關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

牟建英

（甘肅省禮縣職業(yè)中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校甘肅禮縣742200）

關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題

牟建英

（甘肅省禮縣職業(yè)中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校甘肅禮縣742200）

幾何圖形的對(duì)稱(chēng)是美觀的，又是基本的、常見(jiàn)的、重要的。下面是解析幾何中點(diǎn)與直線(xiàn)的四種對(duì)稱(chēng)問(wèn)題及其解法。

關(guān)于點(diǎn)直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)

一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)

若求點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C，即可根據(jù)點(diǎn)B是A、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出。

例1求出點(diǎn)A（1，3）關(guān)于點(diǎn)B（-3，2）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C

解設(shè)點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C（x0，y0），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

故對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-7，1）

二、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)

求點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，用垂直、平分兩條件列方程組求解較簡(jiǎn)單。

設(shè)點(diǎn)P1（x1，y1）關(guān)于直線(xiàn)l：Ax+By+C=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2（x2，y2），P1P2的中點(diǎn)P0（x0，y0），根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可用x，y表示x0，y0，又P0在直線(xiàn)l上，可得到關(guān)于x，y的一個(gè)方程，再根據(jù)直線(xiàn)P1P2的斜率與直線(xiàn)l的斜率存在互為負(fù)倒數(shù)關(guān)系，得到另一個(gè)方程，聯(lián)立方程組可以求出P2坐標(biāo)。

由此可得P2坐標(biāo)。

例2已知直線(xiàn)l：3x-y+3=0，求點(diǎn)P（4，5）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。

解設(shè)點(diǎn)P（4，5）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′（x′，y′），則PP′⊥l且PP′的中點(diǎn)在直線(xiàn)l上。

故P′（-2，7）為所求的點(diǎn)。

三、直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)

（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，運(yùn)用“軌跡法”求解。

設(shè)直線(xiàn)Ax+By+C=0上的任意一點(diǎn)P1（x1，y1）關(guān)于點(diǎn)P0（x0，y0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2（x2，y2），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得出x2，y2與x1，y1的關(guān)系式，進(jìn)而用x2，y2表示出x1，y1，再將x1，y1代入直線(xiàn)Ax+By+C=0，即可得P2所在直線(xiàn)方程。

（2）利用線(xiàn)線(xiàn)平行及點(diǎn)到兩直線(xiàn)距離相等求解。

例3求直線(xiàn)l1：2x-y+1=0關(guān)于點(diǎn)P（2，1）的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)l2的方程。

解法1設(shè)直線(xiàn)l2上任意一點(diǎn)為P1（x1，y1），則它關(guān)于P（2，1）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P2（x2，y2）。

從而有P2的坐標(biāo)為（4-x1，2-y1）

又因P2在直線(xiàn)l1：2x-y+1=0上，可得2（4-x1）-（2-y1）+1=0

化簡(jiǎn)可得l2：2x-y-7=0

解法2因l1與l2關(guān)于點(diǎn)P（2，1）對(duì)稱(chēng)，所以l1∥l2故設(shè)直線(xiàn)l2的方程為：

解得C=-7或C=-1（舍去）

故所求的直線(xiàn)l1的方程為：2x-y-7=0

四、直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)

直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)有以下三種解法，都運(yùn)用了幾何性質(zhì)。

1.利用P與P′是一對(duì)“相關(guān)點(diǎn)”的性質(zhì)求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，這是求曲線(xiàn)關(guān)于關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)方程的常用方法。

若求直線(xiàn)l1關(guān)于直線(xiàn)l2對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程l，先設(shè)出l1上任一點(diǎn)P（x0，y0），點(diǎn)P關(guān)于l2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)Q（x，y），再由PQ中點(diǎn)在l2上得到關(guān)于x，y的一個(gè)方程，由PQ斜率與l2斜率互為負(fù)倒數(shù)得到第二個(gè)方程，聯(lián)立方程組，解出x0，y0代入直線(xiàn)l1方程，整理可得直線(xiàn)l方程。

2.利用轉(zhuǎn)化求解，即線(xiàn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)。

3.利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離求解，

例4求直線(xiàn)l1：x-y-2=0關(guān)于直線(xiàn)l：x+2y=1=0對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)l2的方程。

解法1設(shè)直線(xiàn)l2上的動(dòng)點(diǎn)P（x，y）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（x′，y′）

因點(diǎn)P′（x′，y′）在直線(xiàn)l1上

化簡(jiǎn)得直線(xiàn)l2的方程為：7x-y-8=0

解法2在直線(xiàn)l1上取一點(diǎn)（2，0），運(yùn)用例2介紹的方法，可求得關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

直線(xiàn)l2過(guò)點(diǎn)P′與Q，有兩點(diǎn)式并化簡(jiǎn)可得直線(xiàn)l2的方程為：7x-y-8=0

解法3先求出直線(xiàn)l1與l2的交點(diǎn)Q（1，-1），再設(shè)直線(xiàn)l2的方程為：

y+1=k（x-1）即kx-y-1=0

由對(duì)稱(chēng)關(guān)系可知直線(xiàn)l上的點(diǎn)到直線(xiàn)l1與l2的距離相等解得k=7或k=1（舍去）

故所求直線(xiàn)l2的方程為：7x-y-8=0

總之，以上主要講解了點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)、直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)、直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題。而點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)、點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)是最基本的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，是解決其它對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的基礎(chǔ)。