冷發(fā)射裝備對(duì)地載荷作用下預(yù)設(shè)場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)研究

張震東，馬大為，任杰，何強(qiáng)，朱忠領(lǐng)

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京210094）

冷發(fā)射裝備對(duì)地載荷作用下預(yù)設(shè)場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)研究

張震東，馬大為，任杰，何強(qiáng)，朱忠領(lǐng)

（南京理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇南京210094）

為了研究冷發(fā)射裝備對(duì)地載荷作用下場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)，將對(duì)地載荷視為多圓均布動(dòng)載荷，基于赫茲接觸理論獲得對(duì)地載荷的表達(dá)式。以Winkler地基上雙層板的控制微分方程為基礎(chǔ)，引入雙參數(shù)地基模型中的地基反力，給出雙參數(shù)地基模型上雙層板的運(yùn)動(dòng)微分方程。采用級(jí)數(shù)分解與傅里葉變換相結(jié)合的方法推導(dǎo)單個(gè)圓形載荷下場(chǎng)坪撓度的解析式，利用線性疊加方法，得到多個(gè)圓形均布動(dòng)載荷下場(chǎng)坪下沉量的表達(dá)式。在ADAMS中建立含場(chǎng)坪的發(fā)射裝備動(dòng)力學(xué)模型與Simulink進(jìn)行聯(lián)合求解，獲得各個(gè)接觸區(qū)域圓心處的場(chǎng)坪下沉量，分析結(jié)果表明：底座處的場(chǎng)坪下沉量較大且對(duì)后兩個(gè)支撐盤(pán)處下沉量產(chǎn)生很大影響；支撐盤(pán)之間下沉量的相互影響很小，可忽略。

兵器科學(xué)與技術(shù)；發(fā)射裝備；多圓均布動(dòng)載荷；雙參數(shù)地基上雙層板模型；聯(lián)合求解；場(chǎng)坪下沉量

0　引言

冷發(fā)射裝備對(duì)地載荷通過(guò)支撐盤(pán)、底座傳遞至發(fā)射場(chǎng)坪，場(chǎng)坪在動(dòng)載荷下的響應(yīng)又會(huì)影響到發(fā)射裝備的穩(wěn)定性，最終對(duì)導(dǎo)彈出筒姿態(tài)產(chǎn)生干擾，甚至可能導(dǎo)致導(dǎo)彈發(fā)射失敗，由此可見(jiàn)場(chǎng)坪在動(dòng)載荷下的響應(yīng)具有很高的研究?jī)r(jià)值和實(shí)用價(jià)值。

對(duì)于預(yù)設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射陣地，多為多鋪層的水泥混凝土結(jié)構(gòu)，可采用彈性地基上的矩形板理論分析其在動(dòng)載荷下的響應(yīng)。針對(duì)彈性地基上板的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了許多研究，F(xiàn)ryba［1］分析了移動(dòng)荷載作用下無(wú)限大板撓度的解析解；孫璐等［2］、蔣建群等［3］采用積分變換的方法研究了無(wú)限大板在移動(dòng)載荷作用下的積分形式解，但只分析了單層板的動(dòng)力響應(yīng)；李皓玉等［4］將路面視為粘彈性地基上無(wú)限大雙層板，從而獲得了車輛載荷作用下路面動(dòng)力響應(yīng)解析解。上述文獻(xiàn)中的研究均采用積分變換的方法推導(dǎo)Green函數(shù)，然后通過(guò)Duhamel積分求得板撓度的解析解，這種方法一方面比較復(fù)雜，很難實(shí)現(xiàn)工程應(yīng)用，另一方面將道路視為無(wú)限大板與路面實(shí)際結(jié)構(gòu)不符。為了彌補(bǔ)上述不足，顏可珍等［5］將路面視為無(wú)限長(zhǎng)地基板，分析了運(yùn)動(dòng)常值均布載荷和簡(jiǎn)諧載荷作用下板的動(dòng)力響應(yīng)。在矩形板動(dòng)力響應(yīng)方面，鄭小平等［6］、顏可珍等［7］采用級(jí)數(shù)分解的方法研究了粘彈性地基上矩形板運(yùn)動(dòng)載荷的動(dòng)態(tài)響應(yīng)問(wèn)題。

以上研究只分析了常幅值載荷或簡(jiǎn)諧激勵(lì)載荷等特殊載荷作用下地基板的動(dòng)力響應(yīng)，均沒(méi)有對(duì)多個(gè)任意幅值動(dòng)載荷下場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行分析。本文給出了雙參數(shù)地基上的雙層矩形板的運(yùn)動(dòng)微分方程，采用級(jí)數(shù)分解和傅里葉變換的方法，結(jié)合線性疊加理論，推導(dǎo)了多個(gè)圓形均布動(dòng)載荷下場(chǎng)坪撓度的表達(dá)式。在ADAMS軟件中建立了含場(chǎng)坪的發(fā)射裝備動(dòng)力學(xué)模型并與Simulink進(jìn)行聯(lián)合求解，實(shí)現(xiàn)了發(fā)射裝備與場(chǎng)坪的耦合，得到彈射過(guò)程中接觸面圓心處場(chǎng)坪的下沉量，討論了各個(gè)對(duì)地載荷對(duì)下沉量的影響。

1　基本理論

1.1板的運(yùn)動(dòng)微分方程

發(fā)射場(chǎng)坪采用粘彈性雙參數(shù)地基上雙層矩形板模擬。所建立的含場(chǎng)坪效應(yīng)的發(fā)射裝備仿真模型，如圖1（a）所示。

發(fā)射裝備對(duì)地載荷作用面，如圖1（b）所示，a、b分別為矩形板的長(zhǎng)度、寬度，用L1、L2、L3確定各接觸面的位置關(guān)系。

圖1　計(jì)算模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of calculation model

將場(chǎng)坪上、下面層簡(jiǎn)化為上、下兩層Kirchhoff薄板并假設(shè)兩層薄板之間的接觸狀態(tài)為完全連續(xù)。

文獻(xiàn)［8］推導(dǎo)了Winkler地基上雙層板的控制微分方程為

式中：W為地面的下沉量；mb=ρ1h1+ρ2h2為雙層板的單位面積質(zhì)量，ρ1、ρ2、h1、h2分別為上、下板的密度與厚度；P（x，y，t）為地基反力；D、Dxy為板的彎曲剛度，DK為板的扭轉(zhuǎn)剛度，表達(dá)式［8］分別為

式中：E1、E2分別為上下板的彈性模量；ν1、ν2為上、下板的泊松比；h0為雙層板的中性層距板上表面的距離，表達(dá)式［8］為

對(duì)于雙參數(shù)地基模型，地基反力［9］為

式中：Kh、Kv分別為水平、豎直方向的地基剛度；Hb為雙層板底部至中性面的距離，Hb=h1+h2-h0.

將（3）式代入（1）式并計(jì)入地基阻尼的影響，得到雙參數(shù)地基上雙層板的運(yùn)動(dòng)微分方程為

式中：C為地基阻尼系數(shù)。

1.2對(duì)地載荷數(shù)學(xué)模型

發(fā)射裝備對(duì)地載荷通過(guò)圓形支撐盤(pán)、底座傳遞至發(fā)射場(chǎng)坪，因此載荷作用面為圓形。為簡(jiǎn)化計(jì)算，認(rèn)為載荷在圓形區(qū)域內(nèi)均勻分布。故本文視發(fā)射裝備對(duì)地載荷為多圓形均布動(dòng)載荷，可用（5）式表示：

式中：fj（t）為均布載荷時(shí)變規(guī)律；H（x，y）為Heaviside階躍函數(shù)；rj為第j個(gè)圓的半徑；xj、yj為第j個(gè)圓的圓心坐標(biāo)。

1.3發(fā)射裝備—場(chǎng)坪接觸模型

根據(jù)赫茲非線性阻尼彈簧接觸模型，圓柱體與彈性半空間體相互接觸的兩個(gè)物體可用一個(gè)彈簧與一個(gè)非線性阻尼模型器模擬接觸［10］：

式中：rj為第j個(gè)接觸區(qū)域的半徑；，E0、ν0分別為支撐盤(pán)和底座的彈性模量、泊松比；φ為恢復(fù)系數(shù)；λ為非線性阻尼冪指數(shù)。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，假設(shè)支撐盤(pán)、底座與場(chǎng)坪完全接觸且接觸力在接觸區(qū)域內(nèi)均勻分布，由（6）式可計(jì)算出第j個(gè)均布載荷時(shí)變規(guī)律fj（t）為

式中：Aj為第j個(gè)接觸面的面積。

1.4邊界條件

將場(chǎng)坪視作四邊簡(jiǎn)支地基板，則邊界條件可表示為

2　微分方程求解

2.1單圓均布動(dòng)載荷下板的撓度

為滿足邊界條件，文獻(xiàn)［12］將第j個(gè)載荷引起的板的撓度Wj（x，y，t）表示為三角級(jí)數(shù)形式：

式中：qmn（t）為展開(kāi)系數(shù)；

將載荷函數(shù)同樣展開(kāi)成三角級(jí)數(shù)［12］：

利用三角函數(shù)的正交性，求得

將（5）式代入（11）式，根據(jù)Heaviside階躍函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)化得到：

將（10）式、（11）式代入（4）式，得到下列微分方程：

將（14）式代入（13）式，進(jìn)一步簡(jiǎn)化得到：

對(duì)（15）式進(jìn)行傅里葉變換，可得

將（16）式進(jìn)一步簡(jiǎn)化，得到：

式中：

將（18）式代入（17）式并進(jìn)行逆傅里葉變換，得

將（19）式代入（10）式可得第j個(gè)圓形均布動(dòng)載荷作用下的板的撓度：

2.2多圓均布載荷下板的撓度

板中某點(diǎn)處的撓度應(yīng)是各個(gè)均布載荷下板的動(dòng)力響應(yīng)線性疊加的結(jié)果，采用線性疊加方法可得到某點(diǎn)的下沉量為

Wj（x，y，t）為第j個(gè)對(duì)地載荷作用下某點(diǎn)的下沉量。由于本文為5個(gè)圓形均布動(dòng)載荷，故取l=5.作者在Simulink軟件中分別求出各個(gè)載荷（5個(gè)圓形均布動(dòng)載荷）作用下某個(gè)圓心處場(chǎng)坪的下沉量，并在Simulink軟件中添加求和模塊，將每個(gè)時(shí)刻各個(gè)載荷引起的該圓心處的下沉量進(jìn)行線性疊加，可得到每個(gè)時(shí)刻該圓心處總的下沉量。其余4個(gè)圓心處總的下沉量的求解方法與上述過(guò)程相似。

為計(jì)算方便進(jìn)行坐標(biāo)變換，新坐標(biāo)系O1uvw與原坐標(biāo)系Oxyz坐標(biāo)軸方向一致，原點(diǎn)位于圓心O1處，則兩坐標(biāo)系間存在如下關(guān)系：

在新坐標(biāo)系O1uvw下，（22）式可化為

3　算例分析

為了驗(yàn)證本文所推導(dǎo)的多圓動(dòng)載荷下雙層板撓度解析式的適用性，選取算例進(jìn)行分析。

3.1計(jì)算參數(shù)

本文所需的參數(shù)及其取值，如表1所示。

3.2聯(lián)合求解

由于對(duì)地載荷很難用解析式表示且撓度表達(dá)式解析解求解困難，故采用ADAMS軟件與Simulink軟件聯(lián)合求解的方法進(jìn)行分析。圖2中表示了圓心O1處場(chǎng)坪下沉量的求解過(guò)程，其他4個(gè)圓心處的撓度求解過(guò)程與之類似。

本文在ADAMS軟件中建立含場(chǎng)坪的冷發(fā)射裝備動(dòng)力學(xué)模型，4個(gè)支撐盤(pán)、底座處分別建立場(chǎng)坪，并將每處場(chǎng)坪與ADAMS軟件默認(rèn)的固聯(lián)坐標(biāo)系間分別設(shè)置直線驅(qū)動(dòng)器。調(diào)整發(fā)射裝備與場(chǎng)坪的接觸參數(shù)（接觸剛度、接觸阻尼），利用ADAMS求解發(fā)射裝備與場(chǎng)坪的接觸力，即對(duì)地載荷。在Simulink軟件中建立所推導(dǎo)的撓度解析表達(dá)式（見(jiàn)（20）式），將ADAMS中4個(gè)支撐盤(pán)、底座與場(chǎng)坪的接觸力輸出至Simulink軟件中，通過(guò)Simulink軟件分別求出5個(gè)圓形動(dòng)載荷作用下的每個(gè)接觸面圓心處的撓度，然后將每個(gè)載荷下（本文共有5處）每個(gè)時(shí)刻某個(gè)圓心處的撓度進(jìn)行疊加，就可得到該圓心處每個(gè)時(shí)刻總的下沉量（同理可得到其余4個(gè)圓心處總下沉量），最后將每個(gè)時(shí)刻的總下沉量反饋到含場(chǎng)坪的發(fā)射裝備動(dòng)力學(xué)模型中，具體是將下沉量輸入到ADAMS軟件的直線驅(qū)動(dòng)器中，驅(qū)動(dòng)場(chǎng)坪做直線運(yùn)動(dòng)，以模擬場(chǎng)坪的動(dòng)力響應(yīng)，這樣就會(huì)產(chǎn)生新的接觸力，利用新的對(duì)地載荷進(jìn)行下一步求解，經(jīng)過(guò)ADAMS與Simulink間不斷的數(shù)據(jù)交換，可求解場(chǎng)坪在發(fā)射裝備對(duì)地載荷下的響應(yīng)。同時(shí)也可以看出，上述方法實(shí)現(xiàn)了發(fā)射裝備與場(chǎng)坪的耦合。

3.3結(jié)果分析

由于篇幅限制，本文只給出了圓心O1、圓心O2、圓心O3處場(chǎng)坪撓度變化規(guī)律，并未提供圓心O4、圓心O5處場(chǎng)坪下沉量時(shí)程曲線。

表1　參數(shù)取值Tab.1 Parameter values

圖2　聯(lián)合仿真流程圖Fig.2 Flowchart of co-simulation

3.3.1各圓處對(duì)地載荷

圖3～圖5給出了各個(gè)接觸圓處發(fā)射裝備對(duì)地載荷的時(shí)程曲線。

圖3　圓1處對(duì)地載荷時(shí)程曲線Fig.3 Time-history curve of load at circular region 1

圖4　圓2、圓3處對(duì)地載荷時(shí)程曲線Fig.4Time-history curves of loads at circular regions 2 and 3

通過(guò)分析圖3～圖5可得出以下結(jié)論：

1）由圖4可知，圓2、圓3處對(duì)地載荷在0～0.1 s區(qū)間內(nèi)急劇下降，這是因?yàn)閷?dǎo)彈起豎后待發(fā)射時(shí)，彈重基本上全部由后兩個(gè)支腿承受，致使0 s時(shí)后兩個(gè)支撐盤(pán)對(duì)地載荷很大，然而當(dāng)導(dǎo)彈開(kāi)始運(yùn)動(dòng)后彈重不再由支腿承受，故對(duì)地載荷很快就下降至較小值，此后載荷變化平穩(wěn)且圓2、圓3處對(duì)地載荷差別較小。

2）由于發(fā)射裝備結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，圓4、圓5處對(duì)地載荷變化規(guī)律相近，在0.2～0.4 s區(qū)間內(nèi)圓5處對(duì)地載荷變化比較劇烈，可能由發(fā)射裝備建模時(shí)的誤差引起。

3.3.2圓心O1處場(chǎng)坪下沉量

圖6～圖8分別是5個(gè)接觸圓處發(fā)射裝備對(duì)地載荷作用下圓心O1處場(chǎng)坪下沉量，同時(shí)圖8給出了5個(gè)對(duì)地載荷下O1處5種下沉量疊加后的曲線。

由圖6～圖8可得出以下結(jié)論：

1）通過(guò)分析圖6～圖8，結(jié)合圖3～圖5可知：場(chǎng)坪下沉量的變化規(guī)律與對(duì)地載荷變化規(guī)律一致；

圖5　圓4、圓5處對(duì)地載荷時(shí)程曲線Fig.5 Time-history curves of loads at circular regions 4 and 5

圖6　圓2、圓3處載荷作用下圓心O1處場(chǎng)坪下沉量Fig.6 Settlement of launching site at circle center O1under loads 2 and 3

圖7　圓4、圓5處載荷作用下圓心O1處場(chǎng)坪下沉量Fig.7 Settlement of launching site at circle center O1under loads 4 and 5

圖8　未疊加與疊加后圓心O1處場(chǎng)坪下沉量對(duì)比Fig.8 Comparision of unsuperposed settlement and superposed settlement at circle center O1

2）由于距離較遠(yuǎn)，圓4、圓5處對(duì)地載荷作用下圓心O1處場(chǎng)坪下沉量很?。?～7 μm），對(duì)O1處的影響可以忽略；

3）雙參數(shù)地基模型中考慮了水平方向的地基反力，場(chǎng)坪發(fā)生彎沉?xí)r，在水平力作用下場(chǎng)坪有抬升的趨勢(shì)，距離對(duì)地載荷較遠(yuǎn)處水平力對(duì)場(chǎng)坪的抬升量可能大于對(duì)地載荷引起的下沉量，故圓4、圓5對(duì)地載荷作用下圓心O1處場(chǎng)坪下沉量為負(fù)值，但抬升幅度很??；

4）圓1處場(chǎng)坪下沉量最大值達(dá)到6.2 mm，圓2、圓3距圓心O1較近，對(duì)地載荷對(duì)O1處下沉量的貢獻(xiàn)本應(yīng)很大，但由于圓2、圓3載荷幅值較小并且接觸面積不大，影響有限，引起的最大下沉量?jī)H為0.46 mm.

3.3.3 圓心O2、圓心O3處下沉量

圖9～圖12分別是5個(gè)接觸圓處發(fā)射裝備對(duì)地載荷作用下圓心O2、O3處場(chǎng)坪下沉量變化規(guī)律，并且圖11、圖12中給出了5個(gè)對(duì)地載荷下圓心O2、O3處5個(gè)下沉量疊加后的曲線。

分析圖9～圖12可知：

1）由于發(fā)射裝備結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性及支撐盤(pán)處對(duì)地載荷的對(duì)稱性，圓心O2、圓心O3處撓度變化規(guī)律相似；

2）由圖11、圖12得到：（1）由于距離較近且圓1有較大半徑，故圓1處對(duì)地載荷對(duì)接觸圓2、圓3處下沉量影響很大，最大值達(dá)到2.1 mm；（2）圓2、圓3各自區(qū)域內(nèi)所受載荷產(chǎn)生下沉量只有0.2 mm，支撐盤(pán)處圓形動(dòng)載荷間距離較遠(yuǎn)，相互之間的影響較小，故可忽略；

3）圖9、圖10中圓5處對(duì)地載荷作用下圓心O2處場(chǎng)坪下沉量為負(fù)值，圓4處對(duì)地載荷作用下圓心O2處場(chǎng)坪下沉量也為負(fù)值，其原因與3.3.2節(jié)中結(jié)論3相似；

4）由圖11、圖12結(jié)合圖3、圖8可知，雖然后兩個(gè)支撐盤(pán)處的對(duì)地載荷變化規(guī)律初始幅值較大，但由于作用面積較小，產(chǎn)生的對(duì)地載荷亦較小，故下沉量并不明顯，最大值僅為0.7 mm左右。

圖9　圓3、圓4、圓5載荷作用下圓心O2處場(chǎng)坪下沉量Fig.9 Settlement of launching site at circle center O2under loads 3，4 and 5

圖10　圓2、圓4、圓5載荷作用下圓心O3處場(chǎng)坪下沉量Fig.10 Settlement of launching site at circle center O3under loads 2，4 and 5

圖11　圓1、圓2載荷作用下及疊加后圓心O2處場(chǎng)坪下沉量Fig.11 Settlement of launching site at circle center O2under loads 1 and 2 and superposed settlement

圖12　圓1、圓3載荷作用下疊加后圓心O3處場(chǎng)坪下沉量Fig.12 Settlement of launching site at circle center O3under loads 1 and 3 and superposed settlement

4　結(jié)論

1）推導(dǎo)了多圓均布動(dòng)載荷作用下雙參數(shù)地基上雙層彈性薄板的撓度解析式及發(fā)射裝備對(duì)地載荷的表達(dá)式，在ADAMS中建立了含場(chǎng)坪的發(fā)射裝備仿真模型并與Simulink聯(lián)合求解，實(shí)現(xiàn)了發(fā)射裝備與場(chǎng)坪的耦合，為分析導(dǎo)彈發(fā)射動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供了良好的研究平臺(tái)。

2）給出了發(fā)射裝備對(duì)地載荷下場(chǎng)坪的下沉量，通過(guò)分析得到：

（1）相對(duì)于4個(gè)支撐盤(pán)對(duì)地載荷作用下場(chǎng)坪下沉量而言，底座處場(chǎng)坪下沉量最大，且底座對(duì)地載荷顯著影響后兩個(gè)支撐盤(pán)處的場(chǎng)坪彎沉；

（2）支撐盤(pán)間的距離較遠(yuǎn)，使得某個(gè)支撐盤(pán)的對(duì)地載荷在其余支撐盤(pán)處引起的場(chǎng)坪下沉量很小，可忽略；

（3）雙參數(shù)地基模型中考慮了水平方向的地基反力，發(fā)生彎沉?xí)r在水平力作用下場(chǎng)坪有抬升的趨勢(shì)，且距離對(duì)地載荷較遠(yuǎn)處，水平力對(duì)場(chǎng)坪的抬升量可能大于對(duì)地載荷引起的下沉量，最終使得場(chǎng)坪表現(xiàn)為微量抬升。

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Dynamic Response of Cold Launching Equipment to Prepared Launching Site Subjected to Loading

ZHANG Zhen-dong，MA Da-wei，REN Jie，HE Qiang，ZHU Zhong-ling
（School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，Nanjing 210094，Jiangsu，China）

In order to research the dynamic response of old launching equipment to prepared launching site subjected to loading，the loading is regarded as multi-circle distributed force，and the expression of force is derived based on Hertz contact theory.Based on the governing differential equation of Winkler foundation model，the differential equations of two-layer plate are improved by adding the subgrade reaction into the two-parameter foundation model.Then the expression of launching site deflection under single-circle distributed force is deduced by using Fourier integral transformation and triangular series methods.The analysis formula of settlement under multi-circle distributed force could be got by using linear superposition method.For the sake of settlement of launching site，a co-simulation dynamic model of launching equipment including site is built by ADAMS software and Simulink software.Analysis results of the settlement of circle center in every contact area show that the settlement of contact area at the base is larger and has great impact on the deflections of the latter two contact areas of support disk，the settlement interact between support disks should be ignored because of small order magnitude.

ordnance science and technology；launching equipment；multi-circle distributed dynamic force；two-layer plate model on two-parameter foundation；co-simulation；settlement of launching site

TJ768

A

1000-1093（2015）02-0279-08

10.3969/j.issn.1000-1093.2015.02.013

2014-05-26

國(guó)防基礎(chǔ)科研基金項(xiàng)目（B2620110005）

張震東（1988—），男，博士研究生。E-mail：zzd1157@163.com；馬大為（1953—），男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：ma-dawei@mail.njust.edu.cn