兩種供應(yīng)模式下備件協(xié)同訂購策略優(yōu)化研究

王慎，李慶民，李華，阮旻智

（1.海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北武漢430033；2.海軍91115部隊(duì)，浙江舟山316000；3.海軍工程大學(xué)科研部，湖北武漢430033）

兩種供應(yīng)模式下備件協(xié)同訂購策略優(yōu)化研究

王慎1，2，李慶民3，李華1，阮旻智3

（1.海軍工程大學(xué)兵器工程系，湖北武漢430033；2.海軍91115部隊(duì)，浙江舟山316000；3.海軍工程大學(xué)科研部，湖北武漢430033）

備件保障系統(tǒng)補(bǔ)充庫存時(shí)，除實(shí)施常規(guī)補(bǔ)給外，還會采用緊急訂購滿足備件短缺需求，以減少裝備故障停機(jī)時(shí)間。針對上述兩種供應(yīng)模式下多站點(diǎn)訂購策略聯(lián)合優(yōu)化問題，建立了以復(fù)合備件滿足率為約束、單位時(shí)間期望成本為目標(biāo)函數(shù)的協(xié)同訂購解析模型；基于拉格朗日因子和策略迭代方法，給出了一種啟發(fā)式優(yōu)化算法。為模擬備件保障過程，建立了相應(yīng)蒙特卡羅仿真模型，并將解析模型優(yōu)化結(jié)果與遺傳算法優(yōu)化的仿真模型進(jìn)行了對比。結(jié)果分析表明，解析模型不僅能夠提供近似最優(yōu)解，而且具有良好的運(yùn)算效率。

運(yùn)籌學(xué)；備件；協(xié)同訂購；庫存；優(yōu)化

0　引言

隨著軍事裝備自動化、集成化要求不斷提高，裝備故障停機(jī)往往造成昂貴的損失，因此對于備件短缺后延遲供應(yīng)時(shí)間的要求越來越短，僅靠從上級站點(diǎn)常規(guī)補(bǔ)給的方法已經(jīng)無法滿足任務(wù)執(zhí)行需要。相關(guān)資料顯示，在3種主要停機(jī)因素中，等待備件所造成的停機(jī)時(shí)間已經(jīng)超過修復(fù)性維修和預(yù)防性維修停機(jī)的總時(shí)間，成為制約裝備戰(zhàn)備完好性提高的瓶頸［1］。這就需要裝備使用現(xiàn)場除平時(shí)向后方倉庫進(jìn)行常規(guī)訂購?fù)?，還應(yīng)在庫存?zhèn)浼倘睍r(shí)，由應(yīng)急保障站點(diǎn)進(jìn)行緊急補(bǔ)貨，以減少裝備停機(jī)帶來的經(jīng)濟(jì)及機(jī)會損失，即實(shí)施常規(guī)補(bǔ)給依靠后方倉庫、庫存不足時(shí)由應(yīng)急保障站點(diǎn)緊急供應(yīng)的復(fù)合式備件保障策略。

與常規(guī)補(bǔ)給相比，緊急供應(yīng)需要增加保障設(shè)施，具有較短的訂購提前期和額外的成本。目前，針對該模式下的備件訂購問題，國內(nèi)外學(xué)者已進(jìn)行了一定研究。Moinzadeh等［2］針對連續(xù)檢查策略下單級庫存系統(tǒng)，第一次提出了常規(guī)補(bǔ)給及緊急供應(yīng)中再訂購點(diǎn)和再訂購量的聯(lián)合優(yōu)化問題，并使用枚舉法進(jìn)行求解；Johansen等［3］在最多只有一個(gè)未交付常規(guī)訂單的假設(shè)下，將凈庫存量及未交付訂單剩余時(shí)間作為系統(tǒng)狀態(tài)，采用半馬爾可夫決策過程對緊急供應(yīng)的訂購策略進(jìn)行優(yōu)化；Axsater［4］放寬Johansend模型中假設(shè)條件，給定常規(guī)補(bǔ)給再訂購點(diǎn)和再訂購量，采用啟發(fā)式算法求解緊急訂購的觸發(fā)條件和訂購數(shù)量。Van Wijk等［5］、Howard等［6］指出可根據(jù)備件短缺發(fā)生的規(guī)律，選取恰當(dāng)?shù)木o急訂購啟動時(shí)機(jī)，預(yù)防常規(guī)補(bǔ)給交付前庫存不足事件的發(fā)生。Kranenburg等［7］在庫存部分共享的假設(shè)下，對同級站點(diǎn)間緊急橫向轉(zhuǎn)運(yùn)問題展開研究；Kutanoglu等［8］、Purnomo等［9］放寬可修復(fù)備件控制多級技術(shù)（METRIC）中僅有一個(gè)供貨站點(diǎn)的假設(shè)，建立了橫向庫存調(diào)整和后方補(bǔ)貨兩種緊急供應(yīng)模式并存的多渠道庫存模型。上述文獻(xiàn)將應(yīng)急保障站點(diǎn)當(dāng)作無限備件源，僅對單個(gè)站點(diǎn)訂購策略或同級站點(diǎn)間庫存橫向調(diào)整問題進(jìn)行了研究。在供應(yīng)鏈協(xié)同訂購優(yōu)化方面，Axsater等［10］建立了兩級庫存系統(tǒng)再訂購點(diǎn)協(xié)同優(yōu)化模型。阮旻智等［11］在隨機(jī)延誤時(shí)間假設(shè)下，對多站點(diǎn)備件協(xié)同訂購模型進(jìn)行了研究。王慎等［12］在串件拼修條件下，對備件維修供應(yīng)系統(tǒng)中庫存動態(tài)配置管理問題展開研究。上述文獻(xiàn)僅考慮了常規(guī)補(bǔ)給下多級保障系統(tǒng)庫存協(xié)同控制問題。

盡管國內(nèi)外學(xué)者在相關(guān)領(lǐng)域已取得了一些研究進(jìn)展，但在建立模型時(shí)僅考慮多供應(yīng)模式、多等級、多參數(shù)等因素中某一方面，而工程實(shí)踐中這些因素往往是共同出現(xiàn)的。比如，應(yīng)急保障站點(diǎn)對多個(gè)基層級站點(diǎn)提供緊急補(bǔ)貨服務(wù)時(shí)，自身也需要向后方倉庫進(jìn)行備件訂購；某個(gè)基層級站點(diǎn)的訂購策略選擇會影響到應(yīng)急保障站點(diǎn)的庫存狀態(tài)，進(jìn)而影響到其他基層級站點(diǎn)的服務(wù)水平。這就需要在管理人員在確定庫存控制參數(shù)時(shí)，考慮整個(gè)保障系統(tǒng)內(nèi)訂購策略的耦合關(guān)系。為解決該問題，本文針對后方倉庫、應(yīng)急保障站點(diǎn)及裝備使用現(xiàn)場組成的備件供應(yīng)系統(tǒng)，在常規(guī)補(bǔ)給與緊急補(bǔ)貨兩種供應(yīng)模式下，對多級站點(diǎn)再訂購點(diǎn)、再訂購量聯(lián)合優(yōu)化問題展開研究。

1　問題描述及假設(shè)

基層級（裝備使用現(xiàn)場）、中繼級（應(yīng)急保障站點(diǎn)）、后方倉庫組成的備件保障系統(tǒng)如圖1所示。設(shè)任一基層級站點(diǎn)j的備件需求率服從參數(shù)為λj的泊松分布，采用常規(guī)供應(yīng)依靠后方倉庫、備件短缺時(shí)由中繼級緊急補(bǔ)貨的復(fù)合式訂購策略：定義庫存水平IL為“現(xiàn)有庫存OH+待收訂單-備件短缺數(shù)”?；鶎蛹塲在日常運(yùn)作中連續(xù)檢查自身庫存水平ILj，當(dāng)ILj隨備件消耗下降至再訂購點(diǎn)Rj時(shí)，向后方倉庫發(fā)出訂購量為Qj的備件需求；訂購提前期內(nèi)若發(fā)生現(xiàn)有庫存不足（OHj＜0）事件，則立刻向中繼級發(fā)送補(bǔ)貨申請，中繼級在現(xiàn)有庫存大于0時(shí)就以緊急供應(yīng)模式將備件發(fā)送到相應(yīng)站點(diǎn)。在保障基層級站點(diǎn)的同時(shí)，中繼級也采用（R0，Q0）的訂購策略，當(dāng)庫存水平IL0下降到R0時(shí)，向后方倉庫發(fā)出訂購量為Q0的訂購申請。設(shè)后方倉庫的庫存量足夠大，不會因庫存不足而產(chǎn)生補(bǔ)給延誤，基層級備件消耗及訂購過程示意如圖2所示。

在上述過程中，雖然由基層級站點(diǎn)看來，被緊急供應(yīng)滿足的需求同樣是在本站點(diǎn)延遲交付，但從常規(guī)供應(yīng)管理者角度，這些需求已經(jīng)轉(zhuǎn)運(yùn)到中繼級，不再由未來的常規(guī)訂單滿足。因此，在建立各站點(diǎn)（R，Q）策略時(shí)，基層級庫存水平定義為“現(xiàn)有庫存+待收常規(guī)訂單”，不考慮備件短缺數(shù)和未交付緊急供應(yīng)訂單；中繼級庫存水平仍為“現(xiàn)有庫存+待收訂單-備件短缺數(shù)”。

2　成本及滿足率模型

協(xié)同訂購策略優(yōu)化的目標(biāo)是在服務(wù)水平指標(biāo)約束下，合理規(guī)劃各級站點(diǎn)訂購方案，令系統(tǒng)長期運(yùn)行費(fèi)用最低。備件滿足率是指單位時(shí)間內(nèi)庫存滿足需求數(shù)與總需求量之比的期望值，是衡量備件供應(yīng)服務(wù)水平的典型指標(biāo)［1］。本節(jié)首先以聯(lián)合訂購策略為優(yōu)化變量，分別建立系統(tǒng)及各級站點(diǎn)的單位時(shí)間期望成本和基層復(fù)合滿足率模型。可表示為

式中：（R0，Q0）表示中繼級站點(diǎn)的訂購策略；（Rj，Qj），j=1，…，N為N個(gè)基層級站點(diǎn)的訂購策略。設(shè)G、g0、gj分別為系統(tǒng)、中繼級、基層級的單位時(shí)間期望成本。因基層級與中繼級訂購策略相互耦合，從而g0為所有站點(diǎn)訂購策略的函數(shù)，則G可表示為

基層級平時(shí)消耗庫存?zhèn)浼瑤齑娌蛔銜r(shí)由中繼級緊急補(bǔ)貨。因此，基層復(fù)合滿足率EFR定義為單位時(shí)間內(nèi)自身庫存、緊急供應(yīng)滿足需求的比率，同樣為的函數(shù)。設(shè)ωj（Rj，Qj）為基層庫存滿足率、為中繼庫存滿足率，易知基層復(fù)合滿足率可表示為

下面對（2）式與（3）式中基層及中繼級成本、滿足率計(jì)算公式進(jìn)行推導(dǎo)。

圖1　多級備件保障系統(tǒng)Fig.1 Multi-echelon support system for spare parts

圖2　基層級備件消耗及訂購過程Fig.2 Demand and ordering process of spare parts in base site

2.1基層級成本及滿足率計(jì)算

規(guī)定基層級j訂購策略滿足Rj＜Qj的約束條件，則由第1節(jié)中基層級備件消耗、訂購過程及泊松需求可知，基層級庫存水平是以Rj+Qj為常返態(tài)的更新過程。相鄰兩次Rj+Qj狀態(tài)之間的時(shí)間為一個(gè)訂購周期。根據(jù)更新過程理論，只需以訂購周期內(nèi)參數(shù)期望值為研究對象，即可求得基層級成本和滿足率的計(jì)算公式。

訂購周期可分為備件消耗期和訂購提前期兩個(gè)階段。備件短缺事件僅會發(fā)生在訂購提前期內(nèi)。發(fā)生備件短缺時(shí)，需求將轉(zhuǎn)運(yùn)至中繼級。設(shè)基層級j常規(guī)訂購提前期為Lj，提前期內(nèi)緊急供應(yīng)的備件期望數(shù)為ELS（Rj）.因基層級需求服從參數(shù)為λj的泊松分布，則ELS（Rj）可由（4）式計(jì)算：

根據(jù)ELS（Rj），可得訂購周期初始時(shí)刻的現(xiàn)有庫存期望值E（OHj）表達(dá)式為

因訂購周期初始時(shí)刻的現(xiàn)有庫存與訂購周期內(nèi)總需求相互獨(dú)立，訂購周期初始時(shí)刻交付的備件中單件產(chǎn)品的平均持有時(shí)間可表示為E（OHj）/λj+ Qj/2λj.因此，訂購周期內(nèi)的期望庫存持有成本EHC即為

設(shè)pj為單個(gè)產(chǎn)品單位時(shí)間短缺造成的損失，為緊急供應(yīng)產(chǎn)生的固定費(fèi)用（運(yùn)輸、管理成本等），tj為緊急供應(yīng)需要的備件等待時(shí)間，則單個(gè)產(chǎn)品緊急供應(yīng)費(fèi)用πj可表示為

設(shè)hj為單個(gè)產(chǎn)品單位時(shí)間庫存持有費(fèi)用，Aj為固定訂購費(fèi)用，則基層級站點(diǎn)j訂購周期內(nèi)期望成本Cj（Rj，Qj）可表示為

因訂貨周期內(nèi)的期望需求數(shù)為Qj+ELS（Rj），則訂購周期期望長度Tj（Rj，Qj）可表示為

根據(jù)更新過程理論可知，庫存站點(diǎn)單位時(shí)間期望成本gj（Rj，Qj）可表示為訂購周期內(nèi)期望成本Cj（Rj，Qj）與訂購周期期望長度Tj（Rj，Qj）之比，即

由gj（Rj，Qj）定義可知，gj（Rj，Qj）中因需求轉(zhuǎn)運(yùn)至中繼級造成的損失為“πj×基層j單位時(shí)間內(nèi)平均缺貨數(shù)”。將該值除以“πj×基層j單位時(shí)間內(nèi)平均需求數(shù)”，即為（Rj，Qj）策略下基層庫存保障失敗的比例。而gj（Rj，Qj）中緊急供應(yīng)費(fèi)用可分離為bj·ELS（Rj）/Tj（Rj，Qj），因此基層庫存滿足率ωj（Rj，Qj）表示為

2.2中繼級成本及滿足率計(jì)算

基層級在庫存不足時(shí)，會將需求發(fā)送至中繼級。建模時(shí)將這一備件申請過程近似為泊松過程，則中繼級備件需求率λ0可表示為

從裝備使用角度出發(fā)，中繼級備件短缺不會直接產(chǎn)生損失，其損失是因基層級短缺而間接產(chǎn)生的。中繼級發(fā)生的備件短缺中，只有一定比例會對基層級j產(chǎn)生影響，其計(jì)算公式為

因此，中繼級單個(gè)產(chǎn)品單位時(shí)間內(nèi)短缺損失p0可表示為

在上述近似下，中繼級站點(diǎn)可用單站點(diǎn)（R，Q）策略下庫存模型進(jìn)行建模。定義中繼級凈庫存NI0為“現(xiàn)有庫存-備件短缺數(shù)”，設(shè)IL0為中繼級庫存水平、L0為訂購提前期，則在穩(wěn)態(tài)情況下有

（15）式中D（L0）為訂購提前期內(nèi)備件需求數(shù)，則在IL0=n條件下有

設(shè)C0（n）為IL0=n條件下單位時(shí)間內(nèi)庫存持有及短缺成本、h0為單個(gè)產(chǎn)品單位時(shí)間內(nèi)持有費(fèi)用，則

穩(wěn)態(tài)情況下IL0滿足［R0+1，R0+Q0］上的均勻分布，設(shè)g0（R0，Q0）為中繼級單位時(shí)間內(nèi)期望成本，則

需求近似為泊松過程，則中繼級庫存滿足率ω0等于中繼級凈庫存大于0的概率［3］，即

至此，將（1）式～（19）式聯(lián)立，即可得到保障系統(tǒng)單位時(shí)間期望成本及基層級復(fù)合滿足率計(jì)算公式。

3　模型優(yōu)化算法

3.1協(xié)同訂購策略優(yōu)化

由（3）式可知，當(dāng)中繼級滿足率ω0給定時(shí)，基層級站點(diǎn)j訂購策略選擇將不會影響到其他站點(diǎn)的復(fù)合滿足率。因此，分兩個(gè)階段對模型進(jìn)行迭代求解：首先給定中繼級滿足率為，在基層庫存滿足率ωj約束下，以各站點(diǎn)成本函數(shù)最小化為目標(biāo)，分別求得各站點(diǎn)最優(yōu)策略；其次，將前一階段得到的最優(yōu)策略作為各站點(diǎn)訂購策略，以為約束，求得此時(shí)中繼級最優(yōu)策略（R0， Q0）及系統(tǒng)總成本，并與上輪計(jì)算的系統(tǒng)成本比較，較小值對應(yīng)各站點(diǎn)策略即為當(dāng)前最優(yōu)策略。循環(huán)迭代上述過程，直至遍歷完ω0的全部取值范圍。

設(shè)ηmax=max（η1，η2，…，ηN），則根據(jù)（3）式有ω0＞ηmax時(shí)各基層站點(diǎn)自身庫存滿足率ωj=0，即此時(shí)各站點(diǎn)不存儲備件完全依靠中繼轉(zhuǎn)運(yùn)。由此可知ω0的取值范圍不會超過ηmax.選取恰當(dāng)?shù)脑隽喀う?后，具體優(yōu)化算法如下所示：

3.2基層級策略優(yōu)化

協(xié)同訂購策略優(yōu)化算法步驟2中任一基層站點(diǎn)策略優(yōu)化問題，利用（3）式可轉(zhuǎn)化為如下模型（各站點(diǎn)解法相同，下文不再出現(xiàn)標(biāo)識站點(diǎn)的角標(biāo)j）：

因滿足率ω為緊急供應(yīng)費(fèi)用π的單調(diào)不減函數(shù)，可采用以下拉格朗日方法求解該問題：設(shè)π0為基層級規(guī)定的緊急供應(yīng)費(fèi)用，忽略約束條件，計(jì)算π（1）=π0時(shí)的最優(yōu)策略（R（1），Q（1））；將（R（1），Q（1））代入（11）式，檢查當(dāng)前滿足率是否達(dá)到約束條件；若未達(dá)到，增加轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用至π（2），再次計(jì)算π（2）下最優(yōu)策略（R（2），Q（2））.重復(fù)上述過程，直至找到滿足約束條件的最小轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)π（n）.該方法的關(guān)鍵是“如何以g（R，Q）最小為目標(biāo)，對再訂購點(diǎn)R和訂貨量Q進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化求解”。

3.2.1無約束下優(yōu)化算法

基層級在現(xiàn)有庫存為0時(shí)，會將需求轉(zhuǎn)運(yùn)至中繼級。因此可將基層級站點(diǎn)當(dāng)作缺貨不補(bǔ)原則下的（R，Q）庫存模型。當(dāng)前對于這類模型在泊松需求下的優(yōu)化雖然結(jié)果精確，但建模復(fù)雜、運(yùn)算效率低［3］。為此，本節(jié)基于半馬爾可夫決策過程中策略迭代優(yōu)化思想，提出一種簡便的求解方法。設(shè)當(dāng)前策略為（RN，QN）、期望成本為gN，定義策略改善函數(shù)TgN（R，Q）為

若策略（R*，Q*）滿足：

則有g(shù)（R*，Q*）≤gN.為構(gòu)造滿足（23）式的策略，可令（R*，Q*）滿足：

此時(shí)有

即g（R*，Q*）≤gN.為此，對TgN（R，Q）分別關(guān)于R和Q求偏導(dǎo)，并令其等于0，可得

在上述討論的基礎(chǔ)上，給出如下求解步驟：

1）選擇初始策略（RN，QN），根據(jù)（11）式求出gN；

2）將QN、gN代入（25）式，求出相應(yīng)R值，設(shè)其為R*；

3）將R*、gN代入（26）式，求出相應(yīng)Q值，設(shè)其為Q*；

4）利用（11）式，計(jì)算g*=（R*，Q*）.設(shè)e為指定誤差容限，如果|g*-gN|≤e，則迭代停止；否則，令RN=R*，QN=Q*，gN=g*，返回步驟2.

3.2.2滿足率約束下優(yōu)化算法

因滿足率ωπ是π的單調(diào)不減函數(shù)，可以從π0開始逐漸增加轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用π，在不同轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用下使用3.2.1節(jié)迭代方法獲得最優(yōu)策略，直至所得策略滿足約束條件。從實(shí)際計(jì)算過程可知，當(dāng)轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用改變量較小時(shí)，從上一輪轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用的最優(yōu)策略開始，只需很少的迭代次數(shù)就可以找到當(dāng)前優(yōu)化策略。具體算法如下所示：

1）令轉(zhuǎn)運(yùn)費(fèi)用π=π0，選擇費(fèi)用增量Δπ；

2）選擇（RN，QN）為初始策略，使用3.2.1節(jié)迭代算法尋找最優(yōu)策略；

4　仿真模型

基于離散事件仿真工具ExtendSim，建立兩種供應(yīng)模式下多級協(xié)同訂購仿真模型，對不同訂購方案進(jìn)行對比分析。基層級仿真處理流程如圖3所示，仿真開始時(shí)，根據(jù)的輸入值，以服從［R+1， R+Q］均勻分布的隨機(jī)數(shù)，初始化各站點(diǎn)庫存水平IL、凈庫存量NI.仿真過程中，以Create模塊模擬基層站點(diǎn)需求，用Unbatch模塊將需求信號拆分為兩個(gè)線程：每次需求到來時(shí)，常規(guī)供應(yīng)線程檢查當(dāng)前庫存水平，在下降到R時(shí)發(fā)出訂購量為Q的訂購申請；緊急訂購線程檢查現(xiàn)有庫存，在小于0時(shí)將需求轉(zhuǎn)運(yùn)至中繼級。

圖3　基層級模塊仿真處理流程Fig.3 Simulation flow chart of base site module

模型以站點(diǎn)單位時(shí)間成本之和、備件滿足率為輸出。單個(gè)站點(diǎn)成本采用以下方法計(jì)算：用Value庫中DBread模塊讀取當(dāng)前庫存狀態(tài)OH、向后方訂購次數(shù)OrderNum、向中繼轉(zhuǎn)運(yùn)次數(shù)TransNum，用Simulation Variable模塊讀取當(dāng)前仿真時(shí)間TN，可得單位時(shí)間成本統(tǒng)計(jì)公式為

同理，用DBread模塊讀取站點(diǎn)j的庫存滿足需求數(shù)Self_FillNum、中繼級滿足站點(diǎn)j的需求數(shù)Trans _FillNum、站點(diǎn)j的總需求數(shù)TotalNum，則站點(diǎn)j的復(fù)合滿足率EFRj統(tǒng)計(jì)公式為

5　仿真實(shí)驗(yàn)

以圖1所示的保障系統(tǒng)為例，采用仿真實(shí)驗(yàn)方法對所建解析模型進(jìn)行驗(yàn)證分析，首先進(jìn)行實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)計(jì)。規(guī)定中繼級訂購提前期L0=5 d，庫存持有費(fèi)用h0=1 000元，固定訂購費(fèi)用A0=4 000元；5個(gè)基層級站點(diǎn)為同型站點(diǎn)，其備件需求率λj= 0.25個(gè)/d，庫存持有費(fèi)用hj=1 000元，短缺費(fèi)用pj=1 500元。在以上參數(shù)相同的情況下，為基層級訂購提前期Lj、緊急供應(yīng)費(fèi)用πj、固定訂購費(fèi)用Aj、復(fù)合滿足率下限ηj等4個(gè)影響訂購方案較大的參數(shù)選擇兩個(gè)試驗(yàn)水平，最終形成一個(gè)四因素兩水平的全面實(shí)驗(yàn)方案，因素水平表如表1所示。

表1　因素水平表Tab.1 Factors and levels

分別將每個(gè)輸入?yún)?shù)組合代入解析模型和仿真模型進(jìn)行計(jì)算。其中，仿真模型采用遺傳算法優(yōu)化，對各種可能訂購方案進(jìn)行300次仿真，以收斂度0.95為結(jié)束條件。兩種模型在16組參數(shù)下的計(jì)算結(jié)果如表2所示。設(shè)GA、GE分別為解析、仿真優(yōu)化后系統(tǒng)單位時(shí)間期望成本，EFRA、EFRE分別為解析、仿真優(yōu)化后基層平均復(fù)合滿足率，則有成本相對誤差ΔG=（GA-GE）/GE，滿足率誤差ΔEFR= EFRA-EFRE.二者在多次實(shí)驗(yàn)中的變化情況如圖4所示，分析結(jié)果如表3所示：最大偏差不超過2.5%，證明了解析模型的正確性。

上述實(shí)驗(yàn)運(yùn)行在酷睿I3、內(nèi)存4 G的臺式機(jī)上，解析模型平均運(yùn)行時(shí)間為7.1 min，仿真模型平均優(yōu)化時(shí)間為20.3 min.解析模型效率提升約185%，相比仿真方法能夠有效縮短運(yùn)行時(shí)間，且不會出現(xiàn)仿真優(yōu)化中站點(diǎn)增多造成的組合爆炸問題，具有較好的工程實(shí)用性。

表2　不同輸入?yún)?shù)下兩種模型優(yōu)化結(jié)果對比Tab.2 Comparison of optimal solutions of the two models with different parameters

圖4　不同輸入?yún)?shù)下模型誤差Fig.4 Errors of analytical model with different parameters

表3　成本及滿足率誤差分析Tab.3 Error analysis of cost and fill rate%

6　結(jié)論

本文針對兩種供應(yīng)模式下備件協(xié)同訂購問題，首先以聯(lián)合訂購策略為變量，分別建立了單位時(shí)間成本和滿足率的計(jì)算模型；以中繼級滿足率為拉格朗日因子，解除約束條件中的站點(diǎn)耦合關(guān)系，采用策略迭代算法對模型進(jìn)行優(yōu)化求解。為模擬備件保障過程，同時(shí)評估不同訂購方案效能，建立了基于ExtendSim平臺的協(xié)同訂購仿真模型。對比解析模型和仿真模型的優(yōu)化結(jié)果可知：所建解析模型及優(yōu)化算法除精度滿足工程需要外，還具有較高的運(yùn)算效率。以本文實(shí)驗(yàn)為例，解析模型成本平均相對誤差為1.16%，復(fù)合滿足率平均誤差為0.88%，最大值不超過2.5%；平均運(yùn)行時(shí)間為7.1 min，相比仿真優(yōu)化算法（20.3 min），運(yùn)行時(shí)間減少約2倍，當(dāng)站點(diǎn)較多時(shí)，這一優(yōu)勢更加突出。

文中模型豐富了裝備綜合保障理論，能夠?yàn)閺?fù)雜備件保障系統(tǒng)的協(xié)同訂購問題提供決策支持，具有一定的工程實(shí)用價(jià)值。

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）

［1］Sherbrooke C C.Optimal inventory modeling of system：multi-echelon techniques［M］.2nd ed.Boston：Artech House，2004：21-22.

［2］Moinzadeh K，Nahmias S.A continuous review model for an inventory system with two supply modes［J］.Management Science，1988，34（6）：761-767.

［3］Johansen S G，Thorstenson A.An inventory model with Poisson demands and emergency orders［J］.International Journal of Production Economics，1998，56（3）：275-289.

［4］Axsater S.A heuristic for triggering emergency orders in an inventory system［J］.European Journal of Operational Research，2007，176（2）：880-891.

［5］Van Wijk A C C，Van Houtum G J.Optimal allocation policy for a multi-location inventory system with a quick response warehouse［J］.Operations Research Letters，2013，41（3）：305-310.

［6］Howard C，Reijnen I C，Marklund J.Using pipeline information in a multi-echelon spare parts inventory system［R］.Sweden：Lund University and Eindhoven Technical University，2010：12-13.

［7］Kranenburg A A，van Houtum G J.A new partial pooling structure for spare parts networks［J］.European Journal of Operational Research，2009，199（3）：908-921.

［8］Kutanoglu E，Mahajan M.An inventory sharing and allocation method for a multi-location service parts logistics network with time-based service levels［J］.European Journal of Operational Research，2009，194（3）：728-742.

［9］Purnomo A.Multi-echelon inventory model for repairable item emergency with lateral transshipment in retail supply chain［J］. Australian Journal of Basic and Applied Sciences，2011，34（1）：462-474.

［10］Axsater S，Howard C，Marklund J.A distribution inventory model with transshipments from a support warehouse［J］.IIE Transactions，2012，45（3）：309-322.

［11］阮旻智，李慶民，黃傲林.（R，Q）庫存策略下消耗件的協(xié)同訂購方案優(yōu)化［J］.北京理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，33（7）：680-684. RUAN Min-zhi，LI Qing-min，HUANG Ao-lin.Optimization of cooperative ordering project for consumable spare parts under（R，Q）inventory policy［J］.Transactions of Beijing Institute of Technology，2013，33（7）：680-684.（in Chinese）

［12］王慎，李慶民，彭英武.串件拼修對策下兩級備件維修供應(yīng)系統(tǒng)動態(tài)管理模型［J］.航空學(xué)報(bào)，2013，34（6）：1326-1335. WANG Shen，LI Qing-min，PENG Ying-wu.Dynamic management model of two-echelon maintenance supply system for spare parts with cannibalization［J］.Acta Aeronautic et Astronautica Sinica，2013，34（6）：1326-1335.（in Chinese）

Optimal Cooperative Ordering Policy for Spare Parts Inventory with Two Supply Modes

WANG Shen1，2，LI Qing-min3，LI Hua1，RUAN Min-zhi3
（1.Department of Weaponry Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，Hubei，China；2.the 91115th Unit of PLA，Zhoushan 316000，Zhejiang，China；3.Office of Research and Development，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，Hubei，China）

In order to satisfy the demands of inventory system on the spare parts，an emergency order is implemented to cover the shortage of regular order and reduce equipment downtime in case of stock-outs. A cooperative-ordering model，which takes compound fill rate as the constraints and expected cost per unit time as objective function，is established to solve the joint optimization problem for multi-location order policy in the two supply modes.A heuristic algorithm is developed to optimize the proposed model on basis of Lagrangian factor and policy-iteration algorithm.The Monte-Carlo simulation model is presented to prescribe the demand and order behaviors.The analytical model is compared with genetic-algorithmoptimized simulation model in a set of designed experiments.The results show the analytical model derives near-optimal solution and operates with high efficiency.

operations research；spare parts；cooperative order；inventory；optimization

TP391

A

1000-1093（2015）02-0337-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.02.022

2014-06-04

總裝備部預(yù)先研究基金項(xiàng)目（51304010206、51327020105）

王慎（1983—），男，博士研究生。E-mail：wangshen_hust@163.com；李慶民（1957—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：licheng0001@hotmail.com