攔截跳躍式機(jī)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

惠耀洛，南 英，趙華超

(1. 南京航空航天大學(xué) 航天學(xué)院，南京 210016;2. 中國空空導(dǎo)彈研究院，河南 洛陽 471009)

0 引 言

隨著臨近空間［1］概念的提出和臨近空間飛行器［2－3］不斷取得技術(shù)上的突破，未來的戰(zhàn)爭將是海、陸、空、天一體化的戰(zhàn)爭。采用助推－滑翔飛行方案的高超聲速臨近空間飛行器，可大幅節(jié)省燃料，同時(shí)跳躍式機(jī)動(dòng)彈道能夠顯著提高突防能力，這種彈道被稱為桑格爾彈道［4］。由于采用桑格爾彈道的臨近空間飛行器具有高速、大機(jī)動(dòng)特性，給一般攔截彈的攔截提出了挑戰(zhàn)。本文針對這種臨近空間飛行器設(shè)計(jì)了軌控式直/氣復(fù)合攔截彈的三維滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。

有關(guān)攔截彈的制導(dǎo)律研究，文獻(xiàn)［5－6］分別引入預(yù)測交班點(diǎn)和預(yù)測攔截點(diǎn)的概念設(shè)計(jì)中制導(dǎo)律，由于臨近空間飛行器作高速跳躍機(jī)動(dòng)，采用預(yù)測制導(dǎo)技術(shù)將會(huì)造成較大誤差，導(dǎo)致攔截失敗。文獻(xiàn)［7］基于狀態(tài)相關(guān)Riccati 方程設(shè)計(jì)了最優(yōu)滑模制導(dǎo)律，在已知目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)加速度的情況下，該制導(dǎo)律能夠?qū)C(jī)動(dòng)目標(biāo)具有良好的魯棒性。文獻(xiàn)［8］采用Takagi-Sugeno 線性模糊模型描述彈－目相對運(yùn)動(dòng)方程，并用非線性模糊H∞制導(dǎo)律消除誤差和外界干擾的影響，然后采用線性矩陣不等式技術(shù)設(shè)計(jì)了考慮控制約束的H∞最優(yōu)制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［9］采用最優(yōu)控制理論，以最小化控制能量和中末交班時(shí)刻速度前置角作為性能指標(biāo)設(shè)計(jì)攔截機(jī)動(dòng)目標(biāo)的中制導(dǎo)律。由于導(dǎo)彈動(dòng)力學(xué)模型的高度非線性，發(fā)動(dòng)機(jī)和氣動(dòng)力的存在增加了其復(fù)雜度，使得兩點(diǎn)邊值問題的求解無法在彈上實(shí)時(shí)完成。文獻(xiàn)［10］采用卡爾曼濾波器對蛇形機(jī)動(dòng)目標(biāo)特性進(jìn)行在線估計(jì)，推導(dǎo)了最優(yōu)數(shù)值制導(dǎo)律。由于卡爾曼濾波技術(shù)算法復(fù)雜，且需要精確知道系統(tǒng)模型和噪聲統(tǒng)計(jì)特性，不利于在導(dǎo)彈攻防對抗過程中使用。文獻(xiàn)［11］在修正極坐標(biāo)系中采用滑模變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計(jì)了對蛇形機(jī)動(dòng)目標(biāo)的制導(dǎo)算法。文獻(xiàn)［12］在三維最優(yōu)制導(dǎo)律的基礎(chǔ)上，加入與目標(biāo)加速度成比例的修正項(xiàng)以攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)，但在彈－目對抗過程中，不易獲得目標(biāo)加速度。

本文首先建立了視線坐標(biāo)系中的三維彈－目相對運(yùn)動(dòng)方程，設(shè)計(jì)了隨目標(biāo)跳躍幅度和彈－目距離自適應(yīng)變化的滑模趨近律，推導(dǎo)了三維滑模制導(dǎo)律，然后采用軌控直接力控制技術(shù)，給出了直接力/氣動(dòng)力的分配方案。以某型臨近空間飛行器為攔截目標(biāo)，進(jìn)行彈－目攻防對抗飛行仿真，大量仿真結(jié)果表明，該制導(dǎo)律與控制策略能夠使攔截彈精確命中高速、大機(jī)動(dòng)臨近空間飛行器等目標(biāo)。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1 所示為視線坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，視線坐標(biāo)系的原點(diǎn)O 取在導(dǎo)彈的瞬時(shí)質(zhì)心上，OXL軸與彈－目視線方向重合，指向目標(biāo);OYL軸位于包含彈－目視線的鉛垂面內(nèi)垂直于OXL軸，指向上為正;OZL軸垂直于其他兩軸并構(gòu)成右手坐標(biāo)系。qε為視線高低角，qβ為視線方位角。

圖1 視線坐標(biāo)系與地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系

由地面坐標(biāo)系OXYZ 到視線坐標(biāo)系OXLYLZL的轉(zhuǎn)換矩陣L 為

在視線坐標(biāo)系中，建立彈－目相對運(yùn)動(dòng)方程［13］:

式中:

將導(dǎo)彈和目標(biāo)的三維相對運(yùn)動(dòng)解耦為縱向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)和側(cè)向平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，取R=Rxy，u=ayL，f=atyL，可得縱向平面內(nèi)的彈－目相對運(yùn)動(dòng)方程;取atzL，可得側(cè)向平面內(nèi)的彈－目相對運(yùn)動(dòng)方程。其中:)和)分別為某一小時(shí)間區(qū)間Δt 內(nèi)的視線高低角增量和視線方位角增量;Rxy和Rxz分別為彈－目距離在XOY 面和XOZ 面內(nèi)的投影;u 為控制量;ayL和azL分別為導(dǎo)彈在OYL和OZL方向上的制導(dǎo)指令加速度;f 為干擾量;atyL和atzL分別為目標(biāo)在OYL和OZL方向上的機(jī)動(dòng)加速度。

2 攔截跳躍式機(jī)動(dòng)目標(biāo)的滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

對于臨近空間跳躍式機(jī)動(dòng)目標(biāo)，由于其彈道波動(dòng)沒有規(guī)律，不能準(zhǔn)確預(yù)測其落點(diǎn)位置，不宜采用常規(guī)的預(yù)測制導(dǎo)律，同時(shí)臨近空間飛行器的突防機(jī)動(dòng)能力較強(qiáng)，如果在中制導(dǎo)階段就采用常規(guī)比例導(dǎo)引或其他制導(dǎo)律緊密跟蹤目標(biāo)軌跡進(jìn)行相應(yīng)機(jī)動(dòng)，會(huì)使導(dǎo)彈耗能增加，不能完成中遠(yuǎn)程攔截任務(wù)。綜合考慮上述兩點(diǎn)約束條件，對臨近空間跳躍式機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截彈制導(dǎo)律設(shè)計(jì)，應(yīng)該保證攔截彈既能跟蹤目標(biāo)機(jī)動(dòng)，不丟失目標(biāo)，又可控制攔截彈的彈道波動(dòng)幅度，減小能耗。

為使導(dǎo)彈在末制導(dǎo)階段以平直彈道攔截目標(biāo)，要求x→0，即視線角增量為零，同時(shí)視線角增量變化率也為零。選擇滑模面為

對于跳躍式機(jī)動(dòng)目標(biāo)，設(shè)計(jì)好滑模面之后，關(guān)鍵是要選擇合適的滑模趨近律。滑模趨近律應(yīng)該能夠保證當(dāng)目標(biāo)跳躍幅度變化率較大時(shí)，放慢趨近速度，當(dāng)目標(biāo)跳躍幅度變化率較小時(shí)，加快趨近速度，這樣可以在保證穩(wěn)定跟蹤目標(biāo)的前提下，快速攔截目標(biāo)?？紤]上述條件，以縱向平面內(nèi)的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)為例，選取自適應(yīng)滑模趨近律為

式中:

其中:D 為目標(biāo)跳躍幅度變化率;τ 為對目標(biāo)偵查的采樣時(shí)間;yT1和yT2分別為前后兩次偵查采樣得到的目標(biāo)飛行高度。上述滑模制導(dǎo)律的物理意義在于:當(dāng)彈－目距離較遠(yuǎn)或者目標(biāo)跳躍機(jī)動(dòng)幅度較大時(shí)，減緩趨近速度;反之，加快趨近速度。

對式(3)求導(dǎo)，并將式(2)帶入，得

由式(4)～(5)得到

由于滑模變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)自身具有抗干擾特性，可忽略目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度f，同時(shí)為了削弱抖動(dòng)可以用高增益連續(xù)函數(shù)代替符號函數(shù)，得到

其中:δ 為小正數(shù)。

由Lyapunov 穩(wěn)定性理論知系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定。

因此，由式(5)得到導(dǎo)彈在視線坐標(biāo)系下的制導(dǎo)指令加速度為

式中:ayL和azL分別為導(dǎo)彈在視線坐標(biāo)系OYL和OZL方向上的制導(dǎo)指令加速度;sy和sz分別為在縱向和側(cè)向平面內(nèi)設(shè)計(jì)的滑模面;Dy和Dz分別為目標(biāo)在縱向和側(cè)向平面內(nèi)的跳躍機(jī)動(dòng)幅度變化率。

將視線坐標(biāo)系下的制導(dǎo)指令轉(zhuǎn)換到地面坐標(biāo)系，得到

式中:ax，ay，az分別為導(dǎo)彈在地面坐標(biāo)系三軸方向上的制導(dǎo)指令加速度。

3 軌控式直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制分配策略

由于臨近空間飛行器在飛行末段仍具有較大的飛行速度和較強(qiáng)的機(jī)動(dòng)能力，因此在攔截末段，需要采用直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制技術(shù)以提供攔截彈所需過載，提高攔截彈的機(jī)動(dòng)能力和精確制導(dǎo)能力，達(dá)到對目標(biāo)直接動(dòng)能碰撞殺傷的攔截效果。

采用直接力控制技術(shù)的攔截彈主要依靠安裝在導(dǎo)彈頭尾部的微型姿控發(fā)動(dòng)機(jī)或者安裝在彈頭質(zhì)心側(cè)面的軌控發(fā)動(dòng)機(jī)來產(chǎn)生直接力，通過力矩(姿控方式)或力(軌控方式)的效果改變導(dǎo)彈姿態(tài)和軌跡，控制導(dǎo)彈飛行。側(cè)向推力的產(chǎn)生方式一般有兩種:一種是有公共燃燒室，通過幾個(gè)噴管噴出的燃?xì)饬鳟a(chǎn)生直接力;另一種是利用多個(gè)脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生直接力，脈沖發(fā)動(dòng)機(jī)的推力是不可調(diào)的。

本文所設(shè)計(jì)的攔截彈采用具有公共燃燒室的軌控直接力裝置。為提高軌控發(fā)動(dòng)機(jī)的利用效率，減小攔截彈的能量消耗，僅在末制導(dǎo)階段采用直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制方案，且在升力或側(cè)向力不足以提供導(dǎo)彈所需機(jī)動(dòng)過載時(shí)，軌控直接力發(fā)動(dòng)機(jī)工作，提供攔截彈額外所需過載。直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制框圖如圖2 所示。

圖2 直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制框圖

當(dāng)導(dǎo)彈開始進(jìn)入末制導(dǎo)階段，即當(dāng)彈－目距離小于導(dǎo)引頭最大探測距離Rd時(shí)，開啟直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制系統(tǒng)。當(dāng)制導(dǎo)指令nc超過氣動(dòng)力提供的最大過載值nam，由軌控直接力補(bǔ)充提供導(dǎo)彈所需機(jī)動(dòng)過載。naero為導(dǎo)彈產(chǎn)生的氣動(dòng)過載值，naero和nam由氣動(dòng)數(shù)據(jù)插值得到，nd為采用過載指令分配策略得到軌控直接力需要提供的機(jī)動(dòng)過載值，然后可由nd計(jì)算出所需軌控直接力裝置提供的推力大小，nd計(jì)算公式如式(11)所示，其中nmax為直接力/氣動(dòng)力系統(tǒng)所能提供的最大機(jī)動(dòng)過載值，ndmax為直接力單獨(dú)作用時(shí)所能提供的最大過載值。

同時(shí)，為保證攔截彈末段能精確命中目標(biāo)，使視線角速率快速收斂，因此導(dǎo)彈攔截末段采用經(jīng)典比例導(dǎo)引，其具體形式可參閱文獻(xiàn)［14］。設(shè)置導(dǎo)引律切換條件為R=Rd，則攔截導(dǎo)彈制導(dǎo)指令加速度可表示為

4 飛行對抗數(shù)值仿真與分析

以某型臨近空間飛行器為攔截目標(biāo)，通過彈道反設(shè)計(jì)技術(shù)得到臨近空間飛行器的彈道數(shù)據(jù)。采用本文的制導(dǎo)與控制方法，進(jìn)行導(dǎo)彈與目標(biāo)的攻防對抗飛行仿真。設(shè)置導(dǎo)彈初始位置坐標(biāo)(2 050，10，0)km，初始速度500 m/s，采用二級發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù);設(shè)置目標(biāo)初始位置(0，0，0)km，初始速度為0 m/s，假設(shè)載機(jī)距離臨近空間飛行器1 500 km 時(shí)開始發(fā)射導(dǎo)彈。設(shè)置制導(dǎo)律參數(shù):k1=5，k2=0.002，ε1=10，ε2=10，δ1=0.01，δ2=0.01，τ =0.01 s，Rd=50 km，仿真結(jié)果如圖3 ～15 所示。仿真結(jié)果分析:

圖3 導(dǎo)彈和目標(biāo)三維飛行軌跡

圖4 導(dǎo)彈和目標(biāo)飛行軌跡在鉛垂面內(nèi)和水平面內(nèi)投影

圖5 導(dǎo)彈推力與質(zhì)量隨飛行時(shí)間的變化

圖6 導(dǎo)彈飛行速度

圖7 目標(biāo)飛行速度

圖8 目標(biāo)軌跡傾角和偏航角

圖9 導(dǎo)彈軌跡傾角和偏航角

圖10 視線高低角和視線方位角

圖11 視線高低角和視線方位角角速率

圖12 導(dǎo)彈和目標(biāo)距離變化率和距離值

圖13 導(dǎo)彈法向和側(cè)向過載

圖14 導(dǎo)彈氣動(dòng)力過載

圖15 導(dǎo)彈軌控直接力

(1)由圖3 ～4 知，臨近空間飛行器目標(biāo)在鉛垂面內(nèi)發(fā)射后迅速爬升至70 km 高度，之后進(jìn)入程序制導(dǎo)階段，在鉛垂面內(nèi)做跳躍機(jī)動(dòng)，同時(shí)在水平面內(nèi)也做機(jī)動(dòng)飛行。導(dǎo)彈捕獲目標(biāo)信息后，跟蹤目標(biāo)軌跡飛行，彈道較為平直，波動(dòng)起伏小，在目標(biāo)下壓攻擊段將其成功攔截，攔截點(diǎn)高度約為10 km。

(2)由圖5 ～6 知，攔截彈采用二級發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)，一級發(fā)動(dòng)機(jī)比沖為315.3 s，工作時(shí)間為88 s，二級發(fā)動(dòng)機(jī)比沖為238 s，工作時(shí)間為23 s，攔截彈經(jīng)兩次加速后達(dá)到最大速度約12Ma。

(3)由圖7 ～8 知，臨近空間飛行器目標(biāo)同樣采用二級發(fā)動(dòng)機(jī)技術(shù)，最大飛行速度約8Ma，在飛行約400 s 時(shí)被導(dǎo)彈捕獲，最終在飛行約805 s 后被導(dǎo)彈攔截。目標(biāo)軌跡傾角在－90°～90°之間變化，其中跳躍機(jī)動(dòng)段軌跡傾角在－20°～20°之間變化。

(4)由圖9 ～15 知，導(dǎo)彈在整個(gè)飛行過程中法向過載和側(cè)向過載均較小，視線角的變化幅度和變化率也較小，彈道比較平直。僅在飛行末段，由于目標(biāo)迅速下壓機(jī)動(dòng)，導(dǎo)彈所需機(jī)動(dòng)過載迅速增加，視線角和彈道角都有明顯變化，在導(dǎo)彈氣動(dòng)力不足以提供導(dǎo)彈所需機(jī)動(dòng)過載時(shí)，軌控發(fā)動(dòng)機(jī)工作，提供最大的軌控直接力約為20 kN，采用直接力/氣動(dòng)力復(fù)合控制技術(shù)控制導(dǎo)彈精確命中目標(biāo)。

5 結(jié) 論

基于滑模變結(jié)構(gòu)理論，本文設(shè)計(jì)了隨目標(biāo)跳躍幅度變化率和彈－目距離自適應(yīng)變化的滑模趨近律，推導(dǎo)了三維平面內(nèi)的攔截彈滑模變結(jié)構(gòu)制導(dǎo)律。采用軌控直接力控制技術(shù)，給出了直接力/氣動(dòng)力的分配方案。以一高超音速跳躍式機(jī)動(dòng)突防臨近空間飛行器為攔截目標(biāo)，進(jìn)行彈－目攻防對抗飛行仿真，飛行對抗仿真結(jié)果表明，該制導(dǎo)律與控制策略能夠使攔截彈精確命中高速、大機(jī)動(dòng)臨近空間飛行器等突防目標(biāo)，同時(shí)攔截彈的彈道平緩，需用過載和能量消耗均較小。

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