吳振,戴繼生,2,朱湘臨,趙德安
(1.江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江212013;2.東南大學(xué)移動通信國家重點實驗室,江蘇南京210096)
互耦效應(yīng)下一種基于實值稀疏表示的波達方向估計算法
吳振1,戴繼生1,2,朱湘臨1,趙德安1
(1.江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院,江蘇鎮(zhèn)江212013;2.東南大學(xué)移動通信國家重點實驗室,江蘇南京210096)
針對未知互耦條件下的波達方向(DOA)估計問題,提出了一種未知互耦條件下基于實值稀疏表示的加權(quán)子空間DOA估計算法。新算法利用一個特定的酉變換矩陣,將一個復(fù)雜的復(fù)值優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個實值優(yōu)化問題,從而有效地將原問題的計算復(fù)雜度減少4倍以上。此外,為了進一步提高稀疏表示的估計算法估計精度,在原有l(wèi)1范數(shù)優(yōu)化模型基礎(chǔ)上引入一個能使得DOA估計方差取得最小值的最優(yōu)子空間加權(quán)矩陣。仿真實驗表明,在低信噪比情況下,新算法能進一步提高稀疏表示的估計算法抗噪能力,獲得更好的估計精度。
信息處理技術(shù);波達方向估計;稀疏表示;互耦;均勻線陣
波達方向(DOA)估計作為陣列信號處理的一個重要分支,已廣泛應(yīng)用于雷達、聲納、通信、地震勘探、射電天文以及生物醫(yī)學(xué)工程等多個領(lǐng)域[1-3]?;谧涌臻g的DOA估計算法(MUSIC、ESPRIT、root-MUSIC,WSF等)在較高信噪比、較多快拍數(shù)的條件下具有較好的估計性能,但在非理想(比如低信噪比、少量快拍數(shù))情況下,此類算法性能將損失嚴重。稀疏表示作為一種新穎的數(shù)據(jù)處理方法,近年來得到了國內(nèi)外學(xué)者的極大關(guān)注?;谙∈璞硎镜腄OA估計算法與其他估計算法相比,具有所需快拍數(shù)小、在低信噪比下具有良好的抗噪性、適用相干信號等優(yōu)點[4-5]。
稀疏表示估計算法也存在一些不足:與大多數(shù)子空間估計算法一樣,其估計性能很大程度上取決于陣列流型是否精確已知。在實際的工程應(yīng)用中,不可避免地要面臨多種流型誤差的影響(如陣元幅相誤差、陣元位置誤差、陣元間互耦效應(yīng)等),這些誤差將使得未經(jīng)校準處理的DOA估計算法的性能嚴重惡化,甚至失效[6-10]。為對抗陣元間的互耦效應(yīng),Dai等提出了一種未知互耦條件下的稀疏表示的DOA估計算法[6]。該算法能夠消除未知互耦因素帶來的不利影響,提高DOA估計的性能。然而該算法需要求解一個復(fù)數(shù)域上的關(guān)于l1范數(shù)的優(yōu)化問題,其計算復(fù)雜量較高。
注意到一次復(fù)數(shù)乘法運算需要4次實數(shù)乘法運算和兩次實數(shù)加法運算,因此,復(fù)數(shù)實值化將帶來計算復(fù)雜度上的巨大優(yōu)勢。受此啟發(fā),本文擬提出一種未知互耦條件下基于實值稀疏表示的加權(quán)子空間(WSF)DOA估計算法。與文獻[6]所提算法相對比,新算法的創(chuàng)新之處在于:1)采用了實值變換矩陣,有效地將計算復(fù)雜度減少4倍以上;2)在目標(biāo)函數(shù)中引入了一個最優(yōu)子空間加權(quán)矩陣,有助于進一步減小DOA估計的方差。因此,新算法是文獻[6]所提算法的一個重要推廣,其既有助于提高DOA估計性能,又能有效地降低算法計算復(fù)雜度。
考慮K個波達方向為θ1,θ2,…,θK的窄帶互不相關(guān)信號sk(t)(k=1,2,…,K)從遠場入射到由M個陣元組成的均勻線陣(ULA)上,其中信號波長為λ.若假設(shè)相鄰陣元間距為d,則未知互耦條件下陣列的輸出信號r(t)為
式中:r(t)=[r1(t),r2(t),…,rM(t)]T;s(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T;n(t)=[n1(t),n2(t),…,nM(t)]T;A=[α(θ1),α(θ2),…,α(θK)];α(θk)=[1,ejφ(θk),…,ej(M-1)φ(θk)]T,φ(θk)=(-2πd/λ)·sin(θk).n(t)是一個零均值方差為的廣義高斯隨機過程。矩陣C為ULA所對應(yīng)的互耦矩陣,其互耦系數(shù)與陣元間距呈反比:足夠遠的兩陣元間互耦系數(shù)近似為0,且間距相同的兩陣元間互耦系數(shù)相同。因此,ULA的互耦矩陣可以用一個帶狀的對稱Toepliz矩陣來描述。若模型只考慮m個陣元之間的相互作用,則互耦矩陣C[7-12]可表示為
式中:Toepliz(c)表示由矢量c構(gòu)成的對稱Toepliz矩陣,c為2M-1維矢量,且有
為了便于分析,簡要介紹一下無互耦效應(yīng)下的稀疏表示的DOA估計算法(詳見文獻[4])。此時,(1)式為
由第2節(jié)敘述可知,文獻[4]所提算法沒有考慮互耦效應(yīng)帶來的不利影響。本節(jié)將提出一種未知互耦條件下基于實值稀疏表示的加權(quán)子空間DOA估計算法。與(5)式類似,未知互耦條件下,(1)式可表示為
由于C為未知矩陣,所以(10)式不能直接轉(zhuǎn)換成稀疏表示的形式。為了去除互耦對陣列輸出信號帶來的不利影響,并將(10)式實值化,引入一個常數(shù)矩陣F?[0(M-2m)×mIM-2m0(M-2m)×m]和一個酉變換矩陣QM:當(dāng)M為偶數(shù)時,
當(dāng)M為奇數(shù)時,
式中:I為單位矩陣;J為交換矩陣(反對角線元素全為1,其他元素為0的矩陣),下標(biāo)表示矩陣維數(shù)。(10)式兩邊同時左乘F和QM-2m,得[12]
(13)式中QM-2mFR,和QM-2mFN同為復(fù)矩陣。為了進一步對其實值化,將(13)式改寫成實部和虛部之和的形式,即
根據(jù)實部和虛部分別相等的必要條件,有
若將(15)式寫成矩陣形式,得
根據(jù)(7)式,可類似地處理(16)式,但為了在低信噪比情況下,進一步提高稀疏表示的估計算法抗噪能力,獲得更好的估計精度,不再簡單地用同時右乘(16)式的兩邊,而是根據(jù)加權(quán)子空間理論,采用一個子空間實值加權(quán)矩陣W:
由文獻[13]的定理3可知:對于任意的加權(quán)矩陣W,有
本文所提算法所涉及的l1范數(shù)優(yōu)化問題(23)式與文獻[6]的優(yōu)化問題具有相同的結(jié)構(gòu),主要區(qū)別在于:1)優(yōu)化問題(23)式中所有已知變量和需優(yōu)化的變量均為實值;2)引入了一個子空間實值加權(quán)矩陣,使得DOA估計的方差能取得最小值。由于一次復(fù)數(shù)乘法運算需要4次實數(shù)乘法運算和兩次實數(shù)加法運算,因此,復(fù)變量實值化將帶來計算復(fù)雜度上的巨大優(yōu)勢:直接求解優(yōu)化問題(23)式所需的計算復(fù)雜度僅為求解文獻[6]優(yōu)化問題計算復(fù)雜度的1/4.詳細的討論可參見文獻[12,14-15],這里不在贅述。
本節(jié)中將新算法與文獻[6,8]所提的算法進行比較,從而驗證新算法的有效性。在第1個仿真實驗中,假設(shè)K=2個不相關(guān)信號(θ1=-19.7°,θ2= 10.1°)入射到陣元數(shù)為M=10的ULA上,陣元間距為半波長,僅考慮相鄰陣元間存在互耦效應(yīng),且互耦系數(shù)為0.384 4-0.347 6i,噪聲為零均值的高斯白噪聲。每次實驗均進行200次蒙特卡羅實驗,采用均方根誤差(RMSE)作為DOA估計算法性能的衡量指標(biāo),其定義為
圖1 不同DOA估計算法的RMSE隨著SNR變化的性能曲線Fig.1 RMSE of DOA estimate against SNR among different strategies
為了驗證快拍數(shù)對算法性能產(chǎn)生的影響,在第2個仿真實驗中,在低信噪比情況下進行了RMSE隨快拍數(shù)變化的仿真實驗。除了將SNR設(shè)置為一個固定值(-10 dB),其他實驗條件與仿真實驗1相同。圖2描述了不同DOA估計算法的RMSE隨著快拍數(shù)變化的性能曲線。從圖2可以看出,本文算法性能明顯優(yōu)于其他算法,而且隨著快拍數(shù)的增加,所提算法的DOA估計RMSE逐漸減小,即估計精度逐漸增高。
圖2 不同DOA估計算法的RMSE隨著快拍數(shù)變化的性能曲線Fig.2 RMSE of DOA estimate against snapshots among different strategies
在第3個仿真實驗中,將驗證較少快拍數(shù)情況下算法的角度辨別性能。設(shè)為第k個信號的角度估計值,若,則稱算法能分辨出相鄰的DOA.該仿真實驗假設(shè)有兩個相鄰的不相關(guān)信號(θ1=-2.5°,θ2=3.5°)入射到陣元數(shù)為M=12的均勻線陣上,陣元間距為半波長,快拍數(shù)為50,陣元間互耦系數(shù)設(shè)為c=[1,0.4+0.3i,0.1-0.2i].圖3描述了不同DOA估計算法的分辨率隨著SNR變化的性能曲線。由圖3可以看出,本文所提算法具有較高的角度分辨率。
圖3 不同DOA估計算法的分辨率隨著SNR變化的性能曲線Fig.3 Resolution probability of DOA estimate against SNR among different strategies
針對未知互耦條件下DOA估計算法運算復(fù)雜度較高的問題,本文提出一種未知互耦條件下基于實值稀疏表示的加權(quán)子空間DOA估計算法,該算法利用特定的酉變換矩陣,將一個復(fù)雜的復(fù)值優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成實值優(yōu)化問題,從而有效地降低了計算復(fù)雜度。此外,根據(jù)加權(quán)子空間理論,引入了一個子空間實值加權(quán)矩陣,進一步提高了稀疏表示的估計算法估計精度。本文算法是文獻[6]所提算法的一個重要推廣。理論分析和仿真實驗都驗證了本文所提算法的有效性。
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A Real-valued Sparse Representation Method for DOA Estimation with Unknown Mutual Coupling
WU Zhen1,DAI Ji-sheng1,2,ZHU Xiang-lin1,ZHAO De-an1
(1.School of Electrical and Information Engineering,Jiangsu University,Zhenjiang 212013,Jiangsu,China;2.National Mobile Communications Research Laboratory,Southeast University,Nanjing 210096,Jiangsu,China)
The paper presents a real-valued sparse representation method for DOA estimation in the presence of unknown mutual coupling.Utilizing a certain unitary transformation and taking advantage of the special structure of mutual coupling matrix(MCM)for uniform linear arrays(ULAs),we are able to convert complex-valued manifold matrices of ULAs with unknown mutual coupling into real ones.Due to this transformation,the computational complexity can be decreased by a factor of at least four.Moreover,the proposed method is expected to have a better noise suppression,as it exploits an additional optimal weighting matrix.Thus,the proposed method outperforms the original one,especially when signal-tonoise ratio(SNR)is low.Simulation results verify the efficiency of the proposed method.
information processing technology;direction of arrival estimation;sparse representation;mutual coupling;uniform linear array
TN911.7
A
1000-1093(2015)02-0294-05
10.3969/j.issn.1000-1093.2015.02.015
2013-09-27
國家自然科學(xué)基金項目(61102054);東南大學(xué)移動通信國家重點實驗室開放研究基金項目(2013D08)
吳振(1990—),男,碩士研究生。E-mail:zhenwu.ujs@gmail.com;戴繼生(1982—),男,副教授,碩士生導(dǎo)師。E-mail:jsdai@ujs.edu.cn