隨機(jī)載荷作用下扭力軸耐久性優(yōu)化設(shè)計

劉勤，錢云鵬，姬廣振，孫志禮

（1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院，遼寧沈陽110819；2.中國兵器科學(xué)研究院，北京100089）

隨機(jī)載荷作用下扭力軸耐久性優(yōu)化設(shè)計

劉勤1，2，錢云鵬2，姬廣振2，孫志禮1

（1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動化學(xué)院，遼寧沈陽110819；2.中國兵器科學(xué)研究院，北京100089）

利用多工況下扭力軸隨機(jī)載荷時間歷程，編制了8級扭矩譜；考慮材料性能、疲勞影響系數(shù)等因素的分散性，應(yīng)用疲勞可靠性理論與方法，建立了耐久性分析模型，計算了疲勞壽命與耐久度。在此基礎(chǔ)上，以車輛行駛6 000 km時扭力軸的耐久度作為目標(biāo)，以剛度可靠性、結(jié)構(gòu)尺寸等為約束，構(gòu)建基于耐久度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型；提出了以雙循環(huán)策略處理耐久性目標(biāo)、單循環(huán)策略處理可靠性約束的優(yōu)化求解方法，既保證了目標(biāo)的計算精度，又提高了優(yōu)化計算的效率。優(yōu)化結(jié)果表明：扭力軸在滿足剛度可靠性等約束的條件下，耐久度得到明顯的提高。

兵器科學(xué)與技術(shù)；扭力軸；耐久性；可靠性；優(yōu)化設(shè)計；載荷譜

0 引言

扭力軸是裝甲車輛懸掛裝置的彈性元件，其作用是吸收在高低不平路上行駛時產(chǎn)生的沖擊能，與減振器共同作用，提高裝甲車輛的緩沖性和平穩(wěn)性。與其他彈性元件相比較，扭力軸結(jié)構(gòu)簡單、質(zhì)量輕、使用壽命長，工程中仍被廣泛使用。在裝甲車輛行駛過程中，扭力軸受隨機(jī)的扭轉(zhuǎn)疲勞載荷作用，其疲勞壽命是扭力軸設(shè)計和評定的最重要指標(biāo)之一［1］。

結(jié)構(gòu)參數(shù)、載荷、材料性能及疲勞影響因素的不確定性會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)耐久性的變異性。常規(guī)的確定性結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法由于難以系統(tǒng)考慮不確定性因素的影響，其優(yōu)化結(jié)果往往并不可靠［2］。以耐久性為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計，在滿足性能、結(jié)構(gòu)布局、費用等條件下，力求使裝備結(jié)構(gòu)壽命最長、耐久度最高，有利于解決部分關(guān)鍵結(jié)構(gòu)可靠性水平低的問題，從而有效提升整車的平均故障間隔里程等系統(tǒng)可靠性指標(biāo)。

1 扭力軸的疲勞壽命分析

1.1 扭矩載荷譜

裝甲車輛在行駛時，由于路面狀況、土壤結(jié)構(gòu)和力學(xué)性能復(fù)雜多變，其載荷歷程是個隨機(jī)過程，如圖1所示。

圖1 某扭力軸載荷時間歷程Fig.1 Load-time history of torsion shaft

按照裝甲車輛試驗規(guī)范，測試多工況的動力響應(yīng)，標(biāo)定轉(zhuǎn)換扭力軸的扭矩。利用雨流計數(shù)法進(jìn)行循環(huán)計算，以載荷幅值服從威布爾分布進(jìn)行統(tǒng)計，最后編制扭矩幅值的8級程序譜，如表1所示。

1.2 扭轉(zhuǎn)應(yīng)力計算

如圖2所示，扭力軸的中間是光滑圓柱，兩端為花鍵。扭力軸一端通過花鍵與平衡肘軸相聯(lián)，隨平衡肘一起轉(zhuǎn)動；另一端通過花鍵固定在另一側(cè)的平衡肘支架中。當(dāng)在不平路上高速行駛時，負(fù)重輪受到的沖擊力通過平衡肘傳給扭力軸，使扭力軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形。當(dāng)沖擊力消失后，扭力軸產(chǎn)生反向扭轉(zhuǎn)變形。

圖2 扭力軸結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 The structure of torsion shaft

扭力軸主要承受由扭矩作用引起的切應(yīng)力，主要應(yīng)力集中部位為過渡圓弧至花鍵的結(jié)合處、花鍵根部。通過力學(xué)分析，扭力軸最危險部位為過渡圓弧至花鍵的結(jié)合處，而工程上在該位置發(fā)生斷裂的情況較為常見。

扭力軸光滑圓柱部分直徑為d，由光滑圓柱向頭部花鍵過渡的圓弧半徑為R，可得軸頸圓弧的有效應(yīng)力集中系數(shù)：

式中：σs、σb分別為抗拉屈服強(qiáng)度和抗拉強(qiáng)度；kt為扭力軸軸頸的理論扭轉(zhuǎn)應(yīng)力集中系數(shù)，與R/d有關(guān)，查應(yīng)力集中手冊［3］，令c=R/d，使用多項式擬合，得到

由扭力軸的扭矩幅值計算扭力軸光滑圓柱的名義切應(yīng)力幅值：

式中：wpro為扭力軸抗扭截面模量。

1.3 材料力學(xué)性能參數(shù)

扭力軸材料為45CrNiMoVA鋼，試樣熱處理規(guī)范：860℃油淬+460℃回火，油冷。熱處理后的常規(guī)力學(xué)性能［4］：抗拉強(qiáng)度σb=1 553 MPa，抗拉屈服強(qiáng)度σs=1 374 MPa；抗剪屈服強(qiáng)度τb≈0.8σb= 1242.4 MPa.光滑試樣，軸向拉壓對稱循環(huán)，存活率-應(yīng)力-循環(huán)次數(shù)（P-S-N）試驗數(shù)據(jù)如表2所示。表中，ap、bp為S-N曲線lgNp=ap-bplgσa的參數(shù)。

表2 材料45CrNiMoVA的P-S-N曲線參數(shù)Tab.2 P-S-N curve parameters of 45CrNiMoVA

1.4 疲勞壽命計算

1.4.1 疲勞強(qiáng)度的影響因素

1）表面質(zhì)量的影響

扭力軸表面光滑圓柱部分輥壓強(qiáng)化，表面加工系數(shù)［3］平均值β1=1.2，標(biāo)準(zhǔn)差為0.03.

2）尺寸的影響

根據(jù)扭力軸尺寸、受力狀況和材料強(qiáng)度，查得尺寸效應(yīng)系數(shù)［3］平均值ε=0.76，標(biāo)準(zhǔn)差為0.069.

3）平均應(yīng)力的影響

由于材料P-S-N曲線是由軸向拉壓對稱循環(huán)試驗獲得，而扭力軸的平均扭矩為8 280 N·m，因此，需修正平均應(yīng)力對疲勞強(qiáng)度的影響。采用Goodman等壽命修正，將幅值為τa，平均值為τm非對稱循環(huán)的應(yīng)力水平，等效為對稱循環(huán)應(yīng)力幅值：

1.4.2 扭力軸疲勞累積損傷與壽命計算

將名義切應(yīng)力幅值換算成危險截面（軸頸過渡圓?。┥系墓ぷ髑袘?yīng)力幅值：

用第4強(qiáng)度理論將工作切應(yīng)力轉(zhuǎn)換成工作正應(yīng)力，即Von Mises等效應(yīng)力：

利用Miner線性累積損傷理論，得到各存活率p下的扭力軸扭轉(zhuǎn)疲勞壽命（km）：

式中：i為扭矩級數(shù)，i=1，2，…，8；ni為表1中各級扭矩的頻次；σaei為表1中各級扭矩所對應(yīng)的等效應(yīng)力。

根據(jù)某扭力軸設(shè)計尺寸，d=54 mm，R= 100 mm，由表1、表2數(shù)據(jù)，代入（7）式，得到扭力軸的中值壽命為30 700 km.根據(jù)工程數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，扭力軸壽命一般服從對數(shù)正態(tài)分布或威布爾分布。

1.5 扭力軸耐久度計算

若扭力軸耐久性要求N0=6 000 km，利用可靠性方法，可計算扭力軸在6 000 km不發(fā)生扭轉(zhuǎn)疲勞斷裂的可靠度即耐久度。

式中：a、b為S-N曲線的兩個參數(shù)，均為隨機(jī)變量。假定服從正態(tài)分布，根據(jù)P-S-N曲線，通過抽樣統(tǒng)計得到，亦可通過其他方式將S-N曲線隨機(jī)化；P｛｝為概率函數(shù)。扭力軸結(jié)構(gòu)尺寸服從正態(tài)分布，均值d=54 mm，R=100 mm，變異系數(shù)為0.03.利用一次可靠度方法（FORM）［5］，計算N0=6 000 km時扭力軸的耐久度為0.822.該扭力軸耐久度水平不高，可通過耐久性優(yōu)化設(shè)計，提高扭力軸的耐久度，以降低裝甲車輛行動系統(tǒng)大修期的損壞率。

2 扭力軸的耐久性優(yōu)化設(shè)計

2.1 耐久性優(yōu)化模型

以扭力軸到達(dá)壽命N0時的耐久度最大化為目標(biāo)，結(jié)構(gòu)尺寸、剛度等作為約束，進(jìn)行扭力軸結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計。其優(yōu)化模型的一般形式為

式中：N（d，x）為扭力軸疲勞壽命函數(shù)；d為設(shè)計變量向量，如結(jié)構(gòu)尺寸等；x為隨機(jī)變量向量，如材料S-N曲線參數(shù)、修正系數(shù)等；P｛gi（d，x）｝為可靠度約束函數(shù)，如扭力軸剛度可靠度約束等；ng為可靠度約束個數(shù)；gi（d，x）為功能極限狀態(tài)函數(shù)；Ri為各約束要求的可靠度；為常規(guī)約束函數(shù)；nh為常規(guī)約束個數(shù)；為隨機(jī)變量x的均值向量；分別為設(shè)計變量dk的下限和上限；nd為設(shè)計變量個數(shù)。

根據(jù)裝甲車輛設(shè)計要求，扭力軸的設(shè)計尺寸：直徑d均值范圍為44～56 mm，過渡圓弧半徑R均值范圍為60～120 mm，優(yōu)化設(shè)計變量向量為［d，R］T.為了加工方便，按常規(guī)約束處理，約定.另外，考慮扭力軸剛度的可靠性約束P｛g（d，x）≥0｝≥0.99.其中，剛度功能函數(shù)g（d，x）以單位長度上最大轉(zhuǎn)角不超過許用扭轉(zhuǎn)角0.022°/mm，即

式中：Tmax為扭桿受到的最大扭矩；G為材料剪切模量，G服從正態(tài)分布N（82.8 GPa，1.65 GPa）.優(yōu)化模型中，x為壽命、剛度計算中涉及的材料參數(shù)、結(jié)構(gòu)參數(shù)、疲勞影響因素等組成的隨機(jī)向量。

2.2 基于耐久度的耐久性優(yōu)化求解

由于優(yōu)化模型中目標(biāo)、約束包含隨機(jī)變量，計算耐久度、可靠度即為一個復(fù)雜的迭代計算過程，因此耐久性優(yōu)化屬于概率優(yōu)化問題。在優(yōu)化迭代計算過程中，需采用轉(zhuǎn)換的策略，按照一定的方式將耐久度目標(biāo)、可靠度約束轉(zhuǎn)換為確定性目標(biāo)、約束，從而將概率優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換為常規(guī)確定優(yōu)化問題，再利用常規(guī)的優(yōu)化算法實現(xiàn)問題的求解。對于概率優(yōu)化問題的求解，主要有雙循環(huán)方法、單循環(huán)方法和解耦方法［2，6］3類方法。雙循環(huán)方法采用兩個嵌套優(yōu)化循環(huán)：設(shè)計優(yōu)化循環(huán)（外層）和可靠度分析循環(huán)（內(nèi)層）。單循環(huán)方法［7］是在雙循環(huán)的基礎(chǔ)上改進(jìn)的，內(nèi)層循環(huán)由單次可靠度計算近似代替，實現(xiàn)可靠性分析和優(yōu)化計算的同步收斂，在優(yōu)化效率方面提升顯著。

2.2.1 耐久性優(yōu)化求解流程

如圖3所示，應(yīng)用序列二次規(guī)劃法（SQP）［8］等優(yōu)化算法，每一次優(yōu)化迭代步，增加了在設(shè)計點dk處計算耐久度目標(biāo)、可靠性約束值，并將其轉(zhuǎn)換成近似函數(shù)，實現(xiàn)優(yōu)化求解。在優(yōu)化過程中，為保證耐久性目標(biāo)值的精度，利用雙循環(huán)方法轉(zhuǎn)換耐久性目標(biāo)，獲得耐久度的精確解；而為提高優(yōu)化計算效率，借助單循環(huán)方法轉(zhuǎn)換可靠性約束，可靠性約束值使用近似的可靠度值。

2.2.2 耐久性目標(biāo)的轉(zhuǎn)換

根據(jù)結(jié)構(gòu)可靠度理論，令耐久度系數(shù)βD= Φ-1（PD），耐久度PD與βD呈正比，因此以βD代替PD.在優(yōu)化迭代過程，將（9）式中的耐久性目標(biāo)在當(dāng)前迭代點展開為設(shè)計變量的線性近似函數(shù)，即

圖3 耐久性優(yōu)化求解流程示意圖Fig.3 Schematic diagram of durability-based optimization

式中：βD（dk-1，x）利用FORM方法［5］對目標(biāo)函數(shù)求解，是一個循環(huán)迭代的過程，迭代次數(shù)為Ns，將得到該設(shè)計點dk-1處扭力軸的耐久度精確解；Δ

dβD（dk-1）為βD（dk-1）對各設(shè)計變量的梯度向量，若某設(shè)計變量是隨機(jī)變量，那么對該變量均值計算偏微分。經(jīng)過轉(zhuǎn)換，耐久性目標(biāo)轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€僅以設(shè)計變量向量d為自變量的函數(shù)，從而可以用常規(guī)優(yōu)化方法求解。

2.2.3 可靠性約束的轉(zhuǎn)換

與耐久性目標(biāo)的轉(zhuǎn)換過程相似，對于第i個可靠度約束，令P｛gi（d，x）≥0｝=Φ（βi），βi為可靠度系數(shù)；在優(yōu)化迭代過程，該約束在當(dāng)前設(shè)計迭代點轉(zhuǎn)化為線性約束函數(shù)，即

式中：

式中：Gi（dk-1，uk-1）為功能函數(shù)gi（dk-1，xk-1）由隨機(jī)向量x轉(zhuǎn)換至獨立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間向量u后的函數(shù)；k為優(yōu)化迭代步序號；ΔuGi（dk-1，uk-1）為Gi（dk-1，uk-1）對u的梯度向量。下一步迭代的uk由（14）式計算。

由此，可靠度計算的迭代與優(yōu)化計算迭代同步，避免了雙層循環(huán)，提高計算效率。若存在多個可靠性約束，依次對每個可靠性約束，轉(zhuǎn)變?yōu)樵O(shè)計變量向量d為自變量的線性函數(shù)，參與常規(guī)優(yōu)化求解。

2.2.4 優(yōu)化結(jié)果

由耐久性優(yōu)化模型一般形式，目標(biāo)函數(shù)為（8）式，可靠度約束函數(shù)為（10）式，優(yōu)化算法采用SQP，編制程序，求解耐久性優(yōu)化模型。經(jīng)過10次迭代，優(yōu)化收斂，獲得最優(yōu)解，如表3所示。與初始值相比，扭力軸中值壽命提高了3倍，6 000 km的耐久度由0.822提升至0.943，同時，剛度可靠度得到了提高，滿足了要求。

表3 扭力軸耐久性優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Durability-based optimization results of torsion shaft

耐久性優(yōu)化迭代過程，如圖4所示，耐久性目標(biāo)在第2次迭代就接近最大值，后續(xù)迭代步中只作細(xì)微的調(diào)整，最終經(jīng)過10次迭代取得最大值。

圖4 耐久性優(yōu)化求解的迭代過程Fig.4 Iteration process of durability-based optimization solution

按一次計算目標(biāo)或約束函數(shù)，計一次計算，耐久性目標(biāo)采用雙循環(huán)方法處理、可靠性約束采用單循環(huán)方法處理的優(yōu)化使用了747次計算。若可靠性約束亦采用雙循環(huán)方法處理，優(yōu)化結(jié)果與之相近，但需計算894次，因此使用單循環(huán)方法較雙循環(huán)方法的優(yōu)化計算效率明顯提高。

3 結(jié)論

本文應(yīng)用疲勞可靠性方法，建立了扭力軸在隨機(jī)載荷作用下的疲勞壽命和耐久度分析模型。計算某車輛行駛6 000 km時扭力軸的耐久度為0.822，該扭力軸耐久性待提升。

在扭力軸疲勞壽命分析的基礎(chǔ)上，以扭力軸的耐久度作為目標(biāo)，以剛度可靠性、結(jié)構(gòu)尺寸等為約束，構(gòu)建基于耐久度的結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型。借鑒可靠性優(yōu)化方法，提出了以雙循環(huán)策略處理耐久性目標(biāo)、單循環(huán)策略處理可靠性約束的耐久性優(yōu)化求解方法，既保證了目標(biāo)的計算精度，又提高了優(yōu)化計算的效率。結(jié)果表明：扭力軸在滿足剛度可靠性、尺寸等約束的條件下，耐久度由0.822提高至0.943，實現(xiàn)了扭力軸可靠性的增長。

若耐久性優(yōu)化中利用扭力軸有限元分析的應(yīng)力結(jié)果，可進(jìn)行更多結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化，有待于進(jìn)一步研究。

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［1］劉文珽.結(jié)構(gòu)可靠性設(shè)計手冊［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2008. LIU Wen-ting.Structure reliability design handbook［M］.Beijing：National Defense Industry Press，2008.（in Chinese）

［2］Aldebenito M A，Schue··ller G I.A survey on approaches for reliability-based optimization［J］.Structural and Multidisciplinary Optimization，2010，42（5）：645-663.

［3］徐灝.機(jī)械設(shè)計手冊［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1998. XU Hao.Mechanical design handbook［M］.Beijing：China Machine Press，1998.（in Chinese）

［4］《機(jī)械工程材料性能數(shù)據(jù)手冊》編委會.機(jī)械工程材料性能數(shù)據(jù)手冊［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1995. Editor Committee on Data Handbook of Mechanical Engineering Material Properties.Data handbook of mechanical engineering material properties［M］.Beijing：China Machine Press，1995.（in Chinese）

［5］秦權(quán)，林道錦，梅剛.結(jié)構(gòu)可靠度隨機(jī)有限元-理論及工程應(yīng)用［M］.北京：清華大學(xué)出版社，2006. QIN Quan，LIN Dao-jin，MEI Gang.Theory and applications-reliability stochastic finite element methods［M］.Beijing：Tsinghua University Press，2006.（in Chinese）

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［7］Liang J H，Mourelatos Z P.A single-loop method for reliabilitybased design optimization［J］.International Journal of Product Development，2008，5（1/2）：76-92.

［8］袁亞湘，孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法［M］.北京：科學(xué)出版社，2005. YUAN Ya-xiang，SUN Wen-yu.Theory and methods of optimization［M］.Beijing：Science Press，2005.（in Chinese）

Durability-based Design Optimization of Torsion Shaft under Random Loading

LIU Qin1，2，QIAN Yun-peng2，JI Guang-zhen2，SUN Zhi-li1
（1.School of Mechanical Engineering and Automation，Northeastern University，Shenyang 110819，Liaoning，China；2.Ordnance Science and Research Academy of China，Beijing 100089，China）

The eight-level spectrum of torque is established by using the stochastic loading history of torsion shaft of military vehicles on various types of standard road surface.In consideration of the randomness of factors such as material performance，and fatigue influence coefficient，etc.，the durability model is built by applying fatigue reliability theories.An optimization model，which takes the maximum durability of torsion shaft as the objective function when a vehicle travels for 6000 km，is built based on the constraints such as rigidity reliability，structure dimension and so on.The approach that introduces the double-loop strategy for durability object conversion and the single-loop strategy for reliability bounds conversion is presented for this optimization model.The high computing accuracy of object value and the high efficiency of optimal computation are obtained.The results show that the durability of torsion shaft is improved obviously.

ordnance science and technology；torsion shaft；durability；reliability；optimization design；load spectrum

TB114.3

A

1000-1093（2015）05-0933-05

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.05.025

2014-07-24

國防技術(shù)基礎(chǔ)項目（Z092012B001）；總裝備部預(yù)先研究項目（51319010402）

劉勤（1981—），男，副研究員，博士研究生。E-mail：qinlow@126.com