基于解析法的HSK主軸-刀柄結(jié)合部參數(shù)辨識(shí)

陳建，田良，商宏謨，鄭登升，王貴成，3

（1.江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013；2.成都工具研究所有限公司，四川成都610051；3.南通理工學(xué)院，江蘇南通226002）

基于解析法的HSK主軸-刀柄結(jié)合部參數(shù)辨識(shí)

陳建1，田良2，商宏謨2，鄭登升1，王貴成1，3

（1.江蘇大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013；2.成都工具研究所有限公司，四川成都610051；3.南通理工學(xué)院，江蘇南通226002）

辨識(shí)HSK主軸-刀柄結(jié)合部參數(shù)，是準(zhǔn)確預(yù)測(cè)主軸系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性及保證切削穩(wěn)定性的基礎(chǔ)條件。將HSK主軸-刀柄結(jié)合部簡(jiǎn)化為彈簧-阻尼模型。再根據(jù)HSK主軸-熱裝刀柄系統(tǒng)的頻率響應(yīng)矩陣，推導(dǎo)出HSK主軸-刀柄結(jié)合部的剛度矩陣。并基于耦合響應(yīng)法計(jì)算熱裝刀柄兩端的頻響矩陣，利用有限差分法與實(shí)驗(yàn)測(cè)量相結(jié)合的方式，分別獲得HSK主軸端點(diǎn)和HSK主軸-熱裝刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)的頻響矩陣?；谕茖?dǎo)出的結(jié)合部剛度矩陣，分別辨識(shí)出HSK主軸-刀柄結(jié)合部的4個(gè)剛度參數(shù)kyf、kθf(wàn)、kym和kθm，以及4個(gè)阻尼參數(shù)cyf、cθf(wàn)、cym和cθm.使用耦合響應(yīng)法計(jì)算出HSK主軸-熱裝刀柄端點(diǎn)的頻響函數(shù)，并與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的各階頻率相比較，理論頻率與實(shí)驗(yàn)結(jié)果最大差值為7.9%，進(jìn)而驗(yàn)證辨識(shí)參數(shù)的準(zhǔn)確性和辨識(shí)方法的合理性。

機(jī)械制造工藝與設(shè)備；HSK主軸-刀柄結(jié)合部；頻響矩陣；參數(shù)辨識(shí)

0 引言

HSK主軸-刀柄-刀具系統(tǒng)被廣泛應(yīng)用于高速和高精密加工，系統(tǒng)顫振嚴(yán)重影響加工質(zhì)量和加工效率。準(zhǔn)確的穩(wěn)定性葉瓣圖（切削速度-切削厚度關(guān)系圖）是避免顫振和保證切削穩(wěn)定性的必要條件。但無(wú)論采用何種方法獲得葉瓣圖，都需要先得到機(jī)床主軸系統(tǒng)刀尖點(diǎn)的頻率響應(yīng)函數(shù)［1］。其中，準(zhǔn)確的結(jié)合部參數(shù)又是精確預(yù)測(cè)主軸系統(tǒng)刀尖頻率響應(yīng)函數(shù)的前提和保證。本文以HSK主軸-刀柄系統(tǒng)為研究對(duì)象，并采用解析法對(duì)HSK主軸-刀柄結(jié)合部進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)。

結(jié)合部一般都簡(jiǎn)化為彈簧-阻尼模型。Schmitz等［2］使用有限元法對(duì)熱裝刀柄-刀具結(jié)合部進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)，并獲得了結(jié)合部?jī)?nèi)各位置的剛度和阻尼參數(shù)，但只獲得兩個(gè)阻尼參數(shù)，而且為阻尼與頻率的乘積cω.Namazi等［3］采用有限元與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法來(lái)辨識(shí)結(jié)合部參數(shù)，此方法只獲得了結(jié)合部?jī)?nèi)各位置的平動(dòng)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度，但其計(jì)算量很大，也沒(méi)有考慮結(jié)合部的阻尼參數(shù)。程強(qiáng)等［4］基于子結(jié)構(gòu)耦合法和最小二乘法對(duì)BT40主軸-刀柄結(jié)合部進(jìn)行了參數(shù)辨識(shí)，此方法只獲得了結(jié)合部?jī)?nèi)部各個(gè)位置的平動(dòng)剛度，沒(méi)有辨識(shí)結(jié)合部的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度和阻尼參數(shù)?；谝陨戏椒ǖ膬?yōu)缺點(diǎn)，提出采用有限差分法與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方式來(lái)辨識(shí)HSK主軸-刀柄錐面結(jié)合部的剛度和阻尼參數(shù)。

1 HSK主軸-刀柄結(jié)合部的研究思路及理論基礎(chǔ)

1.1 HSK主軸-刀柄結(jié)合部的研究思路

HSK主軸-刀柄系統(tǒng)可簡(jiǎn)化為主軸和刀柄通過(guò)彈性耦合而成的系統(tǒng)，如圖1所示。HSK主軸和刀柄都簡(jiǎn)化為多段Timoshenko梁，并通過(guò)剛度矩陣KSH將二者進(jìn)行彈性耦合，可得HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)的頻響函數(shù)矩陣［5-6］:

式中:下標(biāo)1為單段熱裝刀柄的右端點(diǎn)，2為單段熱裝刀柄的左端點(diǎn)，如圖1所示。對(duì)（1）式進(jìn)行變化，由此可得到HSK主軸-刀柄結(jié)合部剛度矩陣為

式中:kyf和kθf(wàn)分別為受力載荷下的平動(dòng)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度；kym和kθm分別為受力矩載荷作用下的平動(dòng)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)剛度；cyf和cθf(wàn)分別為受力矩載荷下的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼；cym和cθm分別為受力矩載荷下的平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)阻尼。

圖1 HSK主軸-刀柄彈性耦合Fig.1 Flexible coupling of HSK spindle-toolholder

為獲得HSK主軸-刀柄結(jié)合部參數(shù)，需要獲得刀柄兩端的響應(yīng)矩陣H11、H12、H21和H22，以及HSK主軸端點(diǎn)的響應(yīng)矩陣S11和HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)的SH11.由于HSK主軸-刀柄結(jié)合部剛度和阻尼滿足Betti-Maxwell的彈性互易定理［7］，因而可假定kym=kθf(wàn)和cym=cθf(wàn)，故HSK主軸-刀柄結(jié)合部的剛度矩陣KSH為對(duì)稱矩陣。

1.2 基于耦合響應(yīng)法的頻響矩陣

刀柄的響應(yīng)矩陣可采用耦合響應(yīng)法來(lái)計(jì)算，并將刀柄簡(jiǎn)化為多段的Timoshenko梁，刀柄兩端的頻響矩陣為

以上各個(gè)元素可以表示為

式中:y為平動(dòng)位移；θ為轉(zhuǎn)角；f為作用力；M為力矩；下標(biāo)為刀具的作用點(diǎn)。矩陣Hjk各元素［8］為

計(jì)算頻響函數(shù)時(shí)，將HSK主軸和熱裝刀柄都簡(jiǎn)化為多段Timoshenko梁。j為單段熱裝刀柄或HSK主軸的端點(diǎn)編號(hào)，k為力或力矩作用在單段熱裝刀柄或HSK主軸的端點(diǎn)編號(hào)，其中:j=1，2；k=1，2. 1為單段梁的右端點(diǎn)，2為單段梁的左端點(diǎn)，如圖1所示。

1.3 基于有限差分法的測(cè)量頻響矩陣

HSK主軸端點(diǎn)頻響矩陣S11和HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)的頻響矩陣SH11為

響應(yīng)矩陣不僅包括受力作用下的位移和轉(zhuǎn)角頻響函數(shù)，還包括受力矩作用下的位移和轉(zhuǎn)角頻響函數(shù)。如果只采用實(shí)驗(yàn)方法獲得相應(yīng)的頻響函數(shù)，需先在HSK主軸和HSK主軸-熱裝刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)處分別安裝位移傳感器和角度傳感器，并在對(duì)應(yīng)位置上加載力和力矩，便可直接測(cè)量獲得受力和力矩作用下的位移頻響函數(shù)和轉(zhuǎn)角頻響函數(shù)。但實(shí)驗(yàn)測(cè)量所需傳感器多，增加了實(shí)驗(yàn)成本；而且，實(shí)驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)多，測(cè)量效率低。為簡(jiǎn)化實(shí)驗(yàn)步驟和減少測(cè)量?jī)x器，提出采用有限差分法與實(shí)驗(yàn)測(cè)量相結(jié)合的方式來(lái)獲得測(cè)量響應(yīng)矩陣，只需位移傳感器，并按照有限差分原理將傳感器直線布置在被測(cè)件上，如圖2所示。測(cè)量響應(yīng)矩陣可通過(guò)1階有限差分或2階有限差分獲得。1階有限差分所需測(cè)量值最少，只需測(cè)量圖2中的兩個(gè)點(diǎn)B和C，2階有限差分需要測(cè)量3個(gè)點(diǎn)A、B和C.Duarate等［9］指出使用有限差分法獲得的測(cè)量響應(yīng)矩陣精度，嚴(yán)重依賴于測(cè)量點(diǎn)的階數(shù)和間隔距離。圖2傳感器的位置為并聯(lián)諧振，頻率隨著間隔距離的增加或者減少都會(huì)發(fā)生偏移。綜合考慮，本文選用2階有限差分法來(lái)測(cè)量HSK主軸和HSK主軸-刀柄系統(tǒng)的響應(yīng)矩陣。

圖2 有限差分法示意圖Fig.2 Finite difference method

使用2階有限差分法獲得的測(cè)量頻響矩陣為

式中:HAA、HAB等為各個(gè)點(diǎn)受力作用下的位移頻響函數(shù)，都是通過(guò)上述實(shí)驗(yàn)方法測(cè)量得到；T2i為2階差分轉(zhuǎn)化矩陣。當(dāng)力錘作用點(diǎn)P=A或者P=C時(shí)，2階差分的前插、中插和后插轉(zhuǎn)化矩陣為

式中:s為傳感器間隔距離。前插和后插轉(zhuǎn)化矩陣只是最后一排符號(hào)不一致，這些矩陣具有相同的精度。將（8）式代入到（7）式中，由此可得測(cè)量頻響矩陣為

本文以后插轉(zhuǎn)化矩陣計(jì)算得到的測(cè)量頻響矩陣作為HSK主軸端點(diǎn)和HSK主軸-熱裝刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)的頻響矩陣，只需將測(cè)量的受力作用下的位移頻響函數(shù)代入到（9）式中，便可獲得HSK主軸端點(diǎn)和HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)的頻響函數(shù)。

2 HSK主軸-刀柄結(jié)合部參數(shù)辨識(shí)

2.1 基于耦合響應(yīng)法計(jì)算刀柄頻響矩陣

本文選擇的主軸類型為HSKA63，刀柄為熱裝刀柄［10］，彈性模量E=500 MPa，密度ρ=7 850 kg/m3，泊松比μ=0.22，如圖3所示。將熱裝刀柄簡(jiǎn)化為多段Timoshenko梁，并采用耦合響應(yīng)法來(lái)計(jì)算熱裝刀柄的頻響函數(shù)。其中，分段的數(shù)量與計(jì)算的頻響函數(shù)精度密切相關(guān)，分段越多、計(jì)算精度越高，而計(jì)算量會(huì)大大增加。因此，綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算量，本文以HSK熱裝刀柄的關(guān)鍵尺寸為依據(jù)，并以刀柄柄部左端為起始段，來(lái)對(duì)HSK熱裝刀柄進(jìn)行分段處理。圖4為HSK熱裝刀柄分段劃分圖，具體分段尺寸如表1所示。先分別計(jì)算每段梁的頻響函數(shù)，再對(duì)每段梁進(jìn)行剛性耦合，進(jìn)而獲得整個(gè)部件的頻響函數(shù)。單段梁頻響函數(shù)G11的計(jì)算如圖5所示，梁的兩端點(diǎn)分別表示為1和2.使用質(zhì)量集中方程可以建立相應(yīng)的響應(yīng)方程，并將與線性和轉(zhuǎn)動(dòng)位移有關(guān)的力和力矩應(yīng)用到這些點(diǎn)上。

圖3 HSK主軸-刀柄系統(tǒng)Fig.3 HSK spindle-toolholder system

圖4 HSKA63熱裝刀柄分段劃分圖Fig.4 Multi-segments of HSKA63 shrink toolholder

式中:點(diǎn)1的頻率響應(yīng)函數(shù)根據(jù)（5）式來(lái)計(jì)算。圖6（a）所示，兩段Timoshenko自由端梁可以耦合為一段自由端梁。其中，自由端響應(yīng)矩陣A和B可以表示為

式中:AA1A1可簡(jiǎn)單表示為A11.當(dāng)?shù)玫搅篈和B的位移-力（力矩）矩陣后，考慮到連接點(diǎn)的兼容性和連續(xù)性，可以得到兩段梁的耦合矩陣C為

同理，可采用相同的方法對(duì)多段梁進(jìn)行剛性耦合，如圖6（b）所示。通過(guò)這樣的方式，將不同直徑和長(zhǎng)度的梁進(jìn)行剛性耦合，可計(jì)算得到HSK熱裝刀柄的頻響函數(shù)。由于本文所要辨識(shí)的剛度矩陣KSH為對(duì)稱矩陣，因而在計(jì)算熱裝刀柄端點(diǎn)響應(yīng)矩陣H11、HSK主軸端點(diǎn)響應(yīng)矩陣S11和HSK主軸-熱裝刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)響應(yīng)矩陣SH11過(guò)程中，都可假定力矩作用下的頻響函數(shù)N與力作用下的轉(zhuǎn)角頻響函數(shù)相等L，即N=L.圖7為頻響矩陣H11的4個(gè)頻響函數(shù)圖。

圖6 多段自由端梁的剛性耦合Fig.6 Rigid coupling of beams

2.2 基于有限差分法的測(cè)量頻響矩陣

本文采用2階有限差分與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方式來(lái)獲得HSK主軸和HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)的響應(yīng)矩陣。本文先建立HSK主軸和HSK主軸-熱裝刀柄系統(tǒng)的有限元模型，并進(jìn)行諧響應(yīng)分析；然后，選擇不同的間隔距離，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測(cè)量；再將實(shí)驗(yàn)所得頻響函數(shù)與諧響應(yīng)分析結(jié)果相比較，最終確定HSK主軸-熱裝刀柄系統(tǒng)和HSK主軸的最優(yōu)間隔距離為35 mm和30 mm［9］。先分別將HSK主軸和HSK主軸-刀柄系統(tǒng)置于自由狀態(tài)；再根據(jù)2階有限差原理將加速度傳感器分別安裝在HSK主軸和HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)上；最后，使用力錘敲擊各傳感器相對(duì)應(yīng)點(diǎn)處，測(cè)量信號(hào)通過(guò)加拿大Cutpro測(cè)試系統(tǒng)進(jìn)行放大、采集和快速傅里葉變換，圖8為頻響函數(shù)測(cè)量系統(tǒng)圖。

圖7 響應(yīng)矩陣H11的頻響函數(shù)圖Fig.7 FRF of matrix H11

圖8 頻響函數(shù)測(cè)量系統(tǒng)圖Fig.8 FRF measuring system

2.2.1 HSK主軸端點(diǎn)頻響矩陣

以HSK主軸右端為起點(diǎn)，分別將3個(gè)加速度傳感器按照間隔距離為30 mm直線安裝在HSK主軸上，并根據(jù)頻響函數(shù)測(cè)量系統(tǒng)，分別測(cè)量各個(gè)點(diǎn)y方向上的頻響函數(shù)，圖9為端點(diǎn)頻響函數(shù).

由圖9所示，測(cè)量數(shù)據(jù)存在很多噪聲，這會(huì)嚴(yán)重影響辨識(shí)參數(shù)的準(zhǔn)確性。因此，本文采用Savitzky-Golay理論對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行過(guò)濾［11］，再用Matlab軟件對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)重新處理，并將測(cè)量的頻響函數(shù)代入（9）式后插方程中，進(jìn)而計(jì)算得到HSK主軸端點(diǎn)的響應(yīng)矩陣S11，如圖10所示。

圖9 HSK主軸端點(diǎn)的頻響函數(shù)Fig.9 FRF ? of HSK spindle end

2.2.2 HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)頻響矩陣

以HSK主軸-刀柄系統(tǒng)右端為起點(diǎn)，分別將3個(gè)加速度傳感器按照間隔距離為35 mm直線安裝在HSK主軸-刀柄系統(tǒng)上，并根據(jù)頻響函數(shù)測(cè)量系統(tǒng)，分別測(cè)量各個(gè)點(diǎn)y方向上的頻響函數(shù)，并采用相同的方法計(jì)算HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)的頻響矩陣SH11，如圖11所示。

圖10 HSK主軸端點(diǎn)的響應(yīng)矩陣S11Fig.10 FRF matrix S11of HSK spindle end

圖11 HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)的響應(yīng)矩陣SH11Fig.11 FRF matrix SH11of HSK spindle-toolholder system end

將所獲得的刀柄頻響矩陣、HSK主軸端點(diǎn)頻響矩陣和HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)頻響矩陣代入到（2）式中，便可求得不隨頻率變化而變化的HSK主軸-刀柄結(jié)合部參數(shù)，如表2所示。

3 HSK主軸-刀柄結(jié)合部參數(shù)的驗(yàn)證

本文采用考慮結(jié)合部的響應(yīng)耦合法來(lái)計(jì)算HSK主軸-熱裝刀柄的響應(yīng)矩陣，如（1）式所示。（1）式中，熱裝刀柄兩端頻響矩陣和結(jié)合部剛度矩陣已經(jīng)獲得，只需將HSK主軸分為多段Timoshenko梁，并根據(jù)（10）式～（13）式來(lái)計(jì)算HSK主軸端點(diǎn)的理論響應(yīng)矩陣，HSK主軸分段如表3所示。在表1和表3中，刀柄的1～10段和HSK主軸的43～34段形成錐面結(jié)合部。由此可得，圖12為HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)理論頻響函數(shù)和實(shí)驗(yàn)頻響函數(shù)

本文使用實(shí)驗(yàn)和理論計(jì)算的各階模態(tài)相對(duì)誤差來(lái)判定辨識(shí)參數(shù)和構(gòu)建模型的準(zhǔn)確性［1，12］。因而，將基于耦合響應(yīng)法計(jì)算得到的HSK主軸-熱裝刀柄系統(tǒng)各階頻率與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比較，二者最大差值為7.9%，此誤差在合理的范圍之內(nèi)，可證明本文所辨識(shí)出的HSK主軸-刀柄結(jié)合部參數(shù)具有一定準(zhǔn)確性。并且，采用有限差分法與實(shí)驗(yàn)測(cè)量相結(jié)合的方式，對(duì)結(jié)合部參數(shù)的辨識(shí)是可行的。

表2 HSK主軸-刀柄結(jié)合部參數(shù)Tab.2 Joint part parameters of HSK spindle-toolholder

圖12 HSK主軸-刀柄系統(tǒng)端點(diǎn)頻響函數(shù)HSH11Fig.12 FRF HSH11of HSK spindle-toolholder system end

4 結(jié)論

1）根據(jù)HSK主軸-刀柄系統(tǒng)的響應(yīng)矩陣公式，推導(dǎo)出HSK主軸-刀柄結(jié)合部的剛度矩陣公式。利用耦合響應(yīng)法計(jì)算了熱裝刀柄的響應(yīng)矩陣，再采用有限差分與實(shí)驗(yàn)測(cè)量相結(jié)合的方式，分別得到HSK主軸端點(diǎn)和HSK主軸-熱裝刀柄端點(diǎn)的頻響矩陣，并根據(jù)剛度矩陣公式，辨識(shí)出HSK主軸-刀柄結(jié)合部的剛度和阻尼參數(shù)。

2）分別使用耦合響應(yīng)法計(jì)算和實(shí)驗(yàn)測(cè)量，獲得HSK主軸-熱裝系統(tǒng)端點(diǎn)的頻響函數(shù)，并比較二者的各階頻率，最大差值7.9%，可證明所辨識(shí)參數(shù)的準(zhǔn)確性和辨識(shí)方法的可行性。

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Identification of Joint Part Parameters of HSK Spindle-toolholder Based on Closed-form Approach

CHEN Jian1，TIAN Liang2，SHANG Hong-mo2，ZHENG Deng-sheng1，WANG Gui-cheng1，3
（1.School of Mechanical Engineering，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，Jiangsu，China；2.Chengdu tool research institute Co.，LTD，Chengdu 610051，Sichuan，China；3.Nantong Polytechnic College，Nantong 226002，Jiangsu，China）

The basic condition for predicting the dynamic performance of spindle system and keeping the cutting stability is to identify the parameters of HSK spindle-toolholder joint part.HSK spindle-toolholder joint part is simplified as spring-damp model.According to the frequency response function（FRF）matrix of HSK spindle-shrink toolholder system，the stiffness matrix of HSK spindle-toolholder is derived.the FRF matrix of shrink toolholder is obtained based on coupling response method.The FRF matrixes of the tip points of HSK spindle and HSK spindle-shrink toolholder system are got by using finite difference method and experiment.Four stiffness parameters（kyf，kθf(wàn)，kymand kθm）and four damp parameters（cyf，cθf(wàn)，cymand cθm）are identified with the stiffness matrix.FRF of tip point of HSK spindle-toolholder sys-tem is achieved by using the coupling response method.The calculated frequency of HSK spindle-toolholder system is compared with the experimental frequency.The maximal difference between theoretical and experimental results is 7.9%.

manufaturing technology and equipment；HSK spindle-toolholder joint part；FRF matrix；parameter identification

TG504

A

1000-1093（2015）07-1309-09

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.021

2014-09-19

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51075192、51275217）；國(guó)家重大科技專項(xiàng)（2013ZX04009031）；南通市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室資助項(xiàng)目（CP12014002）；江蘇省博士創(chuàng)新基金項(xiàng)目（CXZZ13_0656）

陳建（1987—），男，博士研究生。E-mail:jiangsuxuezi@163.com；王貴成（1955—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail:wgch@ujs.edu.cn