yīng)子空間上的恒等矩陣.

定理2 設(shè)PU和PV分別具有式（6）、（7）分塊矩陣形式，則PUPV=PVPU當(dāng)且僅當(dāng)H5=H6=｛0｝.

證明 充分性. 假設(shè)H5=H6=｛0｝，則在空間分解X=⊕4i=1Hi下，PU和PV分別具有分塊矩陣形式：

易驗證PUPV=PVPU.

必要性. 根據(jù)式（6）、（7）中PU和PV的分塊矩陣形，有：

假設(shè)PUPV=PVPU，則

比較式（8）等號兩邊，可得

根據(jù)推論1及其證明，H5=H6=｛0｝.證畢.

推論2［2］設(shè)PU和PV是有限維Hilbert空間X的2個正交投影矩陣，則下列命題等價：

（1）PUPV=PVPU；

（2）λ（PUPV）｛0，1｝；

（3）R（PUPV）=R（PVPU）.

證明 （1）→（3）顯然成立.假設(shè)PU和PV分別具有分塊矩陣形式（6）和（7），下面分別證明（1）→（2），（2）→（1）和（3）→（1）.

（1）→（2） 令PUPV=PVPU.根據(jù)定理2，H5= H6=｛0｝.此時

故λ（PUPV）=λ（PVPU）｛0，1｝.

（2）→（1） 令λ（PUPV）｛0，1｝.假設(shè)H5≠｛0｝且H6≠｛0｝，則

（3）→（1） 令R（PUPV）=R（PVPU）.因

注意到，0，1ελ（x）且D是從H6到H5上的酉矩陣，蘊含x=0，即H5=H6=｛0｝.根據(jù)定理2，PUPV=PVPU.證畢.

2 結(jié) 語

本文首先考慮了有限維Hilbert空間X到2個子空間U和V上的正交投影矩陣PU和PV的分塊矩陣形式，給出了PU和PV在空間分解X=U⊕U⊥下的分塊矩陣表示.進而研究了2個正交投影矩陣可交換的充要條件，證明了PU和PV可交換當(dāng)且僅當(dāng)都為零空間.利用此結(jié)果，本文還給出了PU和PV可交換的等價性質(zhì)，即，或R

［1］ 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等代數(shù)［M］.北京：高等教育出版社，1988.

［2］ 陳東君，張云.關(guān)于正交投影矩陣可交換性的相關(guān)研究［J］.淮北煤炭師范學(xué)院學(xué)報，2008，29（1）：31-33.

［3］ 金輝.矩陣可交換的充要條件［J］.沈陽師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2005，23（1）：24-26.

［4］ 林建富，杜翠真.矩陣可交換的充要條件［J］.吉林師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2012（4）：62-64.

［5］ 劉美喜，劉軍.可交換矩陣的一些性質(zhì)［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2009，28（3）：52-54.

［6］ 錢微微，蔡耀志.論矩陣可交換的充要條件［J］.大學(xué)數(shù)學(xué)，2007，23（5）：143-146.［7］ Guo S L，Irene M，Han L N，et al.Commuting matrices，equilibrium points for control systems with single saturated input［J］.Applied Mathematics and Computation，2015，259：987-1002.

［8］ K?sal H H，Tosun M.Commutative quaternion matrices［J］.Advances in Applied Clifford Algebras，2014，24（3）：769-779.

［9］ Trench W F.Characterization and properties of（R，Sσ）-commutative matrices［J］.Linear Algebra and Its Applications，2012，436（11）：4261-4278.

［10］ Du H K.Operator matrix forms of positive operator matrices［J］.Chinese Quart J Math，1992，7：9-11.

（編輯 呂丹）

Characterization of Commutative Projection Matrices

ZHOU Jiahua1， ZHANG Wenting1，2， XU Xiaoming1
（1.School of Sciences，Shanghai Institute of Technology，Shanghai 201418，China；2.No.1 Production Factory of Petrochina Changqing Oilfield Company，Yan’an 716009，Shanxi，China）

Let U and V be subspaces of a finite dimensional Hilbert space X，PUand PVbe orthogonal projection matrices of X onto U and V，respectively.Under certain condition，the blocked matrices of PUand PVon the space decompositionwere presented respectively.Using this and the technique of matrix block，the necessary and sufficient conditions under which PUand PVare commutative were studied.

orthogonal projection matrix；blocked matrix；commutative matrices

O 177.1

A

1671-7333（2015）04-0393-04

10.3969／j.issn.1671-7333.2015.04.017

2015-01-13

上海市高校青年教師培養(yǎng)基金資助項目（ZZyyy12021）；上海應(yīng)用技術(shù)學(xué)院引進人才基金資助項目（YJ2012-21）

周家華（1964-），男，講師，主要研究方向為矩陣理論.E-mail：86006582＠qq.com

徐小明（1983-），男，講師，博士，主要研究方向為泛函分析與算子代數(shù).E-mail：xuxiaoming2620＠aliyun.com