液壓油體積彈性模量穩(wěn)態(tài)模型與動態(tài)模型的對比

魏超，周俊杰，苑士華

（北京理工大學(xué)車輛傳動國家重點實驗室，北京100081）

液壓油體積彈性模量穩(wěn)態(tài)模型與動態(tài)模型的對比

魏超，周俊杰，苑士華

（北京理工大學(xué)車輛傳動國家重點實驗室，北京100081）

油液體積彈性模量對液壓系統(tǒng)的動態(tài)特性有著重要影響，而現(xiàn)有模型尚無法準(zhǔn)確反映油液壓縮與膨脹過程的動態(tài)特性。引用分析了4種基于集中參數(shù)法的液壓油有效體積彈性模量的穩(wěn)態(tài)模型（Wylie模型、Nykanen模型、Ruan模型和AMESim模型），結(jié)合空氣和蒸汽的動態(tài)傳輸方程，推導(dǎo)得到了考慮含氣量時變特征的有效體積彈性模量動態(tài)模型。在此基礎(chǔ)上，分析了4種穩(wěn)態(tài)模型分別在高壓區(qū)和低壓區(qū)的變化特性，研究了AMESim模型和動態(tài)模型穩(wěn)態(tài)值的差異性，驗證了動態(tài)模型的有效性。研究表明：由于假設(shè)含氣量不變，Wylie模型、Nykanen模型在全壓力范圍內(nèi)差別很?。桓邏簳rRuan模型計算結(jié)果稍大，而AMESim模型計算曲線較為特殊，受空氣分離壓影響很大；低壓時Ruan模型、Wylie模型計算結(jié)果非常接近，而當(dāng)壓力低于飽和蒸汽壓時AMESim模型計算值約為0.在應(yīng)用Henry定律條件下，動態(tài)模型預(yù)測的體積彈性模量-壓力曲線更為合理。油液壓縮膨脹循環(huán)實驗表明動態(tài)模型具有更高的精度。

兵器科學(xué)與技術(shù)；有效體積彈性模量；液壓油；含氣量；動態(tài)模型

0 引言

液壓油的可壓縮性對液壓系統(tǒng)的動態(tài)特性有著重要影響，精確的體積彈性模量模型成為該領(lǐng)域研究人員一直追求的目標(biāo)［1］。液壓油的體積彈性模型與油的含氣率有著密切關(guān)系，高壓時油的含氣率較低，因此高壓下的體積彈性模量模型相對較為成熟［2］。但是低壓時，伴隨著空氣分離和油液汽化等空化現(xiàn)象的發(fā)生，液壓油的壓縮特性變得非常復(fù)雜，同時由于液壓元件（如液壓泵、馬達(dá)、閥等）中存在著大量低壓或高、低壓過渡區(qū)域，在這些區(qū)域中低壓油液的彈性模型對元件的動態(tài)響應(yīng)有著巨大影響［3-4］。因此，低壓油液體積彈性模量的計算成為當(dāng)前液壓油參數(shù)模型研究的難點與重點［5］。

目前，液壓油的參數(shù)模型可大體分為兩類:一類是基于界面追蹤兩相流假設(shè)的參數(shù)模型，另一類是基于集中參數(shù)連續(xù)體假設(shè)的參數(shù)模型［3］。界面追蹤模型對流體組分分別研究，各相通過傳輸方程互相聯(lián)系，從微觀角度出發(fā)力求對各相之間的分界面進(jìn)行準(zhǔn)確描述。目前，這類流體模型多被計算流體力學(xué)（CFD）仿真技術(shù)采用［6-8］，運用這種方法，有利于得到流場空化現(xiàn)象的細(xì)節(jié)，適合于復(fù)雜流場分析，但是建模復(fù)雜，計算量大。耦合空化模型的集中參數(shù)建模方法從宏觀角度出發(fā)，假設(shè)流體性質(zhì)均勻分布，重點研究液壓油內(nèi)蒸汽和自由空氣的比重，這種方法可以大幅減少方程個數(shù)，提高數(shù)值計算速度和效率?？紤]到液壓系統(tǒng)的仿真和研究中人們的關(guān)注重點在于元件性能和系統(tǒng)表現(xiàn)而不是流場細(xì)節(jié)，因此選擇第2種方法能更方便、快捷地滿足需求。基于此，研究人員發(fā)展了針對液壓系統(tǒng)的液壓油參數(shù)模型并進(jìn)行了各種應(yīng)用［9-14］，值得提出的是，液壓系統(tǒng)仿真軟件LMS.AMESim也是應(yīng)用集中參數(shù)模型［15］。

根據(jù)是否考慮含氣率隨油液壓力的變化特性，集中參數(shù)模型對油液體積彈性模量的計算可歸類為兩種［16］:一是認(rèn)為液壓油內(nèi)含氣量為常數(shù)，二是假設(shè)含氣量隨壓力呈單參數(shù)變化關(guān)系。前者假設(shè)含氣量在全壓力范圍內(nèi)保持不變，例如文獻(xiàn)［9-10］提出的模型；后者多應(yīng)用Henry定律描述平衡狀態(tài)下含氣量隨油液壓力變化的關(guān)系，如文獻(xiàn)［15］。但是，這些模型都沒有考慮油液中含氣量隨各種因素變化的時間效應(yīng)，忽略了氣相在油液中處于非平衡態(tài)時發(fā)生的動態(tài)傳輸過程。因此，現(xiàn)有的液壓油有效體積彈性模量模型（本文稱為穩(wěn)態(tài)模型）還不能完全描述油液中氣相的時變特征。近來，Manhartsgruber［17］、Schran等［18］對液壓油內(nèi)氣體的析出和消解過程進(jìn)行了實驗研究，發(fā)現(xiàn)壓力和容積變化率對空氣的析出和消解速率有明顯影響；文獻(xiàn)［19］以Full Cavitation Model為理論基礎(chǔ)建立了油液內(nèi)氣體的動態(tài)傳輸方程?；谝陨显?，為滿足液壓系統(tǒng)高精度、快響應(yīng)的發(fā)展要求，本文通過定義法推導(dǎo)了液壓油體積彈性模量的動態(tài)模型，并通過與實驗結(jié)果以及穩(wěn)態(tài)模型的對比分析證明了新模型的有效性。

1 有效體積彈性模量

液壓油在一定壓力作用下體積減小表現(xiàn)出可壓縮性，有效體積彈性模量表示了液壓油實際工作過程中壓縮特性，其定義為

式中:p為油液工作壓力；V為油液體積。

液壓油的有效體積彈性模量主要受油液工作壓力、溫度以及含氣量的影響。通常情況下純油的體積彈性模量隨壓力的升高而增大，而隨溫度的升高則減小，但幅度都很小。因此純油體積彈性模量與壓力和溫度的關(guān)系［14］可簡化為

式中:Eref為純油液在標(biāo)準(zhǔn)壓力溫度下的體積模量；Δp為油液工作壓力；ΔT為溫度的變化值；m為體積彈性模量的壓變系數(shù)；n為溫變系數(shù)。

2 穩(wěn)態(tài)模型

常用的油液有效體積彈性模量模型主要有4種:Wylie模型、Nykanen模型、Ruan模型以及AMESim模型，其中Wylie模型、Nykanen模型均假設(shè)油液的含氣量為常數(shù)，Ruan模型考慮了壓力對含氣量的影響，而AMESim模型認(rèn)為含氣量是油液壓力的單參數(shù)函數(shù)（基于Henry定律）。各模型表達(dá)式如下:

1）Wylie模型［9］

式中:E0為大氣壓力下液壓純油液的體積模量；α為油液的空氣含量；p0為一個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓；λ為空氣的熱容比。

2）Nykanen模型［10］

3）Ruan模型［12］

式中:pc為臨界壓力。

4）AMESim模型［15］

式中:θ為液壓油內(nèi)空氣析出比例；φ為液壓油內(nèi)蒸汽的析出比例（θ和φ與油液壓力相關(guān)）；ρL為純油液密度；C1=（1-α）ρL0，ρL0為1個標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下純油液密度；，ρv為油蒸汽在飽和蒸汽壓力pv下的密度。同時，AMESim模型將流體介質(zhì)細(xì)分為液體-空氣-蒸汽混合的3成分4狀態(tài)（如圖1所示）:①當(dāng)油液內(nèi)部壓力高于空氣分離壓力ps時，空氣完全溶解在油液中，表現(xiàn)為純液體狀態(tài)；②當(dāng)油液內(nèi)部壓力低于空氣分離壓力時，空氣開始析出直到建立起新的溶解平衡態(tài)；③當(dāng)油液壓力繼續(xù)降低到飽和蒸汽壓力pv以下，此時油液開始汽化發(fā)生相變產(chǎn)生油蒸汽，油液內(nèi)將包含空氣和蒸汽兩種氣相；④如果繼續(xù)減小壓力至完全汽化壓力pf，則油液將完全汽化，液態(tài)消失而將成為空氣和蒸汽的氣態(tài)混合物。

另外，針對圖1第2種和第3種狀態(tài)中含有部分空氣和部分蒸汽的情況，要根據(jù)（6）式計算油液的有效體積彈性模量，前提是必須根據(jù)壓力確定液壓油內(nèi)空氣和蒸汽的析出比例θ和φ.Henry定律描述液體能溶解的空氣量和液體內(nèi)部壓力呈正比例關(guān)系，而壓力降低時析出的空氣比例θ負(fù)比例相關(guān)于壓力，圖2中虛直線表示了這一關(guān)系。但（6）式中dθ/dp如果按圖2虛線計算則其值在兩端壓力上不連續(xù)，因此，AMESim模型引入了θ-p的二次插值函數(shù)［15］，如圖2中實線所示，旨在保證（6）式中θ對壓力導(dǎo)數(shù)的數(shù)值穩(wěn)定性，同樣（6）式中dφ/dp也作了相似的處理，不同的是φ-p是分布在飽和蒸汽壓力pv和完全汽化壓力pf之間的函數(shù)。

圖1 AMESim液體-空氣-蒸汽液壓油模型Fig.1 AMESim hydraulic oil model for liquid-air-vapour

3 動態(tài)模型

由于油液中通常含有空氣，因此油液的壓縮性主要來源于壓力變化引起的液體體積改變和氣體體積改變。而在特殊條件下，油液中可能還含有油蒸汽，此時液壓介質(zhì)將成為由純油液、空氣以及油蒸汽3種成分組成的兩相混合物?？紤]到油液中氣體較少，散布在油液中，氣體之間的互相影響較弱，并且氣體與周圍液體間滲透作用很小，因此可認(rèn)為純油液、空氣和蒸汽這3種成分受壓時的體積改變互相獨立，并隨時間變化，則流體的有效體積彈性模量可由（1）式變形得

式中:VL為油液混合物中純液體的體積；Vg為油液混合物中空氣體積；Vv為油液混合物中油蒸汽的體積。它們都可以視為以時間為變量的函數(shù)。

圖2 AMESim模型含氣量的計算Fig.2 Air content calculation of AMESim model

假設(shè)αg、αv為空氣和蒸汽在瞬時壓力下的體積分?jǐn)?shù)，則它們和質(zhì)量分?jǐn)?shù)fg和fv存在如下關(guān)系:

式中:ρg為油液空氣的密度；ρ為混合物的平均密度。

針對（7）式中的氣體成分應(yīng)用氣體壓縮方程，設(shè)Vg0與Vv0為空氣和蒸汽在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓p0下的體積，則有

而純油液的體積由以下表達(dá)式［20］給出:

式中:VL0為純油液在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓p0下的體積。

分別對（10）式～（12）式求關(guān)于壓力p的導(dǎo)數(shù)，并代入（7）式整理，可得彈性模量動態(tài)模型

由（13）式可知，體積彈性模型與空氣和蒸汽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)fg（t）、fv（t）有關(guān)，根據(jù)參考文獻(xiàn)［19］，fg（t）、fv（t）可通過求解空氣和蒸汽的動態(tài)傳輸方程（14）式、（15）式得到。

（14）式和（15）式中:fgH表示空氣含氣率的穩(wěn)態(tài)值；fg0為油液內(nèi)空氣的初始含量；k21、k22、k11、k12為經(jīng)驗系數(shù)?？梢钥闯觯?4）式和（15）式代表了空氣析出和油液汽化兩個動態(tài)過程，同時還可看出，含氣量變化率不僅和壓力有關(guān)，還受油液內(nèi)當(dāng)前含氣量、特征時間子以及其他經(jīng)驗系數(shù)等諸多因素影響，而且空氣分離壓力ps和飽和蒸汽壓力pv是兩個分別影響空氣和蒸汽含量的關(guān)鍵壓力。通過對氣體傳輸方程的求解，可以準(zhǔn)確得知液壓油內(nèi)含氣量。結(jié)合（13）式，便可精確計算出流體的有效體積彈性模量。此外，動態(tài)模型省去了AMESim模型中人為給定的含氣量插值函數(shù)，更接近實際情況，雖引入了未知的空氣和蒸汽的質(zhì)量分?jǐn)?shù)fg（t）和fv（t），但同時也引入了描述二者內(nèi)部傳輸過程的兩個常微分方程，因此不會影響系統(tǒng)方程組的封閉性。

另外，由穩(wěn)態(tài)關(guān)系dfg/dt=0可知，此時fg（t）= fgH.并且穩(wěn)態(tài)值fgH可以完全按照Henry定律設(shè)定的與油液壓力呈現(xiàn)的正比例關(guān)系，即（16）式，來進(jìn)行計算，其中fg0為油液內(nèi)空氣的初始含量。

此時，動態(tài)模型退化為類似于AMESim模型的穩(wěn)態(tài)模型。

4 對比分析

為分析以上模型的差異，通過一仿真算例進(jìn)行說明。仿真中采用液壓油的基本參數(shù)見表1，計算得到的有效體積彈性模量如圖3、圖4和圖5.

表1 液壓油基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of hydraulic oil

圖3給出了高壓范圍液壓油有效體積彈性模量4個穩(wěn)態(tài)模型的比較結(jié)果。由圖3可見，由于Wylie模型和Nykanen模型均認(rèn)為液壓油內(nèi)含氣率α在整個壓力范圍內(nèi)保持不變，忽略了壓力對液壓油溶解度的影響。因此，Wylie模型和Nykanen模型計算結(jié)果差別很小，只是在壓力超過100 bar時，Nykanen模型計算結(jié)果稍大。另外，Ruan模型計算值稍大于Wylie模型和Nykanen模型，這是由于模型考慮了壓力升高后部分氣體溶解在液體內(nèi)的影響，由（5）式不難看出，當(dāng)壓力達(dá)到或超過臨界壓力pc時，Ruan模型認(rèn)為油液中氣體已經(jīng)消失，有效體積彈性模量即為E0.當(dāng)壓力接近pc時，有效體積彈性模量也趨近于E0，相當(dāng)于油液內(nèi)含氣量在逐漸降低。從圖3還可看出，AMESim模型與其他3種模型之間差距明顯，體積彈性模量的增長曲線不如前者平順，形狀較為特殊，原因是AMESim模型對（6）式中dθ/dp和dφ/dp的數(shù)學(xué)處理雖然能保證求導(dǎo)的數(shù)值穩(wěn)定，但卻使得導(dǎo)數(shù)值隨壓力變化比較劇烈，并最終反映在體積彈性模量變化曲線上。并且，圖3還顯示，空氣分離壓力ps的取值對AMESim模型的計算結(jié)果影響很大（ps值一般通過實驗確定［5］）。

圖4給出了低壓范圍液壓油有效體積彈性模量4個穩(wěn)態(tài)模型的比較結(jié)果。從中可以看出，低壓區(qū)Wylie模型和Nykanen模型仍然比較接近，并且此時Ruan模型計算結(jié)果幾乎和Wylie模型一樣。由于前3種模型都忽略了油液的汽化現(xiàn)象，而實際上當(dāng)壓力低于飽和蒸汽壓力時油液會發(fā)生汽化，因此，在壓力下降到飽和蒸汽壓力pv以下后，AMESim模型的計算結(jié)果不同于前3個，而是呈現(xiàn)為迅速降低至0.顯然，低壓時AMESim模型與實際情況更為接近，故其計算結(jié)果比前3種模型的計算精確性要高。

圖3 液壓油有效體積彈性模量穩(wěn)態(tài)模型比較（高壓范圍）Fig.3 Steady-state models of effective bulk modulus（high pressure）

圖4 液壓油有效體積彈性模量穩(wěn)態(tài)模型比較（低壓范圍）Fig.4 Steady-state models of effective bulk modulus（low pressure）

圖5 AMESim模型和動態(tài)模型比較Fig.5 Comparison of AMESim model and dynamic model

圖5為AMESim模型和動態(tài)模型穩(wěn)態(tài)值的對比曲線。從中可以看出，動態(tài)模型和AMESim模型的區(qū)別主要體現(xiàn)在空氣分離壓力之前，動態(tài)模型預(yù)測的有效體積彈性模量-壓力曲線形狀更為平順，這是由于動態(tài)模型中空氣析出含量是由（16）式線性關(guān)系確定而不是AMESim模型的二次插值函數(shù)，因此消除了含氣量變化速率dθ/dp劇烈變化對體積彈性模量帶來的影響。并且，通過對比（13）式和（6）式可知，這兩式的主要區(qū)別在于（6）式分母中多出了dθ/dp和dφ/dp兩項，同時由圖2的θ-p曲線可以看出，dθ/dp為負(fù)值（同理dφ/dp也為負(fù)值），因此其使得（6）式的分母增大，故而AMESim模型的計算值要小于動態(tài)模型的穩(wěn)態(tài)值。

顯然，以上穩(wěn)態(tài)模型均無法反映空氣析出和油液汽化的動態(tài)過程，在壓力變化迅速的液壓系統(tǒng)中，很多時候油液是來不及建立或達(dá)到這一平衡狀態(tài)的，因此考慮含氣量在非平衡態(tài)下的時變特征是非常必要的。

5 實驗驗證

為檢驗動態(tài)模型的有效性，與奧地利Johannes Kepler大學(xué)Manhartsgruber教授進(jìn)行了合作研究。Manhartsgruber教授研究組針對本文的動態(tài)模型開展了液壓油有效體積彈性模量的模型實驗。如圖6所示，實驗采用的密閉油缸內(nèi)裝有含一定空氣的液壓油，通過壓力傳感器和熱電偶分別獲取油腔內(nèi)油液的壓力和溫度。被測油缸底部活塞的位置可以由伺服系統(tǒng)精確控制，以此實現(xiàn)油缸內(nèi)液壓油的壓縮與膨脹循環(huán)。循環(huán)由低壓開始，低壓到高壓為壓縮行程，高壓到低壓為膨脹行程。實驗用液壓油為標(biāo)準(zhǔn)型ISO 32礦物油，其主要屬性與實驗參數(shù)如表2所示，為保證一致仿真模型中油液的各項屬性按實際給定。

圖6 油液體積彈性模量實驗臺原理Fig.6 Principle of fluid bulk modulus testbed

表2 實驗和仿真參數(shù)Tab.2 Experimental and simulation parameters

需要說明的是，受限于實驗臺伺服缸控制與被測油室不發(fā)生變形的要求，實驗中測試油液壓力不能太高，被限定在0～32 bar之間。圖7所示的對比結(jié)果表明，動態(tài)模型很好地吻合了實驗數(shù)據(jù)，并能準(zhǔn)確預(yù)測出壓縮膨脹循環(huán)過程中液壓油有效體積彈性模量表現(xiàn)出的“遲滯”特性。產(chǎn)生這一現(xiàn)象的具體原因是:循環(huán)開始時油液低于空氣分離壓力ps，并含有一定量析出的自由空氣，壓縮行程中析出的空氣隨壓力升高溶于油液，但溶解速率較慢；轉(zhuǎn)為膨脹行程時，油缸壓力降低，但仍高于空氣分離壓力，故而空氣繼續(xù)溶解，直至油液壓力低于空氣分離壓力；當(dāng)壓力低于空氣分離壓力后，已經(jīng)溶解的空氣反過來迅速析出，因析出速率比溶解速率大很多，所以油液內(nèi)氣體含量很快回到循環(huán)前的初始值，形成一個循環(huán)周期。與空氣分離壓力的對比決定循環(huán)過程中大部分時間內(nèi)空氣在溶解，這導(dǎo)致在壓縮和膨脹行程中油液含氣率不同，表現(xiàn)為壓縮行程多而膨脹行程少，從而油液的有效體積彈性模量將不在一條曲線，表現(xiàn)出圖7的“遲滯”特征。另外，圖7也給出了壓縮膨脹過程中的穩(wěn)態(tài)模型解。從中可以看出，穩(wěn)態(tài)模型得到的油液體積彈性模量是一條曲線，無法反映“遲滯”現(xiàn)象，對比實驗值誤差較大。

圖7 動態(tài)模型的實驗驗證（循環(huán)周期1 s）Fig.7 Experimental verification of dynamic model（circle time of 1 s）

6 結(jié)論

1）對比了4種基于集中參數(shù)法的液壓油有效體積彈性模量的穩(wěn)態(tài)模型，計算表明:高壓時Wylie模型、Nykanen模型差別很??；Ruan模型因考慮壓力升高含氣率降低的影響使得計算結(jié)果稍大；AMESim模型計算曲線相比其他3種穩(wěn)態(tài)模型形狀較為特殊，差別較大，并且受空氣分離壓力ps的影響很大。低壓時Wylie模型、Nykanen模型及Ruan模型差別不明顯，當(dāng)壓力低于飽和蒸汽壓時，由于AMESim模型考慮了油液汽化現(xiàn)象，因此其預(yù)測的有效體積彈性模量很小，約為0.

2）由定義法推導(dǎo)了液壓油有效體積彈性模量的動態(tài)模型，其預(yù)測的有效體積彈性模量-壓力曲線相比AMESim模型更為平順，在空氣分離壓力之前AMESim模型計算值偏低。此外，動態(tài)模型可以通過耦合氣體傳輸方程考慮含氣量變化的時變特征。

3）實驗表明，動態(tài)模型的仿真結(jié)果能反映出油液壓縮膨脹循環(huán)中體積彈性模量值的“遲滯”特性，而穩(wěn)態(tài)模型無法反映該現(xiàn)象。因此，動態(tài)模型相比穩(wěn)態(tài)模型具有更高的計算精度。

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Comparison of Steady and Dynamic Models for the Bulk Modulus of Hydraulic Oils

WEI Chao，ZHOU Jun-jie，YUAN Shi-hua
（Science and Technology on Vehicle Transmission Laboratory，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

Fluid bulk modulus has important effect on the dynamic characteristics of the hydraulic system，but the existing models still cannot accurately capture the dynamic features when the fluid is compressed or expands rapidly.Four steady-state models（Wylie，Nykanen，Ruan and AMESim）of fluid bulk modulus based on lumped parameter approach are analyzed.Considering the dynamic transport processes of free air and vapor in the oil，a dynamic effective bulk modulus model which is time-dependent is derived.In addition，the difference among the four steady-state models both in the high and low pressure regions is studied.The proposed dynamic model is compared to AMESim model and validated using experimental data.Results show that Wylie model is close to Nykanen model in the whole pressure range since they both assume constant air contents.In the high pressure region，Ruan model predicts a slight larger fluid bulk modulus，while AMESim model performs most differently and is strongly affected by the air apart pressure.In the low pressure region，the values of Ruan Model and Wylie Model are very close，but the effective bulk modulus calculated by AMESim model is nearly zero when the pressure islower than the vapor saturation pressure，the fluid bulk modulus-pressure curve—predicted by the proposed dynamic model seems more reasonable when Henry's law is used，although its advantage depends on the coupling with the dynamic transport equations.Finally，the comparison of the results obtained from a fluid compression and expansion test cycle indicates that the proposed model is more precise.

ordnance science and technology；effective bulk modulus；hydraulic oil；air content；dynamic model

TH137

A

1000-1093（2015）07-1153-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.07.001

2014-09-28

國家自然科學(xué)基金項目（51175039）

魏超（1980—），男，副教授。E-mail:weipeter1@bit.edu.cn；周俊杰（1986—），男，講師。E-mail:121zhouxiao@163.com